Десятичная запись числа

Очень часто в задачах на теорию чисел приходится работать с одной или несколькими цифрами числа. Чтобы записать число, мы используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — всего их десять.

Каждое число мы можем разложить на сумму разрядов, например, рассмотрим число 378:

Научимся обозначать неизвестные нам числа в такой записи. Пусть есть двузначное число Черта сверху в этой записи обозначает то, что и — цифры такого двузначного числа, то есть

Сразу можно заменить, что так как число — двузначное, то

Покажем, как можно представлять -значное число в таком виде:

Таким образом, обозначает количество единиц числа — количество десятков числа — количество сотен и так далее.

Решим задачу:

У важного бизнесмена Пети есть сейф с паролем. К сожалению, этот пароль Петя забыл. Помнит он только, что это семизначное число, три первые цифры которого одинаковые, остальные четыре цифры также одинаковые. Сумма всех цифр этого пароля — число двузначное, первая цифра которого совпадает с первой цифрой пароля, а последняя — с последней. Помогите Пете подобрать пароль и открыть сейф.

Ответ. 3337777

Решение. Так как первые три цифры пароля одинаковы, как и последние четыре, то обозначим этот пароль через

Сумма цифр этого числа равна и по условию это равно Значит, имеем равенство

Так как 3 и 7 — взаимно простые числа, то делится на 7. При этом цифра равна 0 или 7.

Если то тоже равен 0, но тогда число не двузначное.

Если то и пароль 3337777 подходит.

Решим задачу с ЕГЭ-2018:

C трехзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.
a) Может ли в результате такой операции получиться число 201?
б) Может ли в результате такой операции получиться число 251?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 600 до 999 включительно?

Ответ. а) Да, может

б) Нет, не может

в) 40

Решение. Пусть взяли число Тогда из него получилось

a) Если в результате получилось число 201, то имеет место равенство

Достаточно подобрать такие цифры и чтобы равенство выполнялось. Пусть и тогда

Цифра ни на что не влияет, пусть тогда

б) Мы доказали, что результат будет равен если изначальное число равнялось Таким образом, должно выполняться равенство

Заметим, что число 251 не делится на 3 по признаку делимости, так как сумма цифр этого числа равна а 8 не кратно 3.

Таким образом, левая часть равенства делится на 3, а правая — не делится, следовательно, в результате не могло получиться 251.

в) Заметим, что получившееся число не зависит от последней цифры исходного числа, поэтому достаточно найти количество различных чисел, получающихся из чисел, делящихся на 10. Рассмотрим числа

где и — цифры и В результате операции из них получатся числа

Разность этих чисел равна

Если то эта разность не может быть равной нулю, поскольку

Если то разность может быть равной нулю только при то есть если исходные числа совпадают.

Значит, в результате операции из различных трехзначных чисел, делящихся на 10, получаются различные числа.

Среди чисел от 600 до 999 ровно 40 чисел делятся на 10. Следовательно, в результате операции из чисел от 600 до 999 может получиться 40 различных чисел.