№4,5. Теория вероятностей

Комбинаторика в теории вероятностей

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №4,5. Теория вероятностей

Теоретическая справка

#589

Введение

Рассмотрим ситуацию, когда все элементарные исходы некоторого случайного эксперимента равновероятны и всего их $n$ штук. Допустим, что в задаче нас просят найти вероятность некоторого события $A = {a1,...,ak},$ состоящего из $k$ элементарных исходов. Тогда

P (A )= количество «благоприятных» исходов= k-. общ ее количество исходов n

Получается, что в этом случае от задачи по теории вероятностей мы переходим к задаче по комбинаторике: нам нужно лишь подсчитать количество благоприятных исходов, общее количество исходов и найти их отношение.

Перестановки

Представим следующую ситуацию: 5 школьников пришли в столовую за сосисками в тесте. Сколькими различными способами они могли выстроиться в очередь? Пронумеруем позиции в очереди от 1 до 5. Тогда количество вариантов выбрать школьника на первую позицию равно пяти, на вторую — четырем, так как один из школьников уже на первой позиции, на третью — трем, на четвертую — двум, на последнюю пятую позицию отправляется единственный оставшийся школьник. Каждому варианту для одной позиции могут соответствовать все возможные комбинации вариантов на остальных позициях, значит, чтобы получить общее количество комбинаций, нужно перемножить варианты на всех позициях:

5⋅4⋅3⋅2⋅1 =5!

В общем случае количество различных перестановок из $n$ элементов равно $n!.$

Сочетания

Теперь нам нужно из 7 человек выбрать двоих для дежурства на перемене. Будем выбирать их по очереди, сначала первого дежурного, потом второго. Первого можно выбрать семью способами, для каждого из способов выбрать первого есть шесть способов выбрать второго, получаем, что общее количество способов выбрать двоих дежурных равно 42. Что же не так в этом рассуждении? Среди этих 42 способов мы один раз посчитали способ, когда мы первым выбрали Петю, а вторым — Васю, а также способ, когда мы первым выбрали Васю, а Петю — вторым. В реальности же нет разницы между парами дежурных Петя-Вася и Вася-Петя. Значит, искомое количество способов вдвое меньше, чем мы получили, так как каждую пару мы посчитали дважды, и правильный ответ — 21.

Заметим, что если бы мы выбирали одного дежурного в столовую, а второго в коридор, то наш изначальный результат был бы верным. Ведь способы «Васю в коридор, Петю в столовую» и «Васю в столовую, Петю в коридор» действительно различны.

Рассмотрим более сложную ситуацию. Теперь из 7 человек нужно выбрать троих для дежурства. Мы уже понимаем, что если просто перемножить $7 ⋅6 ⋅5= 210,$ то некоторые варианты окажутся посчитаны больше одного раза. Попробуем разобраться, сколько раз будет посчитан каждый вариант.

Рассмотрим троих людей Васю, Петю и Колю. Тогда среди 210 вариантов мы посчитали варианты

$pict$

В реальности все эти шесть вариантов не отличаются, ведь мы просто выбрали дежурными Васю, Петю и Колю, неважно в каком порядке. Теперь становится понятно, что каждый вариант мы вместо одного раза посчитали $6 =3!$ раз, то есть делить нужно на количество различных перестановок, ведь именно столько раз мы посчитали каждый вариант. Таким образом, ответ

7-⋅6-⋅5 3! = 35.

Посчитаем теперь количество способов выбрать четырех дежурных из тех же самых соображений:

7⋅6-⋅5⋅4= 35. 4!

Получили, что количество способов выбрать четверых равно количеству способов выбрать троих. Действительно, ведь выбрать четверых это то же самое, что выбрать троих, которые не будут выбраны.

Посчитаем количество способов выбрать 9 человек из 11. Вместо того, чтобы выбирать 9 дежурных, выберем 2 недежурных. Проверим, что результаты при двух способах подсчета совпадут:

11⋅10⋅9⋅8-⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3 = 55 = 11⋅10. 9! 2

Задачи на перестановки и сочетания

1. В группе туристов 12 человек. С помощью жребия они выбирают трех человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдет в магазин?

Ответ. 0,25

Решение. Посчитаем число «благоприятных» исходов, в которых Д. отправляется в магазин. Оно равно числу способов выбрать ему двух компаньонов из оставшихся 11 человек, то есть

11-⋅10 = 55. 2!

Общее число способов выбрать троих человек из 11 равно

12 ⋅11 ⋅10 ---3!---= 220.

Искомая вероятность равна отношению количества благоприятных исходов к общему числу исходов, то есть

-55 p= 220 = 0,25.

2. Пин-код на телефоне — случайная комбинация из четырех цифр. Какова вероятность того, что пин-код будет содержать ровно три различных цифры?

