№18. Задачи с параметром

Графика. Метод областей

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №18. Задачи с параметром

Теоретическая справка

#569

Что задает неравенство вида $y < f(x)$ или $y > f(x)?$

Рассмотрим два неравенства: $y < f(x)$ и $y > f(x),$ где $f(x)$ — некоторая функция плоскости $xOy.$

$∙$ Первое неравенство $y <f(x)$ задает на координатной плоскости $xOy$ множество точек $(x0;y),$ ордината которых $y <y0,$ где $(x0;y0)$ — точка на графике $y = f(x)$ (то есть верно $y0 = f(x0)$ ).

$xy$

На рисунке изображено множество решений неравенства $y < x3$ на некотором промежутке.

$∙$ Второе неравенство $y > f(x)$ задает на координатной плоскости $xOy$ множество точек $(x0;y),$ ордината которых $y >y0,$ где $(x0;y0)$ — точка на графике $y = f(x)$ (то есть верно $y0 = f(x0)$ ).

$xy$

На рисунке изображено множество решений неравенства $y > x3$ на некотором промежутке.

Пример задачи на метод областей

Найдите все $a$ , при которых система неравенств

(∘ ---------------- |a| |{ (x− 2a)2 +(y− a)2 ≤-√-- |( 6 5 x − 2y ≥ 1

имеет решения.

Решение. Первое неравенство при $a = 0$ задает точку $(0;0)$ , не удовлетворяющую второму неравенству, следовательно, этот случай нам не подходит. При $a⁄= 0$ первое неравенство равносильно

( )2 (x − 2a)2+ (y− a)2 ≤ -|a√|- 6 5

Оно задает круг с центром в $O(2a;a)$ (который движется по прямой $y = 0,5x$ ) и радиусом $|a| R = 6√5-$ . Заметим, что при отдалении круга от начала координат его радиус увеличивается.

Второе неравенство задает область под прямой $y = 0,5(x− 1).$ Заметим, что эта прямая параллельна траектории движения центра круга. Также заметим, что при $a =a0$ и $a= −a0$ круги симметричны относительно прямой $y = −x.$ Следовательно, если нам подходит $a= a 0$ , то нам подходит также и $a = −a0$ .

Рассмотрим только $a > 0$ . Тогда граничное положение круга, при котором он имеет хотя бы одну общую точку с голубой областью — когда круг касается прямой $x− 2y = 1.$ На рисунке это положение $c,$ при этом положение $d$ — ему симметричное при противоположном $a.$

$11xycdyx =− 02y,5x= 1$

Тогда расстояние от центра круга до прямой $l :$ $x − 2y = 1$ равно радиусу круга:

|| |√a|= R = ρ(O,l) = |∘x−-2y−-1||| 6 5 12+ (−2)2|x=2a, y=a |a| 1 6√5-= √5- ⇒ a= 6

Следовательно, при $a≥ 6$ и $a≤ − 6$ система имеет хотя бы одно решение.

Предыдущая справка

Следующая справка