№12. Исследование функций с помощью производной

Поиск точек экстремума функции

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №12. Исследование функций с помощью производной

Теоретическая справка

#919

Точки экстремума функции

Вспомним, что:

1.: Если функция $f (x)$ определена и непрерывна на промежутке $X$ и во всех внутренних точках этого промежутка имеет положительную производную $′ (f(x) > 0),$ то функция возрастает на промежутке $X$ .
2.: Если функция $f (x)$ определена и непрерывна на промежутке $X$ и во всех внутренних точках этого промежутка имеет отрицательную производную $(f′(x) < 0),$ то функция убывает на промежутке $X$ .

Определение

Точка $x0$ называется точкой экстремума функции $f(x),$ если в некоторой её окрестности, которая не включает в себя саму точку $x0,$ выполняется либо неравенство $f(x0) > f(x)$ (тогда точка называется точкой максимума), либо $f(x0) < f(x)$ (тогда точка называется точкой минимума).

Теорема

Если функция имеет экстремум в точке $x0,$ то её производная в этой точке либо равна 0, либо не существует.

Определение

Точка $x0,$ в которой $f′(x0)$ равна нулю или не существует, называется критической точкой функции $f(x)$ .

ВАЖНО! Таким образом, все точки экстремума функции являются её критическими точками. Обратное, вообще говоря, неверно. Поэтому для поиска точек экстремума функции необходимо найти все её критические точки и определить какие из них являются точками максимума или минимума.

Рассмотрим условия, при которых критическая точка $x0$ является точкой максимума или минимума.
Если в точке $x0$ функция определена, непрерывна и меняется с возрастающей на убывающую (то есть производная $f′(x )$ в точке $x0$ меняет свой знак с « $+$ » на « $−$ » , если смотреть слева направо), то точка $x0$ — точка максимума функции $f(x).$
Если в точке $x0$ функция определена, непрерывна и меняется с убывающей на возрастающую (то есть производная $f ′(x)$ в точке $x0$ меняет свой знак с « $−$ » на « $+$ » , если смотреть слева направо), то точка $x0$ — точка минимума функции $f (x).$

План решения задач

1.: Находим область определения функции.
2.: Находим производную функции, то есть $f′(x).$
3.: Находим все критические точки, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует.
4.: На координатной оси отмечаем область определения функции и критические точки. С помощью метода интервалов находим знаки производной на получившихся промежутках и отмечаем, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает.
5.: Если при переходе через точку функция $f(x )$ меняется с возрастающей на убывающую, то эта точка является точкой максимума функции, а если с убывающей на возрастающую, то точкой минимума.

Пример 1

Найдите точку минимума функции $y = x3− x2 − 7. 3 2$

Решение:

1.

Область определения функции $x ∈ ℝ.$

2.

Найдем производную:

2 y′ = 3x-− 2x-= x2 − x 3 2

3.

Найдём критические точки.

Точки, в которых производная равна нулю:

[ x2 − x = 0 ⇔ x(x− 1) = 0 ⇔ x = 0 x = 1

Точек, в которых производная не существует, нет.

4.

Рисуем координатную ось и отмечаем на ней область определения и критические точки. Затем расставляем знаки производной на трёх получившихся промежутках и отмечаем, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает:

$x10$ $yyx10+−+ ′$

5.

Видим, что $x = 0$ является точкой максимума, а $x = 1$ — точкой минимума.

Пример 2

Найдите точку максимума функции $y = ln(x + 5)− 2x+ 9.$

Решение:

1.

Область определения функции $x > − 5.$

2.

Найдем производную:

′ 1 ′ 1 y = x+-5-⋅(x + 5)− 2 = x-+5-− 2

3.

Найдём критические точки.

Точки, в которых производная равна нулю:

--1-- -1--- x + 5 − 2 = 0 ⇔ x+ 5 = 2 ⇔ x+ 5 = 0,5 ⇔ x = − 4,5

Производная не существует в точке $x = − 5.$

4.

Рисуем координатную ось и отмечаем на ней область определения и критические точки. Затем расставляем знаки производной на двух получившихся промежутках и отмечаем, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает:

$x−− 4 5,5$ $yyx−−−+′45,5$

5.

Видим, что $x = − 4,5$ — это точка максимума.

Пример 3

Найдите точку минимума функции $3 √3-- y = 2 ⋅ x2 − x.$

Решение:

1.

Область определения функции $x ∈ ℝ.$

2.

Найдем производную:

3 ( 2)′ 3 2 1 1 y′ =- ⋅ x3 − (x)′ =- ⋅- ⋅x −3 − 1 = √3-− 1 2 2 3 x

3.

Найдём критические точки.

Точки, в которых производная равна нулю:

√1-− 1 = 0 ⇔ √1-= 1 ⇔ √3x-= 1 ⇔ x = 1 3 x 3x

Производная не существует в точке $x = 0.$

4.

$x10$ $yyx10−+− ′$

5.

Видим, что $x = 0$ является точкой минимума, а $x = 1$ — точкой максимума.

Рассмотрим задачи, в которых можно исследовать функцию без помощи производной.

Пример 4

Найдите точку минимума функции $√ ----------- y = x2 − 6x + 11.$

Решение:

Перепишем функцию в виде

∘ ----------- ∘ --------------- ∘ ---------- y = x2 − 6x + 11 = (x2 − 6x + 9)+ 2 = (x− 3)2 + 2.

Найдём область определения функции: $2 (x− 3) + 2 ≥ 0,$ откуда получаем $x ∈ ℝ.$

Функция $y$ является композицией двух функций: возрастающей при $x ≥ 0$ функции $√ -- y1 = x$ и убывающей при $x ≤ 3$ и возрастающей при $x ≥ 3$ функции $2 y2 = (x− 3) + 2.$ Следовательно, исходная функция убывает при $x ≤ 3$ как композиция убывающей и возрастающей функций и возрастает при $x ≥ 3$ как композиция двух возрастающих функций. Тогда $x = 3$ является точкой минимума.

Пример 5

Найдите точку максимума функции $( 2) y = log2 3+ 2x− x − 2.$

Решение:

Перепишем функцию в виде

y = log (3+ 2x − x2)− 2 = log (− (x2 − 2x + 1)+ 4)− 2 = log (− (x − 1)2 +4)− 2. 2 2 2

Найдем область определения функции: $2 − (x − 1) + 4 > 0,$ откуда получаем $x ∈ (− 1;3).$

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей при $x > 0$ функции $y1 = log2x − 2$ и возрастающей при $x ≤ 1$ и убывающей при $x ≥ 1$ функции $2 y2 = − (x− 1) + 4.$ Следовательно, исходная функция возрастает при $x ∈ (− 1;1]$ как композиция двух возрастающих функций и убывает при $x ∈ [1;3)$ как композиция убывающей и возрастающей функций. Тогда $x = 1$ является точкой максимума.

Предыдущая справка

Следующая справка