№18. Задачи с параметром

Алгебра. Метод «гвоздей»

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №18. Задачи с параметром

Теоретическая справка

#556

Рассмотрим следующую задачу:

При каких значениях параметра $a$ уравнение

x2+ 3ax − a2+ 1= 0

имеет два корня из отрезка $[− 3;0]?$

Сначала поймем, сколько всего корней может иметь данное нам уравнение. Так как оно квадратное, у него может быть максимум два корня. По условию уравнение должно иметь два корня на отрезке $[− 3;0],$ значит, мы получили первое условие на параметр $a$ — дискриминант данного квадратного уравнения должен быть больше 0, то есть $D > 0.$

Замечание. В задаче, которую мы рассматриваем, коэффициент при $x2$ равен единице, то есть ветви параболы этого уравнения всегда направлены вверх. А что если бы коэффициент при $x2$ зависел от параметра $a?$

Например, нам было бы дано уравнение

2 2 (a− 1)x +3ax − a + 1 =0

В такой задаче с параметром важно в самом начале решения определить вид уравнения, потому что от этого зависит количество его корней. В нашем случае уравнение было бы квадратным только при $a− 1⁄= 0,$ при $a − 1 < 0$ ветви параболы этого уравнения были бы направлены вниз, а при $a − 1 > 0$ — вверх. При $a− 1= 0$ уравнение было бы линейным и не могло бы иметь два корня. Все эти случаи пришлось бы рассматривать отдельно.

Вернемся к нашей задаче. Мы поняли, что дискриминант нашего уравнения должен быть больше 0, то есть мы получили первое условие-ограничение на значения параметра $a.$ Будем называть такие ограничения «гвоздями».

Итак, первым «гвоздем» мы заставили нашу параболу пересекать ось абсцисс в двух точках, то есть выглядеть так:

$xy0xx12$

Далее будем накладывать новые ограничения на параметр $a$ — «прибивать гвоздями» нашу параболу так, чтобы в итоге этим ограничениям удовлетворяли только значения параметра, при которых парабола дважды пересекает ось абсцисс на отрезке $[−3;0].$

Поймем, какими должны быть эти ограничения. Давайте посмотрим на несколько парабол с ветвями вверх:

$xy110xxxx== 0−3 12$

Зеленая парабола точно подходит под условие задачи, так как ее корни $x1$ и $x2$ лежат на отрезке $[− 3;0].$ У двух других парабол выполняется условие $D > 0,$ но у одной из них оба корня лежат вне отрезка $[−3;0],$ у другой один лежит на отрезке, а второй — вне отрезка. Эти параболы отличаются тем, что хотя бы в одной из точек $x= −3$ и $x= 0$ их значения отрицательны.

У зеленой параболы (заметим, что все параболы подходящего нам вида схематично будут выглядеть как зеленая) значения в обоих концах отрезка неотрицательны. Тогда, если мы обозначим $2 2 f(x) =x +3ax − a + 1,$ то, чтобы нам подходить, функция $f$ должна удовлетворять условиям $f(−3)≥ 0$ и $f(0)≥ 0.$ Знаки в этих неравенствах нестрогие, так как парабола может проходить через точки $(−3;0)$ и $(0;0)$ и при этом подходить под условие задачи. Теперь у нас есть три «гвоздя», которые ограничивают нашу параболу. Но этого недостаточно, так как бывают такие параболы:

$xy110xxxx12==0− 3$

Такая парабола отличается тем, что координата ее вершины по $x$ не лежит на отрезке $[− 3;0],$ в отличие от вершины зеленой параболы. Значит, если мы обозначим координату вершины параболы по оси $x$ через $x0,$ то получим следующее ограничение: $− 3< x < 0. 0$ Действительно, ведь у любой подходящей параболы корни лежат на отрезке $[−3;0],$ а вершина, в свою очередь, лежит между этими корнями. Знаки строгие, так как если $x$ -координата вершины параболы совпадет с одним из концов отрезка $[−3;0],$ то один из корней точно выйдет за его пределы. Тем самым мы получили четвертый «гвоздь», который окончательно фиксирует положение нашей параболы. Теперь остается лишь решить систему, которую задают полученные нами ограничения. Имеем:

(|D > 0 ||{f(−3)≥ 0 |f(0)≥ 0 ||( − 3< x0 < 0

Решим каждое из условий по отдельности. Условие на дискриминант:

( ) ( ) ⌊ D > 0 ⇔ 9a2+4a2− 4> 0 ⇔ a2−-4 > 0 ⇔ a− √-2- a+ √2-- > 0 ⇔ ⌈ a< − √213 13 13 13 a> √213-

Условие на значение в точке $x= − 3:$

f(− 3)≥ 0 ⇔ 9−9a−a2+1 ≥ 0 ⇔ a2+9a −10≤ 0 ⇔ (a−1)(a+10 )≤ 0 ⇔ −10≤ a ≤1

Условие на значение в точке $x= 0 :$

2 2 f(0) ≥0 ⇔ − a +1≥ 0 ⇔ a −1 ≤ 0 ⇔ (a− 1)(a+1)≤ 0 ⇔ − 1≤ a≤ 1

Условие на координату вершины параболы. Координата $x$ вершины параболы равна $− 32a,$ тогда

−3< − 3a< 0 ⇔ 0 < a< 2 2

Так как все условия находились в системе, нам нужно найти пересечение полученных нами промежутков. Сразу определим порядок чисел $− 10,$ $± 1,$ $± √213,$ 0 и 2 на числовой прямой. Очевидно, что $− 10< −1 <0 < 1< 2.$ Оценим число $√213 :$

√ -- 9< 13< 16 ⇒ 3< 13< 4 ⇒ 2 > √2--> 1 ⇒ 0 < √2--< 1 ⇒ −1 <− √2--< 0 3 13 2 13 13

Значит, числа расположены на числовой прямой так: $− 10 < −1< − √213 < 0< √213-<1 < 2.$ Тогда найдем пересечение полученных промежутков:

$a−−−0√1221101√3213$

Пересечением является промежуток, над которым есть все 4 «крышечки» от полученных нами ограничений, то есть полуинтервал $( ] √213;1 .$ Значит, исходное уравнение имеет 2 корня на отрезке $[−3;0]$ при $( √2- ] a ∈ 13;1 .$

Предыдущая справка

Следующая справка