Теорема о разложении на множители квадратного трехчлена

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: Алгебра. Краткий справочник. Формулы

Теоретическая справка

#757

Теорема о разложении на множители квадратного трехчлена

Пусть уравнение $ax2 + bx+ c = 0,a ⁄= 0,$ имеет два корня (возможно, совпадающих), то есть $D ≥ 0$ . Тогда при любом значении $x$ выполнено

ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2),

где $x1$ и $x2$ — корни уравнения $ax2 + bx + c = 0$ (возможно, совпадающие).

Доказательство

Сделаем преобразования:

( √ --)( √ --) −-b+---D − b−--D- a(x − x1)(x − x2) = a x− 2a x− 2a = ( ( √ -- √ -) 2 ) = a x2 − x − b+--D-+ −-b−---D + b--− D = 2a 2a 4a2 ( ( ) 2 ( 2 )) ( ) = a x2 − x⋅ − b- + b-−--b-−2-4ac- = a x2 + b-x+ c = ax2 + bx+ c a 4a a a

Пример

Разложите на множители квадратный трехчлен $3x2 − 2x − 1.$

Решение:

Рассмотрим уравнение $3x2 − 2x − 1 = 0$ и найдем его корни. $D = (− 2)2 − 4⋅3⋅(− 1) = 16,$ значит,

2− 4 1 2 + 4 x1 = -----= −- x2 =-----= 1 2 ⋅3 3 2⋅3

Таким образом,

( ) 3x2 − 2x − 1 = 3(x− 1) x + 1 = (x− 1)(3x+ 1). 3