Механика

Динамика. Законы Ньютона

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: Механика

Теоретическая справка

#611

Основные формулы

Второй закон Ньютона:

∑ ⃗Fi = m ⃗a

Закон Гука:

Fупр = −kΔx

Сила трения покоя:

Fтр.п ≤ μN

Сила трения скольжения:

Fтр = μN

Закон всемирного тяготения:

m1m2 Fгр = G-R2--

Сила тяжести:

Fтяж = mg

Зависимость ускорения свободного падения от высоты:

g(h)= G---M--2 (R +h)

Сила Архимеда:

FАрх = ρжgVп.ч

Основные понятия

Динамика, в отличие от кинематики, изучает причины возникновения механического движения. Рассмотрим основные понятия, на которых строится вся динамика.

Инерциальная система отсчета (ИСО) — система отсчета, в которой тела либо движутся прямолинейно и равномерно, либо покоятся, когда векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю. Во всех инерциальных системах отсчета процессы механики протекают одинаково.

Как правило, систему отсчета, связанную с поверхностью Земли, считают инерциальной. Если СО (тело) движется прямолинейно и равномерно или покоится относительно Земли, то система отсчета, связанная с этим телом, также инерциальна.

Материальной точкой называется тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь. В отличие от геометрической точки, материальная точка может обладать массой, электрическим зарядом и другими физическими характеристиками.

Как правило, модель материальной точки можно применить в двух ситуациях:

Тело движется поступательно. В этом случае все точки тела движутся одинаково, поэтому для описания поступательного движения тела достаточно описать движение одной его точки.
Размеры тела малы по сравнению с расстояниями до других тел.

Сила — мера взаимодействия между телами. Сила — это векторная величина, которая зачастую обозначается как $⃗F$ . Единицы измерения:

$[F]=$ Н — ньютон.

Глобально все силы относятся к некоторым фундаментальным взаимодействиям. Всего их 4:

гравитационное,
электромагнитное,
слабое,
сильное.

однако с последними двумя — сильным и слабым взаимодействием — в рамках школьной физики мы не встречаемся.

Законы Ньютона

Первый закон Ньютона

Существуют такие системы отсчёта, в которых тело, не взаимодействующее с другими телам, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Такие системы отсчета называются инерциальными.

По сути, первый закон Ньютона просто постулирует существование инерциальных систем отсчета.

Второй закон Ньютона

В инерциальной системе отсчёта ускорение тела с постоянной массой прямо пропорционально векторной сумме всех действующих на него сил и обратно пропорционально массе этого тела:

∑ ⃗a = --⃗Fi m

Третий закон Ньютона

Два тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению. Эти силы имеют одну и ту же физическую природу и направлены вдоль прямой, соединяющей их точки приложения.

⃗F12 = − ⃗F21

Взаимодействие между молекулами

Кратко рассмотрим механизм взаимодействия двух молекул. Между молекулами возникают как силы взаимного притяжения, так и силы взаимного отталкивания. Причем существует некоторое расстояние $r0$ такое, что молекулы находятся в равновесии. Однако если сблизить молекулы ближе чем на $r0$ , то они начнут отталкиваться, причем сила отталкивания будет тем больше, чем ближе молекулы. И наоборот — если отдалить молекулы на расстояние большее чем $r0$ , то они начнут притягиваться.

$PIC$

Несмотря на электрическую нейтральность молекул (суммарный заряд молекулы равен нулю), эти силы все равно возникают. Это объясняется тем, что зачастую молекулы несимметричны и распределение заряда в них также несимметрично. Из-за этого в одних случаях возникает сила притяжения, а в других — сила отталкивания.

Силы в механике

Сила гравитации

Закон всемирного тяготения: две материальные точки массами $m$ и $M$ притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния $R$ между ними.

$PIC$

Сила гравитации описывается законом Ньютона:

Fгр = GmM- R2

где $M$ , $m$ — массы материальных точек, $R$ — расстояние между ними, $− 11 G = 6,67⋅10$ Нм $2$ /кг $2$ — гравитационная постоянная.

Хотя закон всемирного тяготения формулируется лишь для точечных тел, он также справедлив и в паре других случаях:

Закон справедлив, если тела являются однородными шарами. Тогда $R$ — расстояние между их центрами. Сила притяжения направлена вдоль прямой, соединяющей центры шаров.
Закон справедлив, если одно из тел — однородный шар, а другое — материальная точка, находящаяся вне шара. Тогда $R$ — расстояние от точки до центра шара. Сила притяжения направлена вдоль прямой, соединяющей точку с центром шара.

Второй случай особенно важен, так как позволяет применять формулу для силы притяжения тела (например, искусственного спутника) к планете.

Сила притяжения возникает между любыми объектами, обладающими массами. Массивные тела, такие как планета или звезда, обладают огромными массами, поэтому воздействие с их стороны ощущается больше, чем со стороны тел, имеющих относительно малые массы. Притяжением со стороны тел, обладающих малой массой обычно пренебрегают.

