Механика

Работа. Энергия. Закон сохранения энергии

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: Механика

Теоретическая справка

#606

Основные формулы

Импульс тела:

⃗p =m ⃗v

Работа силы:

A = FScosα

Мощность:

ΔA N = Δt-

Мгновенная мощность:

N = Fυcosα

Коэффициент полезного действия (КПД):

A-пол Pпол η = A зат ⋅100% = Pзат ⋅100%

Кинетическая энергия:

mυ2 p2 E кин = -2--= 2m-

Теорема о кинетической энергии:

n∑ ΔEкин = AF1 +AF2 + ...+AFi = AFi i=1

Теорема о потенциальной энергии:

Aпот = Eпот.н.− Eпот.к.

Закон сохранения полной механической энергии:

∑n ∑n Eкин.к+ Eпот.к.i = Eкин.н+ Eпот.н.i = const i=1 i=1

Работа силы тяжести:

A =− ΔE пот = Eпот.н.− E пот.к.

Работа силы упругости:

A =− ΔE пот = Eпот.н.− E пот.к.

Потенциальная энергия силы тяжести:

Eтяж =mgh

Потенциальная энергия силы упругости:

2 E упр = kx- 2

Потенциальная энергия силы гравитации:

E грав = −G Mm- R

Потенциальная энергия силы Кулона:

-1--Qq- EКул = 4π𝜀0 r

Основные понятия

Работа силы

Работа силы — это величина, определяемая как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения. Раскрыв скалярное произведение, получим, что работа силы — это произведение модуля вектора силы на модуль вектора перемещения и на косинус угла между ними.

$PIC$

A= F⃗⋅ ⃗S =F ⋅S ⋅cosα

Единицы измерения:

$[A]$ = Н $⋅$ м = Дж — джоуль.

Из-за наличия скалярного произведения появляется зависимость работы от направления силы:

$PIC$

Мощность

Мощность — это скалярная величина, характеризующая скорость совершения работы. Она равняется отношению работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени.

N = ΔA- Δt

Единицы измерения:

$[N]=$ Вт — ватт.

При неизменной силе $⃗F = const$ справедливы следующие рассуждения: запишем выражения для работы и мощности:

ΔA N = -Δt , A= F Scosα

Подставляя выражение работы в выражение мощности, имеем:

N = Δ(FS-cosα-)= F cosα ΔS- Δt Δt

По определению $ΔS∕Δt = v$ , следовательно, мгновенная мощность может быть выражена следующим образом:

N = Fvcosα

Коэффициент полезного действия

Коэффициент полезного действия (КПД) — это физическая величина, равная отношению полезной работы к затраченной. Часто эту величину домножают на 100, чтобы работать с процентами.

A-пол Pпол η = A зат ⋅100% = Pзат ⋅100%

$PIC$

Единицы измерения:

$[η]= %$ — проценты, однако также используются доли единицы (для перевода в доли единицы необходимо проценты поделить на 100 $%$ ).

КПД показывает, какая часть полученной системой энергии переводится в полезную работу. При этом у полезной работы нет строгого определения, однако в задачах полезной работой чаще всего является нагрев/охлаждение и подъем/перемещение тел. По определению КПД не может быть больше 1 (100 $%$ ).

Силы в природе

Силы в природе можно классифицировать на два вида:

Консервативные (потенциальные) силы — силы, сохраняющие механическую энергию замкнутой системы тел. Работа консервативных сил не зависит от формы пути между двумя точками (при перемещении тела между ними), а зависит лишь от начального и конечного положения тела. Работа потенциальной силы по замкнутой траектории равна нулю.
Примеры: сила тяжести, сила упругости, сила гравитации, сила Кулона.
Диссипативные (непотенциальные) силы — силы, которые рассеивают механическую энергию. Работа диссипативной силы зависит от траектории движения тела и по замкнутой траектории не равна нулю.
Примеры: сила трения, сила сопротивления, сила натяжения.

