№12. Исследование функций с помощью производной

Таблица производных и правила дифференцирования

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №12. Исследование функций с помощью производной

Теоретическая справка

#918

Таблица производных элементарных функций

|--|-----------------|---------------| |---|----------|---------------| | |Функц ия y |П роизводная y′| | |Функция y |П роизводная y′ | |--|-----------------|---------------| |---|----------|----1----------| |1 |a (a ∈ ℝ ) |0 | |10 |ctg x |− --2-- | |--|-----------------|---------------| |---|----------|--sin1-x---------| |2 |xa (a ∈ ℝ ) |a ⋅xa−1 | |11 |arcsin x |√-----2- | |--|-----------------|---------------| |---|----------|--1−-x1---------| |3 |ex |ex | |12 |arccosx |− √-----2 | |--|-----------------|---------------| |---|----------|--11-−-x-------| |4 |ax (a > 0) |ax ⋅ln a | |13 |arctgx |-----2 | |--|-----------------|-1-------------| |---|----------|1-+-x1----------| |5 |ln x | -- | |14 |arcctgx |− ----2- | |--|-----------------|-x-1-----------| |-----------------1+-x---------| |6 |logax (a > 0,a ⁄= 1) ------ | | В ажны е частные случаи | |--|-----------------|-x⋅lna---------| |---|----------|---------------| |7 |sinx |cosx | |15 |x |1 | |--|-----------------|---------------| |---|1---------|--1------------| |8 |cosx |− sinx | |16 |-- |− -2 | |--|-----------------|---1-----------| |---|x√---------|--x1------------| |9 |tg x | cos2x- | |17 | x |2√x-- | -------------------------------------- -------------------------------

Правила дифференцирования

|-------------|-----------------------| |Функция------|-Производная-----------| | | ′ | |a⋅f(x) (a-∈ ℝ-)-a⋅f-(x)---------------| |f(x)± g(x) | f′(x)± g′(x) | |-------------|--′---------------′----| |f(x)⋅g(x-)----|-f(x)⋅g(x)+-f(x)⋅g-(x)--| |f(x) | f′(x)⋅g(x)−-f(x)⋅g′(x) | |g(x)---------|---------g2(x-)---------| |f(g(x)) | f′(g(x)) ⋅g′(x) | ---------------------------------------

1.

Производная функции $a ⋅f(x),$ где $a$ — число, равна $a⋅f′(x ).$

Например,

(2cosx)′ = 2⋅(cosx)′ = 2 ⋅(− sinx) = − 2sin x.

( x3)′ 1 ( )′ 1 − -- = − -⋅ x3 = − - ⋅3x2 = − x2. 3 3 3

2.

Производная суммы функций равна сумме производных этих функций.

Например,

(√x-− 3x+ 1)′ = (√x)′ − (3x)′ +1′ =-1√-− 3+ 0 =-1√--− 3. 2 x 2 x

3.

Производная произведения функций

′ ′ ′ (f (x) ⋅g(x)) = f (x) ⋅g(x)+ f (x) ⋅g (x)

Например,

$(( 2 ) x)′ ( 2 )′ x ( 2 ) x ′ (( ) ) x − 3( ⋅e =) x − 3 ⋅e +( x − 3) ⋅(e ) = = x2 ′ − 3′ ⋅ex + x2 − 3 ⋅ex = 2x⋅ex + x2 − 3 ⋅ex = ex(x2 + 2x− 3).$

4.

Производная частного функций

( f(x))′ f′(x)⋅g(x)− f(x)⋅g′(x) g(x-) = --------g2(x)--------

Например,

$( x+ 2) ′ (x+ 2)′ ⋅ex − (x+ 2)⋅(ex)′ 1⋅ex − (x + 2)⋅ex --x-- = -----------x-2----------= -------2x-------= e (e ) e = ex ⋅(1−-(x-+2)) = − x-+-1 e2x ex$

5.

Сложная функция — это функция вида $f(g(x)),$ где $f(y)$ и $g(x)$ — функции.

Производная сложной функции

(f(g(x)))′ = f′(g(x))⋅g′(x).

Например,

$(∘ − x2-+-2−-6x)′ = √----1-------⋅(− x2 + 2 − 6x )′ = 2 − x2 + 2− 6x − (x2)′ + 2′ − (6x)′ − 2x − 6 x+ 3 = --√----2---------= -√---2---------= −√----2-------. 2 − x + 2− 6x 2 − x + 2− 6x − x + 2− 6x$

$( ( )) 1 ( ) log7 x2 + 16x + 100 ′ =-2----------------⋅ x2 +16x + 100 ′ = ( )′ (x + 16x + 100)⋅ln 7 --x2--+(16x)′ +-100′ ------2x+-16------- = (x2 +16x + 100)⋅ln 7 = (x2 + 16x+ 100)⋅ln 7.$

Предыдущая справка

Следующая справка