Ответ. 0,432

Решение. Каждая из четырех цифр может принимать одно из десяти значений, следовательно, общее число комбинаций равно $104.$

Посчитаем количество благоприятных исходов. Если пин-код содержит три различные цифры, это значит, что какие-то две цифры одинаковые, а оставшиеся две отличаются и между собой, и от первых двух. Сначала выберем две позиции, на которых будут стоять две одинаковые цифры. Количество способов выбрать две позиции из четырех равно $4⋅23= 6$ (порядок нам неважен, ведь там будут стоять одинаковые цифры). Мы выбрали две позиции, где будут одинаковые цифры. Теперь у нас есть 10 способов выбрать цифру, которая встречается дважды, 9 способов выбрать одну из двух разных цифр и 8 способов выбрать последнюю цифру. Перемножив, получим $6 ⋅10 ⋅9 ⋅8$ комбинаций. Поделив на общее число исходов, получим искомую вероятность

p= 6-⋅1010⋅94-⋅8= 0,432.

Подбрасывания монетки

Рассмотрим классическую ситуацию: симметричная монетка подбрасывается 3 раза, необходимо посчитать количество возможных комбинаций орлов и решек, которые могут выпасть. На каждом броске мы можем получить либо орла, либо решку. Нарисуем ситуацию в виде дерева.

$OOOOOOOPPPPPPPOPOPPOOOOOPPPPOOPPOOPPOOPPOPOPOPOP$

На первом уровне дерева находятся все комбинации для одного броска (всего $21 = 2$ варианта), на втором — для двух (всего $22 = 4$ варианта), на третьем — для трех (всего $23 =8$ вариантов). Количество комбинаций на каждом следующем уровне дерева увеличивается двое. Действительно, ведь каждый следующий бросок «раздваивает» каждую из существующих комбинаций. Дерево можно продолжать дальше вниз и для произвольного количества $n$ бросков количество возможных комбинаций будет равняться $n 2 .$

3. Симметричную монетку подбрасывают 10 раз. Найдите вероятность того, что выпало ровно 2 орла. Ответ округлите до тысячных.

Ответ. 0,044

Решение. Общее количество возможных комбинаций при 10 подбрасываниях монетки равно $210.$

Найдем количество благоприятных исходов. В благоприятном исходе ровно в двух подбрасываниях из 10 выпал орел, в остальных — решки, значит, количество благоприятных исходов равно количеству способов выбрать два подбрасывания из 10, в которых выпали орлы, порядок нам не важен, потому что орлы одинаковые. Мы уже считали подобное, поделив количество благоприятных исходов на общее число исходов, получим

102⋅9 -45-- p = 210 = 1024.

Поделим в столбик и округлим до тысячных:

45 1024-= 0,0439...≈0,044.

Броски кубика

Теперь вместо подбрасывания монетки совершается несколько бросков кубика. Сколько же комбинаций очков может выпасть если совершено два броска? три броска? Эту ситуацию можно снова смоделировать с помощью дерева, только теперь из каждой вершинки, соответствующей комбинации, будет вести уже шесть ребер. Таким образом, с каждым следующим броском количество комбинаций будет увеличиваться в 6 раз, и ответ для двух бросков $62,$ а для трех — $63.$

Попробуем взглянуть на ситуацию немного иначе. Пусть каждому из трех бросков соответствует одна из трех позиций:

---

Тогда на каждой из трех позиций может оказаться одно из чисел от 1 до 6 — результат соответствующего броска. Для каждой позиции напишем количество вариантов очков. Каждому варианту для одной позиции могут соответствовать все возможные комбинации вариантов на остальных позициях, значит, чтобы получить общее количество комбинаций, нужно перемножить варианты на всех позициях:

6 ⋅6 ⋅6= 63.

4. Егор трижды подбрасывает правильную игральную кость. Какова вероятность того, что за эти три подбрасывания ровно один раз выпадет число, кратное трём? Ответ округлите до сотых.

Ответ. 0,44

Решение. Общее количество возможных комбинаций при 3 подбрасываниях игральной кости равно $63 =216.$

Найдем количество благоприятных исходов. В благоприятном исходе ровно в двух подбрасываниях из трех выпало одно из чисел ${1;2;4;5},$ в третьем — одно из числе ${3;6}.$ Значит, количество благоприятных исходов равно количеству способов выбрать одно подбрасывание из трех, в котором выпало число, кратное 3, умноженному на количество вариантов в каждом из подбрасываний. Таким образом, количество благоприятных исходов равно

3⋅4 ⋅4⋅2= 96.

Поделив количество благоприятных исходов на общее число исходов и округлив ответ до сотых, получим

p = 96-= 4 = 0,(4) ≈ 0,44. 216 9

Предыдущая справка

Следующая справка