Задачи на смеси, сплавы, растворы

1.

Задачи этого типа о следующем (на примере раствора):

• есть раствор некоторого вещества, то есть жидкость, представляющая собой смесь воды и некоторого вещества, к примеру, кислоты. Вещество в растворе находится в некоторой концентрации (процент содержания этого вещества в растворе), которая ищется по формуле

  
• таких растворов, активное вещество которых одинаково, но разной концентрации, несколько, и их смешивают с целью получить новый раствор с новой концентрацией.
• величины, фигурирующие в задаче: массы (или объемы) растворов и вещества в них, концентрации растворов. С помощью этих величин требуется составить одно или несколько уравнений и найти нужную величину.

• если в задаче смешивают два раствора и получают третий, то уравнение почти всегда имеет вид

  

2.

Из формулы концентрации раствора можно выразить массу вещества в растворе:

3.

При смешивании растворов их массы суммируются, также суммируются массы веществ (об этом и говорит получаемое нами уравнение), но вот концентрации — нет!

4.

Если в задаче фигурирует вода, то это значит, что концентрация активного вещества в ней равна 0%.

 

Пример 1

Смешали некоторое количество 16%-го раствора вещества с удвоенным количеством 19%-го раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

Будем рассматривать массы всех растворов в килограммах. Пусть массы первого и второго растворов равны соответственно и тогда масса их смеси равна Пусть — концентрация смеси. Массу вещества в каждом растворе найдем по формуле

Для наглядности заполним таблицу:

Так как сумма масс вещества в первом и втором растворах равна массе вещества в полученной смеси, то получаем уравнение

Значит, концентрация получившегося раствора равна 18%.

 

Пример 2 (задача с виноградом и изюмом)

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Решение:

Виноград и изюм в нашем случае являются смесями, которые состоят из двух частей: вода и мякоть. Последняя и является в нашем случае веществом. При сушке винограда выпаривается вода, а вся мякоть, имеющаяся в нем, остается и переходит в мякоть, являющуюся частью изюма. Следовательно, уравнение, которое нам необходимо составить, следующее: «масса мякоти в винограде равна массе мякоти в изюме».

Пусть кг — масса винограда. Если в винограде воды, то мякоти в нем Если в изюме воды, то мякоти в нем Применим формулу

Тогда масса мякоти (в килограммах) в винограде равна

При этом масса мякоти (в килограммах) в изюме равна

Таким образом, получаем уравнение

Следовательно, потребуется 190 кг винограда.

 

Пример 3

Имеются два сплава. Первый сплав содержит 5% никеля, второй — 20% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 15% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение:

Пусть масса первого сплава равна кг, тогда масса второго сплава равна кг. Массы никеля в сплавах найдем по формуле

Для наглядности заполним таблицу:

Так как сумма масс никеля в первом и втором сплавах равна массе никеля в третьем сплаве, то получаем уравнение:

Следовательно, масса первого сплава равна 75 кг, тогда масса второго сплава равна кг. Тогда масса первого сплава меньше массы второго сплава на килограммов.

 

Пример 4 (задача с двумя смешиваниями)

Смешав 15-процентный и 95-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 20-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 30-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 15-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение:

Пусть кг и кг — массы 15-процентного раствора (будем называть его первым) и 95-процентного раствора (будем называть его вторым). Составим таблицу для первого смешивания, при этом массу кислоты в каждом растворе найдем по формуле

Так как сумма масс кислоты в первом, втором растворах и воде равна массе кислоты в полученном растворе, то получаем уравнение:

Составим таблицу для второго смешивания:

Так как сумма масс кислоты в первом, втором и третьем растворах равна массе кислоты в полученном растворе, то получаем уравнение:

Тогда имеем систему:

Вычитая из второго уравнения первое, получим

Складывая первое и второе уравнения, получаем

Так как то

Таким образом, масса 15-процентного раствора равна 35 килограммам.