$PIC$

Энергия

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия — это энергия механического движения тела. Она определяется по следующей формуле:

mv2- Eкин = 2

Единицы измерения:

$[Eк]=$ Дж — джоуль.

Зная, что импульс $p= mv$ , а также домножив и поделив на $m$ , имеем другой вид формулы кинетической энергии:

22 2 Eкин = m-v- ⇒ Eкин =-p- 2m 2m

При этом справедлива теорема об изменении кинетической энергии, которая звучит так:

Изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на тело.

n∑ ΔEкин = AF1 +AF2 + ...+AFi = AFi i=1

Потенциальная энергия

Для потенциальных сил вводят скалярную величину — потенциальную энергию. Она зависит от взаимного положения тел в системе, которое изменяют консервативные силы. Сопоставим каждой потенциальной силе ее энергию:

|-----------------------|--------------|--------------------------| |К-он-сервативн-ая-сила-|--Ф-орм-ула---|П-отенц-иальн-ая-энергия--| | | | | | | | | |----С-ила-тяж-ести-----|---Fтяж-=-mg---|--------Eпот-=-mgh---------| | | | | | | | kx2 | |---С-ила-уп-ругости----|--Fупр =-−kx--|--------Eпот =-2----------| | | | | | | Mm | Mm | |Г-рави-тацион-ная-сила-|-Fграв-=G--R2--|------Eпот =-−G-R---------| | | | | | | -1--Qq-| --1-Qq- | ------Си-ла-Кул-она------F-Кул-=-4π𝜀0r2--------Eпот =-4π𝜀0-r-------

Единицы измерения:

$[Eпот]=$ Дж — джоуль.

Величина потенциальной энергии может быть определена с точностью до произвольной постоянной, значение которой зависит от выбора нулевого уровня. Нулевой уровень — положение тела, в котором потенциальную энергию, которой оно обладает, условно принимают за ноль.

В отличие от кинетической энергии, потенциальная энергия может принимать отрицательные значения, если тело находится ниже нулевого уровня.

Теорема о потенциальной энергии

Работа потенциальной силы определяется как разность потенциальных энергий (начальная энергия минус конечная)

Aпот = Eпот.н.− Eпот.к.

Рассмотрим, как работает данная теорема на примере силы тяжести. Пусть тело массой $m$ переместилось из положения 1 в положение 2 как показано на рисунке.

$PIC$

Работу силы тяжести в положении 1 можно найти по уже известной нам формуле:

Amg = mgS cosα

Теперь воспользуемся теоремой о потенциальной энергии и найдем работу той же силы тяжести с учетом того, что $Eпот = mgh$ :

Amg = mgh1− mgh2 = mg(h1− h2)

Также можно заметить, что $(h1− h2)= Scosα$ :

$PIC$

Тогда формула упростится:

Amg = mgS cosα

Закон сохранения механической энергии

Вспомним теорему об изменении кинетической энергии:

n ΔE кин = ∑ AFi i=1

Разобьем сумму на две: сумму потенциальных и непотенциальных сил:

∑n пот ∑n непот ΔE кин = A Fi + A Fi i=1 i=1

Пусть сумма работ всех непотенциальных сил равна нулю:

n n n ΔE кин = ∑ AпотF + ∑ A/не/по/т/F = ∑ AпотF i=1 i /i=/1 i i=1 i

Вспомним теорему о потенциальной энергии $Aпот = Eпот.н.− Eпот.к.$ и подставим ее в предыдущее выражение:

∑n ΔE кин =E кин.к − E кин.н = (E пот.н.i− Eпот.к.i)= 0 i=1

Мы получили закон сохранения механической энергии:

∑n ∑n Eкин.к+ Eпот.к.i = Eкин.н+ Eпот.н.i = const i=1 i=1

Формулировка: сумма кинетической и потенциальной энергии в конце равна сумме кинетической и потенциальной энергии в начале и есть величина неизменная в том случае, если работа всех непотенциальных сил равна нулю.

