№10. Текстовые задачи

Задачи на работу и производительность

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №10. Текстовые задачи

Теоретическая справка

#893

Основные принципы

1.: Такие задачи в каком-то смысле похожи на задачи на движение, только в роли расстояния здесь выступает работа, а в роли скорости — производительность. Верна формула $A = p⋅t,$ где $A$ — работа, $p$ — производительность, $t$ — время работы.
2.: Если рабочие трудятся одновременно, то их общая производительность равна сумме их производительностей.
3.: Работа обычно измеряется в количестве произведенной продукции, производительность — в количестве продукции, произведенной за единицу времени, а время — в минутах, часах и так далее.
4.: Работу можно принять за 1, если ей не присвоено никакого значения, да это логически и нельзя сделать. Можно обозначить работу неизвестной $A,$ но тогда полученное вами уравнение можно будет разделить на $A,$ то есть значение работы ни на что не повлияет.
5.: Так же, как и задачи на движение, задачи на работу удобно решать с помощью таблицы.

Примеры решения задач

Пример 1

Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?

Решение:

Заполним следующую таблицу:

|-------------|--------------------------|-----------|---------| |-------------|П-роизвод-ительность, л/м-ин|Время, м-ин|Работа, л| |П-ервая труба|--------------------------|-----------|---------| -В-торая труба-------------------------------------------------

Если две ячейки из трех в строке заполнены, то третья заполняется через них при помощи формулы $A = v⋅t.$

Нам нужно найти производительность первой трубы, давайте обозначим её за $x$ л/мин. Тогда производительность второй трубы равна $(x +1)$ л/мин. Получаем таблицу:

|-------------|--------------------------|-----------|---------| |-------------|П-роизвод-ительность, л/м-ин|Время, м-ин|Работа, л| | | | 110 | | |П ервая труба| x | -x- | 110 | |-------------|--------------------------|-----------|---------| |В торая труба| x + 1 | -99-- | 99 | ---------------------------------------------x+-1--------------|

Так как первая труба заполняет резервуар на 2 минуты дольше, то её время на 2 минуты больше. Составим уравнение:

$110− -99--= 2 x x+ 1 110-⋅(x-+-1)−-99⋅x- x⋅(x+ 1) = 2 11x+-110-= 2 x⋅(x+ 1)$

Так как $x$ — производительность первой трубы, то $x > 0$ и $x ⋅(x + 1) > 0.$ Тогда можем домножить обе части уравнения на $x ⋅(x + 1).$

Получаем

$11x+ 110 = 2⋅x ⋅(x + 1) 2 11x+ 110 = 2x + 2x 2x2 − 9x− 110 = 0 D = 81+ 4 ⋅2⋅110 = 961 9+ 31 x1 = --4---= 10 9− 31 x2 = --4--< 0$

Так как $x > 0,$ то производительность первой трубы равна 10 л/мин.

Пример 2 (вся работа взята за 1)

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

Решение:

Примем работу, которую выполняют рабочие, за 1 (по принципу 4). Пусть $p1,$ $p2$ — производительности первого и второго рабочих соответственно. Тогда из формулы $A = p ⋅t$ следует, что

1 = (p1 + p2)⋅12

Требуется найти $1-. p1$

Далее, пусть таблица описывает ситуацию «первый рабочий за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня».

|----------|-------------------|-------|-------| |----------|П-роизводительность-|В-ремя-|Работа-| --Рабочий 1---------p1-------------2-----2p1--- | Рабочий 2| p2 | 3 | 3p2 | -----------------------------------------------

Мы заполнили первый и второй столбцы, а с помощью этих данных заполнился третий столбец. Уравнение получим из информации о том, что рабочие выполняют одинаковые объемы работы, то есть $2p1 = 3p2.$

В итоге нам известно следующее:

( { |{ 1 = 5p1 ⋅12 1 = (p1 + p2) ⋅12 ⇔ 3 ⇒ -1 = 5⋅12 ⇒ 1-= 20 2p1 = 3p2 |( p2 = 2p1 p1 3 p1 3

Значит, первый рабочий самостоятельно выполнит всю работу за 20 дней.

Пример 3 (задача на совместную работу)

Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 14 минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

Решение:

Пусть первый насос заполняет $a$ бассейна в минуту, второй — $b$ бассейна в минуту, третий — $c$ бассейна в минуту. Так как первый и второй насосы заполняют бассейн за 9 минут, то их совместная скорость равна $1 - 9$ бассейна в минуту. Аналогично, совместная скорость второго и третьего насосов равна $-1 14$ бассейна в минуту, третьего и первого — $-1 18$ бассейна в минуту. Получаем:

( || 1 |||| a+ b = 9 { 1- || b+ c = 14 |||| 1 ( c+ a = 18

Сложив все три уравнения и поделив на 2, получим

( ) a+ b+ c = 1 1+ 1-+ -1 = 5- 2 9 14 18 42

То есть совместная скорость всех трех насосов равна $5 42$ бассейна в минуту. Тогда время, за которое три насоса, работая вместе, заполнят бассейн равно

---1----= 1- = 42 = 8,4 минуты. a+ b+ c 452 5

Предыдущая справка

Следующая справка