Главная
Теория
Теория по ЕГЭ - Математика
Свойства скалярного произведения

№2. Векторы

Свойства скалярного произведения

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №2. Векторы

Теоретическая справка

#912

1.: $⃗a⋅⃗b = ⃗b⋅⃗a.$
2.: $( ) k⃗a⋅⃗b = k ⃗a ⋅⃗b ;$
3.: $(⃗ ) ⃗ ⃗a⋅ b+ ⃗c = ⃗a ⋅b+ ⃗a⋅⃗c;$
4.: $⃗a⋅⃗a = |⃗a|2 ≥ 0,$ причем равенство достигается, только если $⃗a = ⃗0;$
5.: $( )2 ⃗a + ⃗b = ⃗a2 + 2⋅⃗a⋅⃗b +⃗b 2;$
6.: $1( ( )2 ( )2) ⃗a⋅⃗b = - ⃗a+ ⃗b − ⃗a− ⃗b ; 4$
7.: Для ненулевых векторов $⃗a$ и $⃗ b$ верно, что $⃗ ⃗ ⃗a ⋅b = 0 ⇔ ⃗a ⊥ b.$

Свойство 1: $⃗a⋅⃗b = ⃗b ⋅⃗a.$

Действительно, если угол между векторами $⃗a$ и $⃗b$ равен $φ,$ то

⃗a⋅⃗b = |⃗a|⋅|⃗b|⋅cosφ = |⃗b|⋅|⃗a|⋅cosφ = ⃗b⋅⃗a.

Свойство 2: $( ) k⃗a⋅⃗b = k ⃗a⋅⃗b .$

Пусть $⃗a(xa;ya),$ $⃗ b(xb;yb).$ Тогда

( ) k⃗a⋅⃗b = kxa ⋅xb + kya ⋅yb = k⋅xaxb + k ⋅yayb = k⋅(xaxb + yayb) = k⋅ ⃗a ⋅⃗b .

Свойство 3: $( ) ⃗a⋅ ⃗b+ ⃗c = ⃗a⋅⃗b+ ⃗a ⋅⃗c.$

Пусть $⃗a(x ;y ), a a$ $⃗b(x ;y ) b b$ и $⃗c(x ;y ). c c$ Тогда

⃗b+ ⃗c = {x + x ;y + y }. b c b c

Значит,

( ) ⃗a⋅ ⃗b +⃗c = xa ⋅(xb + xc)+ ya ⋅(yb + yc) = xa ⋅xb + xa ⋅xc + ya ⋅yb + ya ⋅yc = = (xa ⋅xb +ya ⋅yb) +(xa ⋅xc + ya ⋅yc) = ⃗a⋅⃗b +⃗a ⋅⃗c.

Свойство 4: $2 ⃗a ⋅⃗a = |⃗a| ≥ 0,$ причем равенство достигается, только если $⃗a = ⃗0.$

Заметим, что вектор $⃗a$ сонаправлен самому себе, поэтому $∠ (⃗a;⃗a) = 0.$ Тогда

cos∠ (⃗a;⃗a) = cos0 = 1.

Значит,

⃗a⋅⃗a = |⃗a|⋅|⃗a|⋅cos∠ (⃗a;⃗a) = |⃗a|2.

При этом если $⃗a ⁄= 0,$ то $|⃗a| > 0,$ то есть $⃗a⋅⃗a > 0.$

Свойство 5: $( )2 2 2 ⃗a+ ⃗b = ⃗a + 2⋅⃗a ⋅⃗b+ ⃗b .$

По свойствам 3 и 1 имеем:

( )2 ( ) ( ) ⃗a+ ⃗b = ⃗a+ ⃗b ⋅⃗a + ⃗a+ ⃗b ⋅⃗b = ⃗a⋅⃗a +⃗b⋅⃗a+ ⃗a ⋅⃗b+⃗b⋅⃗b = ⃗a2 + 2⋅⃗a⋅⃗b +⃗b2.

Свойство 6: $(( )2 ( )2) ⃗a⋅⃗b = 1 ⃗a+ ⃗b − ⃗a − ⃗b . 4$

По свойствам 5 и 2 имеем:

$pict$

Тогда

1 (( )2 ( )2) 1( ) 1 ( ) - ⃗a+ ⃗b − ⃗a− ⃗b = - ⃗a2 + 2⋅⃗a ⋅⃗b+ ⃗b2 − ⃗a2 + 2⋅⃗a⋅⃗b − ⃗b 2 = 4⋅⃗a ⋅⃗b = ⃗a⋅⃗b. 4 4 4

Свойство 7: Для ненулевых векторов $⃗a$ и $⃗b$ верно, что

⃗a ⋅⃗b = 0 ⇔ ⃗a ⊥ ⃗b.

Если векторы перпендикулярны, то угол между ними равен $∘ 90$ и косинус угла между этими векторами равен 0. Поэтому скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0:

⃗ ⃗ ⃗ ∘ ⃗ ⃗a ⊥ b ⇒ ⃗a⋅b = |⃗a|⋅|b|⋅cos90 = |⃗a|⋅|b|⋅0 = 0.

Верно и обратное утверждение: если скалярное произведение ненулевых векторов равно 0, то эти векторы перпендикулярны:

⃗a ⋅⃗b = 0 ⇒ |⃗a|⋅|⃗b|⋅cosφ = 0 ⇒ φ = 90∘ ⇒ ⃗a ⊥⃗b.

Таким образом,

⃗a ⋅⃗b = 0 ⇔ ⃗a ⊥ ⃗b.

Предыдущая справка

Следующая справка