№4,5. Теория вероятностей

Базовые понятия теории вероятностей

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №4,5. Теория вероятностей

Теоретическая справка

#585

Во всех задачах на теорию вероятностей мы имеем дело с некоторым случайным экспериментом. Бросок кубика, вытаскивание шариков из коробки вслепую, вытягивание билета на экзамене, все это — случайные эксперименты.

Определение. Случайный эксперимент — это любой эксперимент или событие из реальной жизни, результат которого невозможно точно предсказать.

Определение. Реализация случайного эксперимента приводит к одному из элементарных исходов. Множество всех элементарных исходов случайного эксперимента называют пространством элементарных исходов.

Например, при броске обычного шестигранного кубика возможны шесть элементарных исходов: выпало 1 очко, выпало 2 очка, …, выпало 6 очков. Вероятностным пространством будет множество ${1;2;3;4;5;6}.$ Пока мы будем рассматривать эксперименты с конечным числом элементарных исходов.

Определение. Каждому элементарному исходу соответствует некоторое неотрицательное число — вероятность его возникновения. Сумма вероятностей всех элементарных исходов случайного эксперимента должна равняться 1.

Так, если в примере с кубиком все значения выпадают равновероятно, то вероятности всех шести элементарных исходов равны между собой и по определению вероятности в сумме дают 1, значит,

p = p = p = p = p = p = 1. 1 2 3 4 5 6 6

Далеко не во всех случайных экспериментах элементарные исходы равновероятны!

Определение. Событием называют любое подмножество пространства элементарных исходов.

При броске кубика событию (в житейском понимании этого слова) «выпало четное количество очков» соответствует подмножество ${2;4;6}$ вероятностного пространства ${1;2;3;4;5;6}.$

Определение. События называют несовместными, если у них нет ни одного общего элементарного исхода.

События «выпало четное число очков» и «выпало нечетное число очков» несовместны, ведь им соответствуют множества ${2;4;6}$ и ${1;3;5},$ пересечение которых пусто.

Напротив, события «выпало четное число очков» и «выпало число очков, кратное 3» не являются несовместными, так как соответствующие им множества ${2;4;6}$ и ${3;6}$ имеют общий элементарный исход — выпадение шестерки.

Важно! Из определения очевидно следует, что любые два различных элементарных исхода несовместны.

Ключевой факт, которым мы пользуемся во всех задачах

Если события $A$ и $B$ несовместны, то вероятность того, что произойдет хотя бы одно из них, равна сумме их вероятностей. Так как мы знаем, что $A$ и $B$ — это на самом деле множества, а формулировка «хотя бы одно» означает их объединение, можем записать этот факт следующим образом:

P(A ∪B )= P(A)+ P(B).

В частности, получаем, что вероятность события равна сумме вероятностей всех элементарных исходов, из которых оно состоит, так как они все между собой несовместны.

Далее решим несколько задач, применив сформулированный факт на практике.

1. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Ответ. 0,25

Решение. Пусть событие $A$ — это получение вопроса по тригометрии, а событие $B$ — получение вопроса по внешним углам. В условии сказано, что нет вопросов, относящихся к обеим темам сразу, следовательно, события $A$ и $B$ несовместны, и вероятность того, что произойдет хотя бы одно из них, равна сумме их вероятностей. Тогда

P (A ∪B )= P(A)+ P (B )= 0,1+ 0,15 = 0,25.

2. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Ответ. 0,52

Решение. В конце дня могло возникнуть четыре различных ситуации:

кофе остался в обоих автоматах $(++ );$
кофе закончился только в первом автомате $(− +);$
кофе закончился только во втором автомате $(+ −);$
кофе закончился в обоих автоматах $(− −).$

Это и есть ни что иное, как наши четыре элементарных исхода. По условию для каждого автомата по отдельности вероятность того, что в нем закончится кофе, равна 0,3. Значит, событию «кофе закончился в первом автомате», которое состоит из элементарных исходов ${(−+ );(−− )},$ соответствует вероятность 0,3. Событию «кофе закончился в обоих автоматах» соответствует ровно один элементарный исход $(−− ).$ Тогда

P ((−+ ))= P({(− +);(−− )})− P ((−− )) =0,3− 0,12= 0,18.

По аналогичным соображениям

P ((+− ))= P({(+ −);(−− )})− P ((−− )) =0,3− 0,12= 0,18.

Теперь легко найти вероятность интересующего нас элементарного исхода «кофе остался в обоих автоматах», то есть исхода $(++ ).$

P((++ ))= P({(++);(− +);(+ −);(− −)})− P((− +))− P((+−))−P((−− ))= 1− 0,18−0,18− 0,12= 0,52.

Предыдущая справка

Следующая справка