Основные виды тригонометрических уравнений

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

$\blacktriangleright$ Квадратные тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: $${\Large{af^2(x)+bf(x)+c=0}}$$ где $a\ne 0, \ f(x)$ — одна из функций $\sin x, \cos x, \mathrm{tg}\,x, \mathrm{ctg}\, x$,
то такое уравнение с помощью замены $f(x)=t$ сводится к квадратному уравнению.

 

Часто при решении таких уравнений используются
основные тождества: $$\begin{array}{|ccc|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm{tg}\, \alpha \cdot \mathrm{ctg}\, \alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg}\, \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ 1+\mathrm{tg}^2\, \alpha =\dfrac1{\cos^2 \alpha} && 1+\mathrm{ctg}^2\, \alpha=\dfrac1{\sin^2 \alpha}\\&&\\ \hline \end{array}$$
формулы двойного угла: $$\begin{array}{|lc|cr|} \hline \sin {2\alpha}=2\sin \alpha\cos \alpha & \qquad &\qquad & \cos{2\alpha}=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ \sin \alpha\cos \alpha =\dfrac12\sin {2\alpha} && & \cos{2\alpha}=2\cos^2\alpha -1\\ & & & \cos{2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\ \hline &&&\\ \mathrm{tg}\, 2\alpha = \dfrac{2\mathrm{tg}\, \alpha}{1-\mathrm{tg}^2\, \alpha} && & \mathrm{ctg}\, 2\alpha = \dfrac{\mathrm{ctg}^2\, \alpha-1}{2\mathrm{ctg}\, \alpha}\\&&&\\ \hline \end{array}$$

Пример 1. Решить уравнение $6\cos^2x-13\sin x-13=0$

 

С помощью формулы $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$ уравнение сводится к виду:
$6\sin^2x+13\sin x+7=0$. Сделаем замену $t=\sin x$. Т.к. область значений синуса $\sin x\in [-1;1]$, то $t\in[-1;1]$. Получим уравнение:

 

$6t^2+13t+7=0$. Корни данного уравнения $t_1=-\dfrac76, \ t_2=-1$.

 

Таким образом, корень $t_1$ не подходит. Сделаем обратную замену:
$\sin x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z}$.

 

Пример 2. Решить уравнение $5\sin 2x=\cos 4x-3$

 

С помощью формулы двойного угла для косинуса $\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ имеем:
$\cos4x=1-2\sin^22x$. Сделаем эту подстановку и получим:

 

$2\sin^22x+5\sin 2x+2=0$. Сделаем замену $t=\sin 2x$. Т.к. область значений синуса $\sin 2x\in [-1;1]$, то $t\in[-1;1]$. Получим уравнение:

 

$2t^2+5t+2=0$. Корни данного уравнения $t_1=-2, \ t_2=-\dfrac12$.

 

Таким образом, корень $t_1$ не подходит. Сделаем обратную замену:   $\sin 2x=-\dfrac12 \Rightarrow x_1=-\dfrac{\pi}{12}+\pi n, \ x_2=-\dfrac{5\pi}{12}+\pi n, n\in\mathbb{Z}$.

 

Пример 3. Решить уравнение $\mathrm{tg}\, x+3\mathrm{ctg}\,x+4=0$

 

Т.к. $\mathrm{tg}\,x\cdot \mathrm{ctg}\,x=1$, то $\mathrm{ctg}\,x=\dfrac1{\mathrm{tg}\,x}$. Сделаем замену $\mathrm{tg}\,x=t$. Т.к. область значений тангенса $\mathrm{tg}\,x\in\mathbb{R}$, то $t\in\mathbb{R}$. Получим уравнение:

 

$t+\dfrac3t+4=0 \Rightarrow \dfrac{t^2+4t+3}{t}=0$. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Таким образом:

 

$\begin{cases} t^2+4t+3=0\\t\ne 0 \end{cases} \Rightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &t_1=-3\\&t_2=-1 \end{aligned}\end{gathered}\right.$

 

Сделаем обратную замену:

 

$\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\mathrm{tg}\,x=-3\\ &\mathrm{tg}\,x=-1 \end{aligned}\end{gathered}\right. \Rightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=-\mathrm{arctg}\,3+\pi n\\ &x=-\dfrac{\pi}4+\pi n \end{aligned}\end{gathered}\right. \ \ n\in\mathbb{Z}$

 

$\blacktriangleright$ Кубические тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: $${\Large{af^3(x)+bf^2(x)+cf(x)+d=0}}$$ где $a\ne 0, \ f(x)$ — одна из функций $\sin x, \cos x, \mathrm{tg}\,x, \mathrm{ctg}\, x$,
то такое уравнение с помощью замены $f(x)=t$ сводится к кубическому уравнению.

