Банковский вклад

Банковский вклад — это сумма денег, переданная банку на хранение с целью получить доход в виде начисленных процентов.

Раз в какой-то промежуток времени (в задачах это, как правило, месяц или год) банк начисляет на текущую сумму некоторое количество $r\%$ процентов.

Раз в год после начисления процентов клиент, как правило, имеет право доложить на счет любую сумму денег. Также клиент имеет право снимать со счета любую сумму (естественно, не превышающую имеющуюся). Время, когда он может это сделать, указывается в задаче.

Пример 1. В январе $2014$ года клиент положил в банк $30\,000$ рублей под $10\%$ годовых, которые банк начисляет раз в год в декабре. Сколько рублей будет на счете у клиента в январе $2017$ года?

То, что банк начисляет на текущую сумму $10\%$, значит, что после начисления процентов сумма будет составлять $110\%$ от суммы, находящейся на счете до начисления процентов.
Составим таблицу: $$\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма на счете до начисления} \ \%&\text{Сумма на счете после начисления} \ \%\\ &\text{(январь)}&\text{(декабрь)}\\ \hline 2014&30\,000&1,1\cdot 30\,000\\ \hline 2015&1,1\cdot 30\,000&1,1^2\cdot 30\,000\\ \hline 2016&1,1^2\cdot 30\,000&1,1^3\cdot 30\,000\\ \hline \end{array}$$

Таким образом, в декабре $2016$ года после начисления процентов на счете у клиента будет $1,1^3\cdot 30\,000$ рублей. Эта же сумма будет у него на счете и в январе $2017$ года (т.к. проценты начисляются только в декабре).

Значит, ответом будет $39\,930$ рублей.

Пример 2. В марте $2016$ года Мария сделала вклад в банк в размере $100\,000$ рублей на $3$ года. Раз в год в ноябре банк начисляет на имеющуюся на счете сумму $5\%$. Какую максимальную сумму денег может снять Мария в декабре $2017$ года, чтобы в марте $2019$ года сумма на счете была не менее $105\,000$ рублей?

Составим таблицу, делая все вычисления в тыс. рублей и обозначив за $x$ сумму, которую Мария снимет со счета: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма на счете}&\text{Сумма на счете}&\text{Сумма на счете}\\ &\text{до начисления }\%&\text{после начисления }\%&\text{после снятия}\\ &\text{(март)}&\text{(ноябрь)}&\text{(декабрь)}\\ \hline 2016&100&1,05\cdot 100&1,05\cdot100\\ \hline 2017&1,05\cdot 100&1,05^2\cdot 100&1,05^2\cdot 100-x\\ \hline 2018&1,05^2\cdot 100-x&1,05(1,05^2\cdot 100-x)&1,05(1,05^2\cdot 100-x)\\ \hline \end{array}$$

Заметим, что в марте $2019$ года на счете у Марии будет столько же денег, сколько и в декабре $2018$. Таким образом, необходимо найти такой максимальный $x$, чтобы

$1,05(1,05^2\cdot 100-x)\geqslant 105$

Решая данное неравенство, получим, что $x\leqslant 10,25$ тыс. рублей. Таким образом, максимальная сумма, которую можно снять со счета, это $10\,250$ рублей.

Пример 3. Планируется сделать вклад в размере $1$ млн рублей под целое число процентов. Раз в год после начисления процентов планируется снимать со счета $100$ тыс. рублей. Какой должен быть наименьший годовой процент в банке, чтобы после трех таких снятий сумма на счете была не менее $1$ млн рублей?

Обозначим годовой процент банка на $r\%$. Тогда после начисления процентов сумма на счете будет увеличиваться в $\frac{100+r}{100}$ раз. Поэтому обозначим $\frac{100+r}{100}$ за $t$ и составим таблицу, производя все вычисления в тыс. рублей: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма на счете}&\text{Сумма на счете}&\text{Сумма на счете}\\ &\text{до начисления }\%&\text{после начисления }\%&\text{после снятия}\\ \hline 1&1000&t\cdot 1000&t\cdot1000-100\\ \hline 2&t\cdot 1000-100&t(t\cdot 1000-100)&t(t\cdot 1000-100)-100\\ \hline 3&t(t\cdot 1000-100)-100&t(t(t\cdot 1000-100)-100)&t(t(t\cdot 1000-100)-100)-100\\ \hline \end{array}$$

Таким образом, необходимо, чтобы

$t(t(t\cdot 1000-100)-100)-100\geqslant 1000 \quad\Rightarrow\quad 1000t^3-100t^2-100t-100\geqslant1000 \Rightarrow$

$\Rightarrow 1000(t^3-1)-100(t^2+t+1)\geqslant0 \quad\Rightarrow\quad 1000(t-1)(t^2+t+1)-100(t^2+t+1)\geqslant0 \Rightarrow$

$\Rightarrow (t^2+t+1)(1000t-1000-100)\geqslant0$

Т.к. процент в банке не может быть отрицательным, т.е. $r\geqslant 0 \Rightarrow t\geqslant 1 \Rightarrow$ выражение $t^2+t+1$ всегда положительно. Следовательно, полученное неравенство равносильно

$1000t-1000-100\geqslant0 \Rightarrow t\geqslant 1,1 \Rightarrow r\geqslant 10$.

Значит, наименьший годовой процент в банке должен быть $10\%$.