Механика

Относительность движения

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: Механика

Теоретическая справка

#603

Основные формулы

Закон сложения скоростей:

⃗v = ⃗v +⃗v абс пер отн

Теория

Пусть существует две системы отсчета (СО): неподвижная $K$ и подвижная $K′$ , а также тело, которое движется. Введем понятие радиус-вектора.

Радиус-вектор — вектор, выходящий из начала системы координат и направленный к какой-либо точке. Введем вектор $⃗l$ , соединяющий начало $O$ неподвижной СО с началом $O ′$ подвижной СО.

$PIC$

По правилу сложения векторов несложно получить:

⃗r = ⃗l+ ⃗r′

Далее учтем, что изменение радиус-вектора — это перемещение, а изменение суммы — это сумма изменений:

Δ ⃗r = Δ(⃗l+ ⃗r′)= Δ ⃗l+Δ ⃗r′

Разделим все на $Δt$ :

Δ ⃗r Δ⃗l Δ ⃗r′ -Δt = Δt +-Δt

Осталось заметить, что каждая дробь является скоростью по определению. Мы получили закон сложения скоростей:

⃗vабс = ⃗vпер +⃗vотн

Абсолютная скорость $⃗vабс$ — скорость тела в неподвижной системе отсчета.
Переносная скорость $⃗vпер$ — скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной.
Относительная скорость $⃗vотн$ — скорость тела в подвижной системе отсчета.

Отсюда можно получить формулу, которая позволяет «пересесть» в нужную систему отсчета:

⃗vотн = ⃗vабс+ (−⃗vпер)

Таким образом, чтобы перейти в движущуюся систему отсчета, необходимо найти относительную скорость. Для этого от вектора скорости в лабораторной системе отсчета $⃗vабс$ необходимо вычесть вектор скорости $⃗vпер$ того тела, в чью систему отсчета мы хотим перейти. При этом, когда мы переходим в подвижную СО, для нас она мысленно становится неподвижной, так как мы начинаем двигаться вместе с ней.

Стоит отметить, что для того чтобы казаться неподвижной, системе отсчета необходимо обладать большими размерами. Для понимания приведем распространенный пример. В задачах за неподвижную СО часто принимается поверхность Земли, хотя на самом деле сама планета подвижна и движется вокруг Солнца с большой скоростью. Поскольку и наблюдатель, и рассматриваемое в задаче тело находятся на поверхности подвижной Земли, для них эта СО «замораживается» и словно стоит на месте. Поэтому систему отсчета, связанную с поверхностью Земли, часто удобно принять за неподвижную.

Примеры решения задач

Задача 1

Пловец переплывает реку шириной $L = 400$ м по прямой, перпендикулярной берегу, и возвращается обратно, затратив время $t1 = 30$ мин. Проплывая такое же расстояние $L$ вдоль берега и возвращаясь обратно, затрачивает время $t2 =50$ мин. Во сколько раз скорость пловца превышает скорость реки? (Задача из сборника ВМК)

Решение

Введем обозначения: $vабс$ — скорость движения пловца относительно берега, $vотн$ — скорость пловца относительно воды, $vпер$ — скорость течения. Тогда сделаем рисунок для первой ситуации:

$PIC$

Заметим, что путем параллельного переноса получим прямоугольный треугольник со сторонами $v абс$ , $vотн$ и $vпер$ . Запишем теорему Пифагора и выразим $vабс$ :

∘ --------- vабс = v2отн − v2пер

Время $t1$ , за которое пловец переплывает берег и возвращается назад:

2L t1 = v- абс

Подставляя выражение для абсолютной скорости, получим:

----2L------ t1 = ∘v2отн−-v2пер

Теперь рассмотрим вторую ситуацию: движение вдоль берега. Изобразим движение пловца по направлению течения (в таком случае $vабс = vотн+ vпер$ ) и против течения (в таком случае $vабс = vотн− vпер$ ).

