№10. Текстовые задачи

Задачи на движение по прямой

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №10. Текстовые задачи

Теоретическая справка

#895

Основные принципы

1.: Основная формула $S = v⋅t,$ где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время.
2.: Нужно внимательно следить за тем, чтобы единицы измерения физических величин были согласованы друг с другом. Например, если скорость дана в км/ч, а время в минутах, то последнее стоит перевести в часы.
3.: Если два объекта выехали одновременно навстречу друг другу, то они сближаются со скоростью, равной сумме их скоростей. Тогда расстояние, на котором они находились друг от друга изначально, равно произведению скорости сближения и времени, через которое они встретились.

$SvvS12= (v1 + v2)⋅t$
4.: Если два объекта выехали одновременно из одной точки в разных направлениях, то скорость их удаления равна сумме их скоростей. Тогда для того, чтобы найти расстояние, которое будет между ними через время $t,$ нужно это время умножить на скорость удаления.

$SvvS12= (v1 + v2)⋅t$
5.: Если один объект догоняет другой, то есть объекты движутся в одном направлении и скорость первого больше скорости второго, то скорость их сближения равна разности большей и меньшей скоростей. Тогда расстояние, которое было между ними изначально, равно произведению скорости их сближения и времени, через которое один догнал другого.

$SvvS12= (v1 − v2)⋅t$
6.: Если два объекта находились на расстоянии $S$ и выехали в одном направлении, но скорость первого меньше скорости второго, то скорость удаления одного от другого равна разности большей и меньшей скоростей. Тогда для того, чтобы найти расстояние, на которое они удалились за время $t,$ нужно это время умножить на скорость удаления.

$ЧSvvS12е+′р =езS′(vt2 :− v1)⋅t$

Примеры решения задач

Пример 1

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Заполним следующую таблицу:

|-----|---------------|---------|--------------| |-----|С-корость, к-м/ч|Время,-ч-|Расстояние, к-м| -В-ел.----------------------------------------- |А вт.| | | | -----------------------------------------------

Пусть скорость велосипедиста $x$ км/ч, тогда скорость автомобилиста $(x +40)$ км/ч. Пройденное расстояние и мотоциклиста, и велосипедиста равно 75 км. Если две ячейки из трех в строке заполнены, то третья заполняется через них при помощи формулы $S = v⋅t.$ Получаем

|-----|---------------|---------|--------------| |-----|С-корость, к-м/ч|Время,-ч-|Расстояние, к-м| | | | 75 | | |В ел.| x | x- | 75 | |-----|---------------|---------|--------------| |А вт.| x + 40 | --75-- | 75 | ------------------------x-+40------------------|

Теперь нужно понять, какое уравнение можно составить по заполненной таблице. Какую информацию мы не использовали? Так как велосипедист прибыл в пункт B на 6 часов позже, то его время на 6 часов больше. Получаем уравнение

$75− -75---= 6 x x+ 40 75 ⋅(x + 40)− 75x ---x-⋅(x-+-40)---= 6 --75-⋅40--= 6 x ⋅(x + 40)$

Так как $x$ — это скорость велосипедиста, то $x > 0$ и $x⋅(x + 40) > 0.$ Тогда можем домножить обе части уравнения на $x ⋅(x + 40).$ Получаем

$75 ⋅40 = 6 ⋅x⋅(x+ 40) | : 6 25⋅20 = x⋅(x +40) x2 + 40x− 500 = 0 D = 402 +4 ⋅500 = 3600 − 40 + 60 x1 = --------= 10 2 x2 = −-40−-60 < 0 2$

Так как $x > 0,$ то скорость велосипедиста равна 10 км/ч.

Пример 2

Из городов A и B одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 3 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 48 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?

Решение:

Нужно заполнить следующую таблицу:

|-----|---------------|--------------|---------| |-----|Р-асстояние, км-|Скорость, км/ч|Вр-ем-я, ч| |М-от.|---------------|--------------|---------| -В-ел.-----------------------------------------

Если две ячейки из трех в строке заполнены, то третья заполняется через них при помощи формулы $S = v⋅t.$

Пусть велосипедист потратил $t$ часов (это и нужно найти) на путь из B в A, а расстояние из A в B равно $S$ км. Тогда мотоциклист потратил $(t− 3)$ часа на путь из A в B.

Получаем таблицу:

|-----|---------------|--------------|---------| |-----|Р-асстояние, км-|Скорость, км/ч|Вр-ем-я, ч| | | | S | | |М от.| S | ---- | t− 3 | |-----|---------------|----t−-3------|---------| |В ел.| S | S- | t | -----------------------------t-----------------|

Теперь нужно понять, какое уравнение можно составить по заполненной таблице. Какую информацию мы не использовали? Информацию про их встречу. Для начала 48 мин — это $48 = 4 60 5$ ч. Скорость их сближения равна $-S--+ S-, t− 3 t$ значит, получаем уравнение

4( -S-- S) S = 5 t− 3 + t .

Разделим все слагаемые уравнения на $S > 0.$ Получаем уравнение:

( ) 4 -1-- 1 1 = 5 ⋅ t− 3 + t 5= 2t−-3-- 4 t(t− 3)

Так как $t− 3$ — это время, за которое мотоциклист проезжает путь из A в B, то $t > 3.$ Тогда $t⋅(t − 3) > 0$ и можем домножить обе части уравнения на $4 ⋅t⋅(t− 3).$ Получаем

$5⋅t ⋅(t− 3) = 4 ⋅(2t − 3) 5t2 − 23t+ 12 = 0 [ t = 4 t = 35$

Значение $t = 3 < 3 5$ не подходит, следовательно, велосипедист затратил $t = 4$ часа на путь из B в A.

Предыдущая справка

Следующая справка