№4,5. Теория вероятностей

Условная вероятность

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №4,5. Теория вероятностей

Теоретическая справка

#586

1. Игральную кость бросили два раза. Известно, что два очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 4».

Ответ. 0,08

Решение через погружение в новое пространство

Рассмотрим все возможные элементарные исходы в эксперименте с броском двух кубиков. Это всевозможные пары натуральных чисел, где первое число пары — число очков, выпавших на первом кубике, второе число пары — число очков, выпавших на втором кубике. Каждое число пары может принимать одно из шести значений ${1;2;3;4;5;6}.$ Тогда общее количество элементарных исходов равно $6 ⋅6 = 36,$ причем все они равновероятны.

Нам известно, что два очка не выпало ни разу. Это условие погружает нас в новое пространство элементарных исходов, меньшее, чем изначальное, в котором больше нет исходов с двойкой — они нереализуемы. Элементарные исходы с двойкой:

$pict$

Их всего 11, тогда в новом пространстве всего $36− 11= 25$ элементарных исходов. Найдем все элементарные исходы нового пространства, в которых сумма очков равна 4 — это только исходы $(1;3)$ и $(3;1),$ ведь исхода $(2;2)$ нет в нашем новом пространстве. Все исходы нового пространства также равновероятны, тогда вероятность события ${(1;3);(3;1)}$ «сумма выпавших очков окажется равна 4» равна отношению числа элементарных исходов в нем к общему количеству элементарных исходов, то есть

P = -2 = 0,08. 25

Решение через формулу условной вероятности

Определение. Условной вероятностью события $A$ при условии события $B$ называют отношение вероятности того, что события $A$ и $B$ произошли одновременно, и вероятности события $B.$ Здесь, конечно, вероятность $B$ должна быть больше нуля. В виде формулы:

P (A ∩ B) P(A|B)= --P(B)--.

Пусть событие $A$ — «сумма выпавших очков окажется равна 4», ему соответствует множество ${(1;3);(2;2);(3;1)}$ элементарных исходов. Событие $B$ — «два очка не выпали ни разу», ему соответствует множество всех элементарных исходов пространства, кроме тех, которые содержат 2, в первом решении мы посчитали, что таких исходов 25. По определению условной вероятности

P(A|B)= P-(A-∩-B). P(B)

Событие $A ∩ B$ содержит все исходы события $A,$ кроме тех, в которых есть 2, то есть $A∩ B = {(1;3);(3;1)}.$ Так как элементарные исходы в нашей задаче равновероятны, получим

2 25 P (A ∩ B)= 36, P(B)= 36-.

Тогда

( ) ( ) P(A|B) = P(A∩-B)-= -2 ∕ 25 = -2 = 0,08. P (B ) 36 36 25

2. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет нечетных чисел, а четные числа 2, 4 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?

Ответ. 0,2

Решение. Выпишем все исходы, когда выпали 4 и 6 очков в некотором порядке. Остальные исходы нас не интересуют, ведь из условия известно, что событие «в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков» уже произошло, и мы погружаемся в новое пространство элементарных исходов. В случае, если был выбран первый кубик, таких исходов всего два: $(4;6)$ и $(6;4).$ В случае, если был выбран второй кубик, таких исходов восемь: $(41;61),$ $(41;62),$ $(42;61),$ $(42;62),$ $(61;41),$ $(61;42),$ $(62;41),$ $(62;42).$ Индексами показано, что на втором кубике есть две шестерки и две четверки.

Все 10 перечисленных исходов равновероятны, среди них 2 соответствуют выбору первого кубика, значит, искомая вероятность равна

P = 2-= 0,2. 10

Предыдущая справка

Следующая справка