$PIC$

Учитывая это, время $t2$ , за которое пловец проплывает вдоль берега расстояние $L$ по течению и возвращается назад, равно:

t2 =----L----+ ----L---- vотн+ vпер vотн− vпер

Немного преобразуем формулу для $t1$ . Для этого возведем ее в квадрат и выразим знаменатель дроби:

2 2 t21 =-2-4L--2- ⇒ v2отн− v2пер = 4L2- vотн− vпер t1

Далее преобразуем формулу для $t2$ . Приведем к общему знаменателю обе дроби, тогда немного преобразовав полученное выражение будем иметь:

2vотнL-= v2отн− v2пер t2

Приравняем полученные выражения:

4L2 2vотнL -t21 = --t2---

Выразим отсюда относительную скорость пловца:

vотн = 2L2t2- t1

Тогда вспомним, что $v2отн− v2пер =4L2∕t21$ . Подставим в эту формулу полученное выражение для $vотн$ :

(2Lt2)2 2 4L2 t21 − vпер = t21

Откуда слегкостью выражаем скорость реки $v пер$ :

∘ ------ vпер = 2L2 t22− t21 t1

Наконец можем найти отношение скоростей $vотн∕vпер$ . Для этого делим соответствующие выражения и получаем:

vотн ---t2--- -------50-ми-н-------- vпер = ∘ t22− t21 = ∘ (50 ми н)2− (30 мин )2 = 1,25

Ответ: 1,25

Задача 2

Корабль $A$ и торпеда $B$ в некоторый момент времени находятся на расстоянии $l$ = 1 км друг от друга (см. рис.). Скорость корабля $v1$ = 10 м/с, угол $α = 60∘$ . Скорость торпеды $v2$ = 20 м/с. Угол $β$ таков, что торпеда попадёт в цель. (Задача с олимпиады «Физтех»)

$PIC$

1) Найдите $sinβ$ .

2) Через какое время $T$ расстояние между кораблём и торпедой составит $S =770$ м?

Решение

Разберемся с первым пунктом. За неподвижную систему отсчета примем воду, а за подвижную систему отсчета — корабль $A$ . Отсюда скорость $v2$ торпеды $B$ — это абсолютная скорость, а скорость корабля $v1$ — переносная.

Перенесем вектор $⃗v1$ в точку $B$ так, чтобы он был параллелен, но направлен в противоположную сторону изначальному положению — получим вектор $− ⃗v1$ . Также введем оси, направив одну из них по линии $AB$ .

Изобразим это на рисунке:

$PIC$

Вспомнив следствие из закона сложения скоростей и правило сложения векторов методом параллелограмма, построим вектор относительной скорости $⃗vотн$ :

⃗vотн = ⃗vабс+ (−⃗vпер)

Спроецируем уравнение выше на ось $x$ и выразим искомую величину:

v1 √3- 0= v2sinβ − v1sinα ⇒ sinβ = sinα ⋅v2 = 4

Теперь решим второй пункт, при этом помним, что мы находимся в системе отсчета корабля (корабль неподвижен), как и в первом пункте. Спроецируем вектора на другую ось и изобразим это на рисунке:

$PIC$

Найдем, через какое время $T$ расстояние между кораблём и торпедой составит $S$ , используя следующее выражение:

l− S T = vотн-

Спроецируем следствие из закона сложения скоростей на ось $y$ :

vотн = v2cosβ + v1cosα

Подставим выражение для относительной скорости в формулу для $T$ , найдем время, через которое расстояние между кораблём и торпедой составит $S = 770$ м:

l− S l− S T =-v-- = v-cosβ+-v-cosα отн 2 1

Осталось найти $cosβ$ . Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin2β+ cos2β = 1$ :

∘ ----3- √13 cosβ = 1− 16 = -4--

Наконец, можем подставить численные значения в формулу и получить ответ:

T = --1000√ м-−-770-м--≈ 10 с 20 м-⋅--13+ 10 м-⋅ 1 с 4 с 2

Ответ: 1) $√3- -4-$ ; 2) 10 с

Предыдущая справка

Следующая справка