№2. Векторы

Задачи на скалярное произведение

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №2. Векторы

Теоретическая справка

#913

Пример 1

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b.$ Найдите скалярное произведение этих векторов.

$xy110⃗a⃗b$

Решение:

Если $A(x ;y ) 1 1$ и $B (x ;y ) 2 2$ — точки на координатной плоскости, то вектор $−−→ AB$ имеет координаты $(x2 − x1;y2 − y1).$ Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b :$

$pict$

Скалярное произведение двух векторов $⃗a(x ;y ) 1 1$ и $⃗b(x ;y ) 2 2$ равно

⃗a⋅⃗b = x1x2 + y1y2

Следовательно, скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗b$ равно

⃗a ⋅⃗b = 3 ⋅(− 6)+ 6⋅(− 2) = − 30

Пример 2

Длины векторов $⃗a$ и $⃗b$ равны 3 и 5, а угол между ними равен $60∘.$ Найдите скалярное произведение $⃗a⋅⃗b.$

Решение:

Мы знаем, что если $φ$ — угол между векторами $⃗a$ и $⃗b,$ то скалярное произведение равно

|| || ⃗a ⋅⃗b = |⃗a|⋅|⃗b|⋅cosφ

Тогда получаем

|| ⃗a⋅⃗b = |⃗a|⋅||⃗b||⋅cosφ = 3⋅5 ⋅cos 60∘ = 15⋅ 1 = 7,5 2

Пример 3

Даны векторы $(5 ) ⃗a 3 ;5$ и $⃗b(4;2).$ Найдите угол между векторами $⃗a$ и $⃗b.$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

Скалярное произведение двух векторов $⃗a$ и $⃗b$ равно $⃗a ⋅⃗b = |⃗a|⋅|⃗b|⋅cosα.$

Здесь $|⃗a|$ — длина вектора $⃗a,$ $α$ — угол между векторами $⃗a$ и $⃗b.$

Найдем длины векторов $⃗a$ и $⃗b :$

$pict$

С другой стороны, скалярное произведение двух векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

5 50 ⃗a ⋅⃗b = x1x2 +y1y2 =-⋅4 + 5⋅2 = -- 3 3

Таким образом, получаем уравнение

√ - 50 5 √-- √-- --2 3 = 3 10 ⋅ 20⋅cosα ⇔ cosα = 2

Так как $α ∈ [0;180],$ то $α = 45¸.$

Пример 4

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗ b$ . Найдите скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗ 2b.$

$110xy⃗a⃗b$

Решение:

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b.$ Так как каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала вектора, то

⃗a = (− 6 − (− 2);− 4− 5) = (− 4;− 9)

⃗b = (1− 6;− 2− 2) = (− 5;− 4)

Тогда $2⃗b = (− 10;− 8).$ Следовательно, так как скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат двух векторов, то имеем