Математика в физике

Векторы

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: Математика в физике

Теоретическая справка

#884

Понятие вектора

Рассмотрим произвольный отрезок $AB.$ На нём можно указать два направления: от $A$ к $B$ и наоборот.

$PIC$

Чтобы выбрать одно из этих направлений, одну из точек $A$ и $B$ назовём началом отрезка, а вторую — концом отрезка и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу.

Определение: Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая — концом, называется направленным отрезком, или вектором.

На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой, показывающей направление вектора. Векторы обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например $−→ AB.$ Первая буква обозначает начало вектора, вторая — его конец. Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней, например $⃗a.$

Любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом. Нулевой вектор обозначается символом $⃗0.$

Длиной, или модулем ненулевого вектора $−→ AB,$ называется длина отрезка $AB.$ Длина вектора $−→ AB$ обозначается так: $−→ |AB|= AB.$ Длина нулевого вектора считается равной нулю: $|⃗0|= 0.$

Коллинеарные векторы

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

$PIC$

Пусть две пунктирные прямые параллельны. Тогда $⃗a,$ $⃗b,$ $⃗c$ и $⃗d$ коллинеарны, а вот $⃗f$ не коллинеарен ни одному из них, так как он не находится ни на одной из пунктирных прямых, ни на прямой, параллельной им.

Коллинеарные векторы можно разбить на две группы: сонаправленные и противоположно направленные векторы. В нашем примере сонаправленными являются векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $d⃗;$ векторы $⃗c$ и $⃗a$ являются противоположно направленными; векторы $⃗c$ и $⃗b$ являются противоположно направленными; векторы $⃗c$ и $d⃗$ являются противоположно направленными.

Нулевой вектор $⃗0$ считается колинеарным и сонаправленным любому вектору.

Равенство векторов

Определение: Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

На самом деле вектор $−→ AB$ — это сдвиг точки $A$ в точку $B.$ Тогда этот вектор двигает не только точку $A,$ но и всю плоскость.

Векторы равны, если они сонаправлены и их длины равны, поэтому не важно, где находится наш вектор. Мы можем отложить от разных точек направленный отрезок $⃗a,$ но с точки зрения векторов это будет один и тот же вектор. Получается, что вектор это не только конкретный направленный отрезок, на самом деле это целый класс всех равных направленных отрезков, которые одинаково двигают плоскость. Таким образом, в задачах любой вектор мы можем рисовать где угодно в удобном для нас месте.

Сложение векторов

Пусть точка переместилась из положения $A$ в положение $B,$ а затем из положения $B$ в положение $C.$ В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами $−A→B$ и $−−B→C,$ точка переместилась из положения $A$ в положение $C.$ Поэтому результат перемещения можно представить как вектор $−→ AC.$

$PIC$

Поскольку перемещение из $A$ в $C$ складывается из перемещения из $A$ в $B$ и перемещения из $B$ в $C,$ то

−→ −−→ −→ AB +BC = AC

Правило треугольника

Пусть $⃗a$ и $⃗ b$ — два вектора, которые мы хотим сложить. Обозначим начало вектора $⃗a$ за точку $A,$ его конец за точку $B$ и параллельно перенесем начало вектора $⃗b$ в точку $B.$ Пусть получился вектор $−−→ BC,$ равный $⃗b.$ Тогда вектор $−→ AC$ называется суммой векторов $⃗a$ и $⃗b.$ Такое правило сложения векторов называется правилом треугольника.

$PIC$

Правило параллелограмма

Рассмотрим случай, когда векторы $⃗a$ и $⃗b$ выходят из одной точки. В таком случае мы можем достроить эту конструкцию до параллелограмма и получить из каждой пары противоположных сторон пары равных векторов.

$PIC$

Тогда по правилу треугольника

⃗ ⃗ ⃗a +b =⃗c = b+⃗a

Вычитание векторов

Для начала поймем, что « $−$ » перед вектором просто меняет его направление. Таким образом, векторы $⃗b$ и $− ⃗b$ равны по длине, коллинеарны и противоположно направлены.

$PIC$

Пусть есть векторы $⃗a$ и $⃗ b,$ отложенные из одной точки. Пусть при этом вектор $⃗c$ такой, что $⃗ ⃗a =b +⃗c,$ то есть вектор $⃗a$ можно получить, сложив векторы $⃗b$ и $⃗c$ по правилу треугольника.

$PIC$

Тогда обозначим $⃗c =⃗a − ⃗b$ и назовем вектор $⃗c$ разностью векторов $⃗a$ и $⃗b.$

Разность векторов можно определить и по-другому. При тех же исходных условиях заменим вектор $⃗b$ на вектор $− ⃗b.$ Тогда разностью векторов $⃗a$ и $⃗ b$ назовем вектор $⃗c,$ равный

⃗c= ⃗a+ (−⃗b)= −⃗b +⃗a.

Таким образом, можем изобразить вектор $⃗c:$

$PIC$

Как мы видим, вектор $⃗c$ получается один и тот же независимо от способа определения. Следовательно, на практике можем искать разность двух векторов тем способом, который в условиях конкретной задачи кажется более удобным.

Умножение вектора на число

Возьмем вектор $⃗a.$ Попробуем найти вектор $2⃗a= ⃗a+ ⃗a.$ Тогда переместить точку на вектор $2⃗a$ — это то же самое, что и дважды переместить её на вектор $⃗a.$
Также можем разделить вектор $⃗a$ на два равных вектора и получить вектор $1⃗a. 2$