 

Часто при решении таких уравнений в дополнение к предыдущим формулам используются
формулы тройного угла: $$\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin {3\alpha}=3\sin \alpha -4\sin^3\alpha &&& \cos{3\alpha}=4\cos^3\alpha -3\cos \alpha\\&&&\\ \hline \end{array}$$

Пример 4. Решить уравнение $11\cos 2x-3=3\sin 3x-11\sin x$

 

При помощи формул $\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x$ и $\cos2x=1-2\sin^2x$ можно свести уравнение к уравнению только с $\sin x$:

 

$12\sin^3x-9\sin x+11\sin x-3+11-22\sin^2 x=0$. Сделаем замену $\sin x=t, \ t\in[-1;1]$:

 

$6t^3-11t^2+t+4=0$. Подбором находим, что один из корней равен $t_1=1$. Выполнив деление в столбик многочлена $6t^3-11t^2+t+4$ на $t-1$, получим:

 

$(t-1)(2t+1)(3t-4)=0 \Rightarrow$ корнями являются $t_1=1, \ t_2=-\dfrac12, \ t_3=\dfrac43$.

 

Таким образом, корень $t_3$ не подходит. Сделаем обратную замену:

 

$\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\sin x=1\\&\sin x=-\dfrac12 \end{aligned}\end{gathered}\right. \Rightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}2+2\pi n\\[1ex]&x=-\dfrac{\pi}6+2\pi n\\[1ex] &x=-\dfrac{5\pi}6+2\pi n \end{aligned}\end{gathered}\right. \ \ n\in\mathbb{Z}$

 

$\blacktriangleright$ Однородные тригонометрические уравнения второй степени: $$I. \quad {\Large{a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0}}, \quad a\ne 0,c\ne 0$$

Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения $x$, при которых $\cos x=0$ или $\sin x=0$. Действительно, если $\cos x=0$, то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: $a\sin^2 x=0$, откуда следует, что и $\sin x=0$. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если $\cos x=0$, то $\sin x=\pm 1$.

 

Аналогично и $\sin x=0$ не является решением такого уравнения.

 

Значит, данное уравнение можно делить на $\cos^2 x$ или на $\sin^2 x$. Разделим, например, на $\cos^2 x$:

 

$a \ \dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}+b \ \dfrac{\sin x\cos x}{\cos^2x}+c \ \dfrac{\cos^2x}{\cos^2x}=0 \Leftrightarrow a\mathrm{tg}^2\,x+b\mathrm{tg}\,x+c=0$

Таким образом, данное уравнение при помощи деления на $\cos^2x$ и замены $t=\mathrm{tg}\,x$ сводится к квадратному уравнению:

 

$at^2+bt+c=0$, способ решения которого вам известен.

 

Уравнения вида $$I'. \quad {\Large{a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=d}}, \quad a\ne0,c\ne 0$$ с легкостью сводятся к уравнению вида $I$ с помощью использования основного тригонометрического тождества: $$d=d\cdot 1=d\cdot (\sin^2x+\cos^2x)$$

Заметим, что благодаря формуле $\sin2x=2\sin x\cos x$ однородное уравнение можно записать в виде

 

$a\sin^2 x+b\sin 2x+c\cos^2x=0$

 

Пример 5. Решить уравнение $2\sin^2x+3\sin x\cos x=3\cos^2x+1$

 

Подставим вместо $1=\sin^2x+\cos^2x$ и получим:

$\sin^2x+3\sin x\cos x-4\cos^2x=0$. Разделим данное уравнение на $\cos^2x$:

 

$\mathrm{tg}^2\,x+3\mathrm{tg}\,x-4=0$ и сделаем замену $t=\mathrm{tg}\,x, \ t\in\mathbb{R}$. Уравнение примет вид:

 

$t^2+3t-4=0$. Корнями являются $t_1=-4, \ t_2=1$. Сделаем обратную замену:

 

$\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\mathrm{tg}\,x=1\\&\mathrm{tg}\,x=-4 \end{aligned}\end{gathered}\right. \Rightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}4+\pi n\\[1ex]&x=-\mathrm{arctg}\,4+\pi n \end{aligned}\end{gathered}\right. \ \ n\in\mathbb{Z}$

 

$\blacktriangleright$ Однородные тригонометрические уравнения первой степени: $$II.\quad {\Large{a\sin x+b\cos x=0}}, a\ne0, b\ne 0$$

Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения $x$, при которых $\cos x=0$ или $\sin x=0$. Действительно, если $\cos x=0$, то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: $a\sin x=0$, откуда следует, что и $\sin x=0$. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если $\cos x=0$, то $\sin x=\pm 1$.

 

Аналогично и $\sin x=0$ не является решением такого уравнения.

