№18. Задачи с параметром

Графика. Метод xOa

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №18. Задачи с параметром

Теоретическая справка

#568

Суть метода

Рассмотрим уравнение $x2 = a.$ Мы понимаем, что оно имеет два решения при $a > 0,$ одно — при $a = 0$ и не имеет решения при $a< 0.$

Давайте рассмотрим параметр $a$ как функцию от $x.$ Тогда в системе координат $xOa$ мы получим такой график:

$xa110aaaa ====−230 2$

На самом деле мы изобразили на плоскости множество точек — решений уравнения $x2 = a,$ значит, если прямая $a = const$ пересекает полученный нами график в двух точках, то при данном $a$ уравнение $x2 = a$ имеет ровно два решения. Аналогично с одним пересечением и отсутствием пересечений.

Задача на метод xOa

Найдите все значения параметра $a,$ при которых уравнение

x2− (3a − 1)x + 2a2 − 2 -----x2−-3x−-4------= 0

имеет единственное решение.

Рещение. Преобразуем исходное уравнение:

$pict$

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно одна из точек вида $(x0;a0),$ $x0 ∈ ℝ$ принадлежат множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет ровно одну точку пересечения с множеством $S.$

Построим на плоскости множества решений каждого из уравнений внутренней совокупности, объединим их, а затем исключим точки, удовлетворяющих условиям $x = 4$ и $x= − 1.$

Множеством решений первого уравнения совокупности являются точки прямой $1 a = 2x+ 1.$
Множеством решений второго уравнения совокупности являются точки прямой $a =x − 1.$
Третье условие $x ⁄= 4$ задает всю плоскость за исключением точек прямой $x = 4.$
Четвертое условие $x ⁄=− 1$ задает всю плоскость за исключением точек прямой $x = −1.$

Построим графики.

$1 xa110llaaxxABC12====x24−−x1 1+1$

Множество $S$ решений системы является объединением всех точек синих прямых за исключением точек $A,$ $B$ и $C,$ выделенных красным и принадлежащих красным прямым.

Прямые $1 a= 2x + 1,$ $a= x− 1$ и $x = 4$ пересекутся точке $A =(4;3).$ Прямые $1 a = 2x+ 1$ и $x = −1$ пересекутся точке $( 1) B = −1;2 .$ Прямые $a = x− 1$ и $x= − 1$ пересекутся точке $C = (−1;−2).$

Заметим, что горизонтальные прямые, которые проходят через точку $A,$ не будут иметь точек пересечения с $S,$ а значит, не подойдут нам; горизонтальные прямые, которые проходят через одну из точек $B$ или $C,$ будут иметь ровно одну точку пересечения с $S,$ а значит, подойдут нам. Остальные горизонтальные прямые будут иметь две точки пересечения с $S$ и нам не подойдут. Значит, нам подходят только прямые $l1 :a= 12$ (прямая через $B$ ) и $l2 :a = −2$ (прямая через $C ).$ Ответ: ${ } a ∈ 1;−2 . 2$

Предыдущая справка

Следующая справка