Природа силы — гравитационная.

Сила тяжести

Сила тяжести — сила гравитационного притяжения, действующая на тело со стороны планеты.

Fт = mg

где $g$ — ускорение свободного падения. Так как сила тяжести по своей сути является силой гравитации, то приравняв эти силы получим выражение для $g$ :

mg = GmM-- ⇒ g = G M- R2 R2

По своему смыслу, ускорение свободного падения является напряженностью гравитационного поля. Эта величина показывает насколько большая была бы действующая на тело сила со стороны поля.

Заметим, что $R$ в формуле отвечает за расстояние от центра планеты до рассматриваемого тела, поэтому делаем вывод, что формула справедлива лишь когда тело находится на земле.

$PIC$

Если тело находится на высоте $h$ над поверхностью планеты, то для ускорения свободного падения имеем следующую формулу:

M g(h)= G(R-+h)2

Отметим, что при $R ≫ h$ данной зависимостью можно пренебречь. Покажем это математически: вынесем $R$ в знаменателе и получим:

g(h)= G--2--M----2 R (1+ h∕R)

Откуда видно, что полученная формула отличается от случая нахождения тела на поверхности планеты на множитель $2 (1+ h∕R)$ . Однако при $R ≫ h$ этот множитель мал: пусть $R =$ 6371 км (Земля), а $h=$ 10 км (средняя высота полета самолета). Тогда получим, что:

( )2 1+ h- ≈ 1,00314 R

Получается более точная формула отличается от приближенной лишь в 1,00314 раз. Так как это значение очень близко к единице, то формулы эквивалентны.

Природа силы тяжести — гравитационная.

Сила упругости

Сила упругости возникает при упругой деформации тела и направлена в сторону, противоположную смещению частиц тела в процессе деформации.

$PIC$

Сила упругости подчиняется закону Гука: сила упругости, возникающая при упругой деформации растяжения или сжатия тела пропорциональна абсолютному значению изменения длины тела:

Fупрx = −kΔx

где $Δx$ — удлинение пружины, а $k$ — жесткость пружины.

При малом удлинении (деформации) можно считать, что деформация упругая, то есть исчезающая после прекращения действий на тело внешних сил.

Природа силы упругости — электромагнитная. Причем механизм возникновения этой силы мы уже знаем: когда мы растягиваем пружину, то увеличиваем средние расстояния между молекулами. Но тогда между молекулами возникают силы притяжения, суммарное действие которых и является силой упругости.

Сила натяжения нити

Если тело подвешено на нити, то возникает сила натяжения нити $T$ . Из-за того что нить растягивается, расстояние между молекулами увеличивается, и молекулы пытаются сжаться, что приводит к возникновению силы натяжения нити.

$PIC$

У силы натяжения нити нет формулы. Вектор силы натяжения нити направлен вдоль нити против деформации согласно закону Гука.

При прочтении условия задачи с нитями следует обращать внимание на слова-маркеры, которые позволяют сделать полезные выводы.

Невесомая нить

Из условия невесомости нити следует, что модуль силы натяжения нити в любой точке одинаков.

T1 =T2 = T

Рассмотрим конструкцию, состоящую из грузов 1 и 2, связанных невесомой нитью. Пусть на груз 2 действует сила $F$ , тянущая конструкцию вправо как изображено на рисунке:

$PIC$

Рассмотрим отдельно нить и силы $T1$ и $T2$ , действующие на нее по третьему закону Ньютона со стороны грузов 1 и 2:

$PIC$

Пусть у невесомой нити есть масса $m нити = 0$ и она движется с ускорением $a$ . Тогда по второму закону Ньютона модули сил натяжения нити равны:

T2− T1 = mнитиa ⇒ T1 =T2

Нерастяжимая нить

Поскольку нить нерастяжимая, то ее длина постоянна, следовательно, можно записать кинематическую связь.

a1 = a2 = a

Получим ее «по-честному». Для этого рассмотрим ту же ситуацию, что и в случае невесомой нити. Пусть координаты точек крепления нити к телам $x1$ и $x2$ :

$PIC$

Поскольку нить нерастяжимая, то длина ее постоянна $ΔL =0$ :

L = const= x2− x1

При этом логично, что изменение всей длины $ΔL$ складывается из изменений координат концов нити $Δx1$ и $Δx2$ следующим образом:

ΔL = Δx2 − Δx1

Поделив это выражение на $Δt$ получим:

ΔL-= Δx2-− Δx1- ⇒ 0= Δx2-− Δx1- ⇒ vx2 = vx1 Δt Δt Δt Δt Δt

Так как $vx2 = vx1$ в любой момент времени, то $Δvx2 = Δvx1$ . Опять поделив это равенство на $Δt$ получим:

Δvx2= Δvx1 ⇒ ax2 = ax1 Δt Δt

Таким образом, нерастяжимость нити дает возможность получить кинематическую связь — равенство ускорений концов нити.

Природа силы натяжения нити — электромагнитная. При этом механизм возникновения этой силы точно такой же, как и в случае силы упругости.

Сила нормальной реакции опоры

Представим, что тело лежит на поверхности. Под весом тела поверхность деформируется и по третьему закону Ньютона пытается вернуть себя в исходное положение, действуя на тело силой $N$ , которую называют силой нормальной реакции опоры.

$PIC$

Слово «нормальная» отсылает к понятию «нормаль» и отражает, что сила нормальной реакции опоры направлена перпендикулярно поверхности. Данная сила возникает, когда есть контакт тела с какой-либо опорой.

У силы нормальной реакции опоры нет определенной формулы, однако ее величина такова, что тело, находящееся на некоторой опоре, не проваливается «сквозь нее». Иначе говоря, алгебраическая сумма нормальных к поверхности опоры проекций сил, действующих на тело, равняется силе нормальной реакции опоры.

Природа силы — электромагнитная. Сила нормальной реакции опоры возникает из-за сближения молекул тела с молекулами опоры. Но мы знаем, что в таком случае возникают силы отталкивания. Их суммарный вклад и дает силу нормальной реакции опоры.

Вес

Вес тела — это суммарная сила, с которой тело действует на опору или подвес. Вес тела по модулю равен силе нормальной реакции опоры. При этом важно учитывать, что вес приложен к опоре или подвесу, а не к телу.

На понятии веса основана базовая задача про лифт. Пусть на полу ускоряющегося лифта покоится тело массой $m$ . Вычислим вес этого тела, когда лифт движется вверх.

$PIC$

Для этого запишем второй закон Ньютона:

m ⃗g+ ⃗N = m⃗a

и спроецируем его на вертикальную ось:

N − mg =ma ⇒ N = P = m (g + a)

Откуда видно, что при движении лифта вверх вес тела больше силы тяжести. Совершенно аналогичными рассуждениями можно прийти к тому, что когда лифт движется вниз:

$PIC$

вес тела вычисляется по формуле:

P =m (g− a)

При этом примечательно, что когда $a = g$ , то тело будет испытывать состояние невесомости $P = 0$ .

Природа силы — электромагнитная.

Сила трения

Существует два типа трения: вязкое и сухое. Вязкое возникает при движении тела в жидкости или газе. Формулы для сил сопротивления при вязком трении выводятся, как правило, эмпирически и действуют в узком диапазоне значений скоростей или для определенной формы тела. В простейших теоретических моделях сила вязкого трения зависит от величины скорости тела, относительно среды.

Однако зачастую в рамках школьной физики мы работаем именно с сухим трением, поэтому обсудим его подробнее. Сила сухого трения возникает из-за межмолекулярного взаимодействия в точках контакта двух соприкасающихся поверхностей.

Выделяют три основных вида сухого трения: трение покоя, скольжения и качения. В названиях отражен вид движения, при котором возникает трение того или иного вида.

Сила трения покоя

Возникает в ситуации возможного движения одного тела по поверхности другого и направлена вдоль поверхности соприкосновения, против направления возможного движения.

У силы трения покоя нет формулы, однако для силы трения покоя справедливо следующее неравенство:

Fтр. п. ≤ μN

Максимальная величина силы трения покоя равна силе трения скольжения, то есть сила трения покоя может находиться в диапазоне от нуля до $μN$ . Если изобразить примерный график зависимости силы трения от величины вынуждающей силы, то можно заметить явление застоя. Это явление, при котором для начала движения под действием вынуждающей силы требуется преодолеть немного большую силу трения, чем сила трения скольжения.

$PIC$

Сила трения скольжения

Сила трения скольжения возникает при скольжении тела по некоторой поверхности.

$PIC$

Определяется по формуле:

Fтр. ск. = μN

где $N$ — сила нормальной реакции опоры, $μ$ — коэффициент трения. Коэффициент трения определяется свойствами материала трущихся поверхностей. При этом в реальности важна именно пара поверхностей: коэффициент пар резина-резина и резина-песок будет, очевидно, сильно отличаться.

Сила трения скольжения направлена противоположно относительной скорости:

F⃗тр. ск. ↑↓ ⃗vотн

При прочтении условия задачи следует обращать внимание на слова-маркеры. Если в условии сказано, что поверхность гладкая, то действием силы трения можно пренебречь. Если в условии сказано, что поверхность шероховатая, то действует сила трения.

Сила трения качения

Такая сила трения возникает при качении, когда тело деформирует поверхность при движении. Образуется некий «бугорок», на который телу необходимо закатиться.

$PIC$

Чтобы создать необходимое вращение, требуется создать момент силы. Сила трения качения препятствует тому, чтобы тело закатывалось, создавая момент, направленный против вращения.

Природа всех сил трения — электромагнитная.

Предыдущая справка

Следующая справка