 

Значит, данное уравнение можно делить на $\cos x$ или на $\sin x$. Разделим, например, на $\cos x$:

 

$a \ \dfrac{\sin x}{\cos x}+b \ \dfrac{\cos x}{\cos x}=0$, откуда имеем $a\mathrm{tg}\, x+b=0 \Rightarrow \mathrm{tg}\, x=-\dfrac ba$

 

Пример 6. Решить уравнение $\sin x+\cos x=0$

 

Разделим правую и левую части уравнения на $\sin x$:

 

$1+\mathrm{ctg}\, x=0 \Rightarrow \mathrm{ctg}\, x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}$

 

$\blacktriangleright$ Неоднородные тригонометрические уравнения первой степени: $$II.\quad {\Large{a\sin x+b\cos x=c}}, a\ne0, b\ne 0, c\ne 0$$

Существует несколько способов решения подобных уравнений. Рассмотрим те из них, которые можно использовать для любого такого уравнения:

 

1 СПОСОБ: при помощи формул двойного угла для синуса и косинуса и основного тригонометрического тождества:   ${\large{\sin x=2\sin{\dfrac x2}\cos{\dfrac x2}, \qquad \cos x=\cos^2 {\dfrac x2}-\sin^2 {\dfrac x2},\qquad c=c\cdot \Big(\sin^2 {\dfrac x2}+\cos^2 {\dfrac x2}\Big)}}$   данное уравнение сведется к уравнению $I$:

 

Пример 7. Решить уравнение $\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1$

 

Распишем $\sin 2x=2\sin x\cos x, \ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2 x, \ -1=-\sin^2 x-\cos^2x$. Тогда уравнение примет вид:

 

$(1+\sqrt3)\sin^2x+2\sin x\cos x+(1-\sqrt3)\cos^2x=0$. Данное уравнение с помощью деления на $\cos^2x$ и замены $\mathrm{tg}\,x=t$ сводится к:

 

$(1+\sqrt3)t^2+2t+1-\sqrt3=0$. Корнями этого уравнения являются $t_1=-1, \ t_2=\dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}=2-\sqrt3$. Сделаем обратную замену:

 

$\left[ \begin{gathered} \begin{aligned}&\mathrm{tg}\,x=-1\\ &\mathrm{tg}\,x=2-\sqrt3 \end{aligned}\end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=-\dfrac{\pi}4+\pi n\\[1ex] &x=\mathrm{arctg}\,(2-\sqrt3)+\pi n \end{aligned}\end{gathered}\right. \ \ n\in\mathbb{Z}$

 

2 СПОСОБ: при помощи формул выражения функций через тангенс половинного угла: $$\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin{\alpha}=\dfrac{2\mathrm{tg}\, \dfrac{\alpha}2}{1+\mathrm{tg}^2\, \dfrac{\alpha}2} &&& \cos{\alpha}=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\, \dfrac{\alpha}2}{1+\mathrm{tg}^2\, \dfrac{\alpha}2}\\&&&\\ \hline \end{array}$$ уравнение сведется к квадратному уравнению относительно $\mathrm{tg}\, \dfrac x2$

 

Пример 8. Решить то же уравнение $\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1$

 

Сделаем подстановку $\sin 2x=\dfrac{2\mathrm{tg}\,x}{1+\mathrm{tg}^2\,x}, \ \cos2x=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\,x}{1+\mathrm{tg}^2\,x}$ и замену $\mathrm{tg}\,x=t$:

 

$\dfrac{(\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3}{1+t^2}=0 \Rightarrow (\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3=0$ (т.к. $1+t^2\geqslant 1$ при всех $t$, то есть всегда $\ne 0$)

 

Таким образом, мы получили то же уравнение, что и, решая первым способом.

 

3 СПОСОБ: при помощи формулы вспомогательного угла.
$${\large{a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin (x+\phi),}} \quad \text{где } \cos \phi=\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Для использования данной формулы нам понадобятся формулы сложения углов: $$\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin{(\alpha\pm \beta)}=\sin\alpha\cdot \cos\beta\pm \sin\beta\cdot \cos\alpha &&& \cos{(\alpha\pm \beta)}=\cos\alpha\cdot \cos\beta \mp \sin\alpha\cdot \sin\beta\\ &&&\\ \hline \end{array}$$

Пример 9. Решить то же уравнение $\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1$

 

Т.к. мы решаем уравнение, то можно не преобразовывать левую часть, а просто разделить обе части уравнения на $\sqrt{1^2+(-\sqrt3)^2}=2$:

 

$\dfrac12\sin 2x-\dfrac{\sqrt3}2\cos 2x=-\dfrac12$

 

Заметим, что числа $\dfrac12$ и $\dfrac{\sqrt3}2$ получились табличные. Можно, например, взять за $\dfrac12=\cos \dfrac{\pi}3, \ \dfrac{\sqrt3}2=\sin \dfrac{\pi}3$. Тогда уравнение примет вид:

 

