Алгебра. Теорема Виета

Вспомним теорему Виета. Рассмотрим уравнение с неотрицательным дискриминантом. Пусть и — его корни (необязательно различные). Тогда

Следовательно,

Теперь решим следующую задачу:

Найдите все значения параметра при которых уравнение

имеет решения и все его решения положительные.

С самого начала определим, при каких значениях данное уравнение не является квадратным, то есть когда коэффициент при равен 0:

При мы получаем уравнение

Значит, при единственным корнем данного уравнения является Следовательно, значение подходит под условие.

Далее будем рассматривать При таких значениях параметра данное нам уравнение является квадратным. Найдем

Рассмотрим два случая: когда и Случай нам не подходит, так как при нем уравнение не будет иметь корней вовсе.

• Если

  

  Найдем корни данного уравнения при полученных значениях Если то

  

  Если то

  

  Мы получили, что при у уравнения нет положительных корней, то есть это значение нам не подходит. При есть один корень и он положителен, следовательно, подходит под условие.

• Если В таком случае уравнение имеет два различных корня. По условию они оба должны быть положительными. Заметим, что если это так, то сумма корней и их произведение тоже должны быть положительны, значит,

  

Остается объединить все полученные значения параметра Ответ:

Замечание. Если бы в задаче было сказано, что один корень должен быть отрицательным, а другой положительным, нам нужно было бы наложить всего одно условие на корни уравнения: