Иррациональные неравенства

Стандартное иррациональное неравенство ($\lor$ - один из знаков $\geqslant,>,\leqslant,<$):

$${\Large{I. \ \sqrt{f(x)}\lor a}},\quad a\ -\ \text{число.}$$ Для того, чтобы решить данное неравенство, нужно посмотреть на знак числа $a$, на знак неравенства, а также помнить, что $\sqrt{f(x)}$ всегда неотрицателен и $f(x)\geqslant 0$. Если обе части неравенства неотрицательны, то можно возводить их в квадрат.

Например:

1) $\sqrt{f(x)}\geqslant 5$. Корень из числа будет $\geqslant 5$ тогда и только тогда, когда само число $\geqslant 25$. В этом случае ОДЗ ($f(x)\geqslant 0$) учитывается автоматически, следовательно, данное неравенство равносильно неравенству
$f(x)\geqslant 25$.

2) $\sqrt{f(x)}>-2$. Т.к. по определению квадратного корня $\sqrt{f(x)}\geqslant 0$ всегда, то данное неравенство выполняется при всех $x$, при которых выполнено ОДЗ. Значит, решением данного неравенства является только ОДЗ: $f(x)\geqslant 0$.

3) $\sqrt{f(x)}<-2$. Т.к. по определению квадратного корня $\sqrt{f(x)}\geqslant 0$ всегда, то данное неравенство не выполняется ни при каких $x$. Следовательно, решением неравенства является пустое множество: $x\in \varnothing$.

$${\Large{II. \ \sqrt{f(x)}\lor g(x)}}$$ В данном неравенстве справа стоит уже функция $g(x)$, которая может быть как отрицательной, так и неотрицательной. Таким образом, в данном неравенстве необходимо рассматривать отдельно эти два случая, а также не забыть про ОДЗ.

Например:

1) $\sqrt{f(x)}\leqslant g(x)$. При условии $f(x)\geqslant 0$ : если $g(x)\geqslant 0$, то можно возвести в квадрат; если $g(x)<0$, то в силу определения квадратного корня данное неравенство никогда не может быть выполнено.
Таким образом, данное неравенство равносильно совокупности: $$\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} & \begin{cases} g\geqslant 0\\ 0\leqslant f\leqslant g^2\end{cases}\\ & \begin{cases} g<0\\ x\in \varnothing \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \begin{cases} g\geqslant 0\\ 0\leqslant f\leqslant g^2\end{cases}$$

2) $\sqrt{f(x)}> g(x)$. При условии $f(x)\geqslant 0$ : если $g(x)\geqslant 0$, то можно возвести в квадрат; если $g(x)<0$, то в силу определения квадратного корня данное неравенство всегда выполняется.
Таким образом, данное неравенство равносильно совокупности: $$\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} & \begin{cases} g\geqslant 0\\ f> g^2\\f\geqslant 0\end{cases}\\ & \begin{cases} g<0\\ f\geqslant 0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} & \begin{cases} g\geqslant 0\\ f> g^2\end{cases}\\ & \begin{cases} g<0\\ f\geqslant 0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.$$