Среднее арифметическое и идея минимальной суммы

Среднее арифметическое

Определение Средним арифметическим чисел является отношение их суммы к их количеству.

Во многих задачах намного удобнее работать с суммами чисел, чем со средними арифметическими. Выразив сумму из формулы выше, получим

то есть сумма чисел равна произведению их количества и их среднего арифметического.

Факт 1. Любой член произвольной арифметической прогрессии равен среднему арифметическому соседних членов.

Доказательство

Пусть разность прогрессии, тогда

Факт 2. Пусть имеется набор из чисел со средним арифметическим, равным Тогда после добавления в набор числа, меньшего, чем среднее арифметическое чисел набора уменьшится.

Доказательство

Обозначим добавленное число через Сумма чисел исходного набора равна тогда сумма чисел набора после добавления равна Нужно доказать, что неравенство

выполняется для любого Равносильными переходами получаем

что является верным неравенством.

Факт 3. Пусть имеется набор из чисел со средним арифметическим, равным Тогда после добавления в набор числа, большего, чем среднее арифметическое чисел набора увеличится.

Доказательство

Аналогично предыдущему.

Идея минимальной суммы на примере задачи с ЕГЭ-2018

На доске написано 100 различных натуральных чисел, причем известно, что сумма этих чисел равна 5120.

а) Может ли оказаться, что на доске написано число 230?

б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 14?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, может быть на доске?

Ответ.

а) Нет, не может

б) Нет, не может

в) 4

Решение. Известно, что сумма первых последовательных натуральных чисел равна

Когда в задаче сказано что-то о сумме некоторых чисел, можно попробовать рассмотреть наименьшую из возможных сумм этих чисел.

а) Рассмотрим наименьшую возможную сумму содержащую число 230. Она состоит из наименьших 99 натуральных чисел и числа 230.

Следовательно, получаем противоречие.

б) Допустим, число 14 не написано на доске, возьмем 100 минимальных натуральных чисел, которые еще доступны. Их сумма равна

Очевидно, что какие бы числа ни были написаны на доске, их сумма будет не меньше Но следовательно, получаем противоречие.

в) В пункте б) мы доказали, что как минимум одно число, кратное 14, написано на доске. Допустим, что оно действительно ровно одно. Тогда сумма на доске не меньше, чем где — наименьшая возможная сумма 99 различных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 14. Фактически она равна сумме наименьших 99 различных натуральных чисел, не кратных 14. Ее легко посчитать (семь наименьших чисел, кратных 14, это 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98)

Допустим, на доске оказалось написано ровно два числа и 14, кратных 14. Тогда сумма на доске не меньше, чем где — наименьшая возможная сумма 98 различных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 14. Фактически она равна сумме наименьших 98 различных натуральных чисел, не кратных 14. Ее легко посчитать (семь наименьших чисел, кратных 14, это 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98)

Получаем противоречие.

Допустим, на доске оказалось написано ровно три числа и 14, кратных 14. Тогда сумма на доске не меньше, чем где — наименьшая возможная сумма 97 различных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 14. Фактически она равна сумме наименьших 97 различных натуральных чисел, не кратных 14. Ее легко посчитать (семь наименьших чисел, кратных 14, это 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98)

Это на 52 меньше, чем сумма в условии, но Снова получаем, что Таким образом мы доказали, что чисел, кратных 14, должно быть хотя бы 4.

Приведем пример, когда на доске написано четыре числа, кратных 14 (14, 28, 42 и 56): 1, 2, …, 69, 71, …, 83, 85, …, 97, 99, 100, 101, 102, 119. Их сумма равна