$\sin 2x\cos \dfrac{\pi}3-\sin \dfrac{\pi}3\cos 2x=-\dfrac12 \Rightarrow \sin\left(2x-\dfrac{\pi}3\right)=-\dfrac12$

 

Решениями данного уравнения являются:

 

$\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &2x-\dfrac{\pi}3=-\dfrac{\pi}6+2\pi n\\[1.5ex] &2x-\dfrac{\pi}3=-\dfrac{5\pi}6+2\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}{12}+\pi n\\[1.5ex] &x=-\dfrac{\pi}4+\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ n\in\mathbb{Z}$

 

Заметим, что при решении уравнения третьим способом мы добились “более красивого” ответа (хотя ответы, естественно, одинаковы), чем при решении первым или вторым способом (которые, по сути, приводят уравнение к одному и тому же виду).
Таким образом, не стоит пренебрегать третьим способом решения данного уравнения.

 

$\blacktriangleright$ Если тригонометрическое уравнение можно свести к виду $${\Large{a(\sin x\pm \cos x)+b\sin x\cos x+c=0}}, \text{где } a\ne 0, b\ne 0,$$ то с помощью формулы $${\large{(\sin x\pm\cos x)^2=1\pm2\sin x\cos x}} \ \ (*)$$ данное уравнение можно свести к квадратному.

 

Для этого необходимо сделать замену $t=\sin x\pm \cos x$, тогда $\sin x\cos x=\pm \dfrac{t^2-1}2$.

 

Заметим, что формула $(*)$ есть не что иное, как формула сокращенного умножения $(A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2$ при подстановке в нее $A=\sin x, B=\cos x$.

 

Пример 10. Решить уравнение $3\sin 2x+3\cos 2x=16\sin x\cos^3x-8\sin x\cos x$.

 

Вынесем общий множитель за скобки в правой части: $3\sin 2x+3\cos 2x=8\sin x\cos x(2\cos^2 x-1)$.
По формулам двойного угла $2\sin x\cos x=\sin 2x, 2\cos^2x-1=\cos 2x$ имеем: $$3(\sin 2x+\cos 2x)=4\sin 2x\cos 2x$$ Заметим, что полученное уравнение как раз записано в необходимом нам виде. Сделаем замену $t=\sin 2x+\cos 2x$, тогда $\sin 2x\cos 2x=\dfrac{t^2-1}2$. Тогда уравнение примет вид: $$3t=2t^2-2 \Rightarrow 2t^2-3t-2=0$$ Корнями данного уравнения являются $t_1=2, t_2=-\dfrac12$.

 

По формулам вспомогательного аргумента $\sin2x+\cos 2x=\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)$, следовательно, сделав обратную замену: $$\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)=2\\[1ex] &\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)=-\dfrac12 \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)=\sqrt2\\[1ex] &\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)=-\dfrac1{2\sqrt2} \end{aligned} \end{gathered} \right.$$ Первое уравнение корней не имеет, т.к. область значений синуса находится в пределах от $-1$ до $1$. Значит: $\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)=-\dfrac1{2\sqrt2} \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &2x+\dfrac{\pi}4=-\arcsin {\dfrac1{2\sqrt2}}+2\pi n\\[1ex] &2x+\dfrac{\pi}4=\pi+\arcsin {\dfrac1{2\sqrt2}}+2\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow$  
$\Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=-\dfrac12\arcsin {\dfrac1{2\sqrt2}}-\dfrac{\pi}8+\pi n\\[1ex] &x=\dfrac{3\pi}8+\dfrac12\arcsin {\dfrac1{2\sqrt2}}+\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ n\in\mathbb{Z}$

 

$\blacktriangleright$ Формулы сокращенного умножения в тригонометрическом варианте:

 

$I$ Квадрат суммы или разности $(A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2$:

$(\sin x\pm \cos x)^2=\sin^2 x\pm 2\sin x\cos x+\cos^2x=(\sin^2 x+\cos^2 x)\pm 2\sin x\cos x=1\pm \sin 2x$

 

$II$ Разность квадратов $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$:

$(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x$

 

$\sin^2x-\cos^2x=-\cos2x$

 

$III$ Сумма или разность кубов $A^3\pm B^3=(A\pm B)(A^2\mp AB+B^2)$:

$\sin^3x\pm \cos^3x=(\sin x\pm \cos x)(\sin^2x\mp \sin x\cos x+\cos^2x)=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \sin x\cos x)=$

$=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \frac12\sin 2x)$

 

$IV$ Куб суммы или разности $(A\pm B)^3=A^3\pm B^3\pm 3AB(A\pm B)$:

$(\sin x\pm \cos x)^3=(\sin x\pm \cos x)(\sin x\pm \cos x)^2=(\sin x\pm \cos x)(1\pm \sin 2x)$   (по первой формуле)