Производная. Таблица производных. Связь функции и производной. Касательная. Первообразная

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: Алгебра. Краткий справочник. Формулы

Теоретическая справка

#539

Факт 1.
Таблица производных:

|--|------------|----------------| |--|Функция-f(x)-|Производная f′(x)| |---|Ф-ункция-f(x)|П-роизводная f′(x) |1 | c | 0 | |---|------------|----------------| | | | | | | | | | | a | a−1 | | 9 | tgx | -12-- | |2 | x | a⋅x | | | | cos x | | | | | | | | -1--- | |3 | lnx | 1 | |10 | ctg x | − sin2x | | | | x | | | | | | | | 1 | |11 | arcsin x | √-1---- | |4 | loga x | x⋅lna | | | | 1− x2 | | | | | | | | | |5 | ex | ex | |12 | arccosx | − √-1---- | | | | | | | | 1− x2 | | | x | x | | | | | |6 | a | a ⋅lna | |13 | arctgx | --1-2 | | | | | | | | 1 +x | |7 | sinx | cosx | | | | 1 | | | | | |14 | arcctgx | − 1-+x2 | |8 | cosx | − sinx | ----------------------------------- ----------------------------------

Факт 2.
Пусть $f = f(x),g = g(x)$ – функции.
$∙$ Если $c$ – число, то:

(c ⋅f)′ = c⋅f′

$∙$ Производная суммы/разности двух функций:

(f ±g)′ = f′±g′

$∙$ Производная произведения двух функций:

(f ⋅g)′ = f′⋅g+ f ⋅g′

$∙$ Производная частного двух функций:

( ) ′ f- = f′⋅g−-f ⋅g′ g g2

$∙$ Производная сложной функции:

′ ′ ′ (h(f(x)))= hf(f)⋅fx(x)

Факт 3.
$∙$ Если $y = f(x)$ – некоторая функция, то касательная к ней в точке с абсциссой $x0$ имеет вид:

y =f (x0)+ f′(x0)⋅(x− x0)

$∙$ Следовательно, $k = f′(x0)= tgα$ – тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси $Ox$ , он же угловой коэффициент касательной, если ее уравнение записать как $y = kx+ b$ .

Факт 4.
$∙$ Если $′ f (x)> 0$ на $(a;b)$ , то $f(x)$ возрастает на $(a;b)$ .
$∙$ Если $f′(x)< 0$ на $(a;b)$ , то $f(x)$ убывает на $(a;b)$ .
$∙$ Если $f′(x0) = 0$ и в точке $x0$ производная меняет свой знак, то $x0$ — экстремум функции $f(x)$ :
— если производная меняет знак с “ $−$ ” на “ $+$ ” (считая слева направо), то $x 0$ — минимум;
— если производная меняет знак с “ $+$ ” на “ $−$ ” (считая слева направо), то $x0$ — максимум.