Электродинамика

Правила Кирхгофа в электрических цепях

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: Электродинамика

Теоретическая справка

#619

Правила Кирхгофа в электрических цепях

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю. Существует и другая, аналогичная по смыслу формулировка: сумма значений токов, входящих в узел, равна сумме значений токов, выходящих из узла.

∑-I----=-∑-I----| ---вход-----вых--

Первое правило Кирхгофа сформулировано исходя из закона сохранения заряда. Заряд не накапливается в узле, а распределяется по ветвям контура, образующим это соединение. Узлом в электрической цепи называют место соединения трех и более проводников.

Второе правило Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС в замкнутом контуре равна алгебраической сумме падений напряжений.

∑-----∑----| | 𝜀 = IR | ------------

Пример. Рассмотрим как работают данные правила на примере. Пусть дана электрическая цепь (см. рисунок ниже). Внутреннее сопротивление $r$ , внешнее сопротивление $R$ и ЭДС $𝜀$ заданы.

Оба источника в данной электрической цепи являются неидеальными, так как обладают внутренними сопротивлениями $r$ и $2r$ . Чтобы визуально упростить электрическую цепь, вынесем внутренние сопротивления (на сторону положительной клеммы источника или на сторону отрицательной — не имеет значения).

После небольшого преобразования в электрической цепи имеются два идеальных источника (с внутренними сопротивлениями, равными нулю) и четыре резистора. Пустим по цепи токи следующим образом (примем за условие):

Получили три неизвестные величины $I1$ , $I2$ и $I3$ . Для того чтобы найти эти три неизвестные величины, необходимо составить систему из трех уравнений, опираясь на правила Кирхгофа.

Чтобы определить, сколько уравнений необходимо составить из первого правила Кирхгофа, посчитаем количество $n$ узлов в данной цепи. Уравнений по первому правилу Кирхгофа нужно составить ровно на одно меньше $(n − 1)$ , чем количество узлов $n$ в цепи.

В нашем случае узлов в цепи два $n = 2$ , поэтому составляем $(n− 1) = (2− 1) = 1$ уравнение из первого правила Кирхгофа, выбрав для этого любой из узлов:

∑ ∑ Iвход = Iвых ⇒ I1 = I2 + I3

Осталось составить два уравнения из второго правила Кирхгофа. Для рассматриваемой цепи замкнутый контур можно выбрать тремя способами (на рисунке ниже показаны зеленым, синим, оранжевым цветом).

Выберем из них два (так как нужно составить только два уравнения) произвольных контура — синий и зеленый. Выберем для этих двух контуров обход по часовой стрелке. Вспомним, как записывается второе правило Кирхгофа: $∑ ∑ 𝜀 = IR$ .

Выбор знака для величины ЭДС $𝜀$ во втором правиле Кирхгофа:

Если обход контура сонаправлен с действием ЭДС, то величина $𝜀$ берется со знаком «плюс».
Если обход контура противоположно направлен действию ЭДС, то величина $𝜀$ берется со знаком «минус».

Выбор знака для величины падений напряжений $IR$ во втором правиле Кирхгофа:

Если обход контура сонаправлен с направлением тока, то величина $IR$ берется со знаком «плюс».
Если обход контура противоположно направлен направлению тока, то величина $IR$ берется со знаком «минус».

С учетом этого запишем два уравнения для синего и зеленого контура:

𝜀 = I3R + I1r

𝜀 + 2𝜀 = I r+ I 2r + I2R 1 2 2

Таким образом, мы составили систему из трех уравнений и путем различных математических преобразований далее сможем найти из нее токи $I1$ , $I2$ и $I3$ :

( ||| I1 = I2 + I3 { || 𝜀 = I3R + I1r |( 𝜀+ 2𝜀 = I1r + I22r +I22R

Предыдущая справка

Следующая справка