Важные конструкции с ЗСЭ

Шарик, подвешенный на нити, совершает полный оборот с минимальной скоростью

Необходимо определить, с какой минимальной скоростью шарик, подвешенный на нити, сможет совершить полный оборот.

$PIC$

Пусть при прохождении положения 1 шарик массой $m$ имеет скорость $u$ . Рассмотрим положение 2. В верхней точке (положение 2) на шарик действует сила натяжения нити и сила тяжести. Так как траектория движения — окружность, то присутствует центростремительное ускорение. Для совершения полного оборота шарику необходимо обладать некоторой скоростью в верхней точке (положение 2). В противном случае, если его скорость в положении 2 равна нулю, шарик упадет вниз. Примем скорость шарика в верхней точке за $v$ . Запишем второй закон Ньютона для шарика в положении 2 и спроецируем его на ось $Oy$ :

2 2 mg + T = maц.с., aц.с. = v ⇒ mg+ T = m v- R R

Рассмотрим энергии, которыми обладает шарик в положениях 1 и 2. Примем, что нулевой уровень потенциальной энергии проходит через точку 1, как показано на рисунке. Тогда в положении 1 шарик будет обладать только кинетической энергией. В положении 2 шарик находится на высоте $H = 2R$ относительно выбранного нами нулевого уровня и обладает скоростью $v$ , следовательно, он обладает потенциальной и кинетической энергиями. Запишем закон сохранения энергии для шарика в положениях 1 и 2:

mu2-= mv2-+ mg2R 2 2

Из ЗСЭ следует, что чем меньше скорость $u$ , тем меньше скорость $v$ . Из второго закона Ньютона следует, что чем меньше скорость $v$ , тем меньше сила натяжения нити $T$ . Чтобы тело совершило полный оборот, сила натяжения нити должна быть минимальна в верхней точке (положение 2) и во всех положениях должна быть $T ≥ 0$ . Так как нас интересует минимальная скорость, то и значение $T$ должно быть минимальным $⇒ T = 0$ — предельный случай, то есть сила натяжения нити отсутствует.

Учтем этот случай при записи второго закона Ньютона для положения 2:

v2 mg +0 = m-R ⇒ v2 = gR

Поделим на $m$ и домножим на 2 выражение для ЗСЭ, а также учтем, что $v2 = gR$ :

2 ∘---- u = gR+ 2g2R =5gR ⇒ u = 5gR = umin

Это и есть минимальная скорость, необходимая для того, чтобы шарик на нити сделал полный оборот.

Шарик, закрепленный на стержне, совершает полный оборот с минимальной скоростью

ЗСЭ для стержня выглядит аналогично ЗСЭ для нити:

mu2-= mv2-+ mg2R 2 2

В данном случае минимальная скорость $v$ в положении 2 равна нулю. Тогда:

mu2-= 0+ mg2R ⇒ u = ∘4gR- 2

Минимальная скорость, которая необходима для того чтобы шарик, закрепленный на стержне, совершил полный оборот: $umin = 0$ .

∘ --- umin = 2 gR

В отличие от нити стержень является жесткой конструкцией, и сила натяжения может действовать как вниз, так и вверх, поэтому условия минимальности для стержня и нити разные.

Шарик на нити отклоняют от положения равновесия

Рассмотрим следующую мини-конструкцию. Пусть шарик массой $m$ , подвешенный на нити длиной $l$ , имеет скорость $v0$ в положении $A$ (положение равновесия) и поднимается в положение $B$ , где его скорость $v = 0$ , отклонившись на угол $φ$ от положения равновесия.

$PIC$

Пусть нулевой уровень для потенциальной энергии шарика проходит через точку $A$ как показано на рисунке. Тогда в положении $A$ шарик обладал только кинетической энергией. При переходе из положения $A$ в положение $B$ шарик поднимается на некоторую высоту $h$ , где его скорость становится равной нулю. Следовательно, в положении $B$ шарик обладает только потенциальной энергией. Исходя из этого запишем закон сохранения энергии: