№12. Исследование функций с помощью производной

Поиск наибольшего/наименьшего значения функции

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №12. Исследование функций с помощью производной

Теоретическая справка

#920

Вспомним, что:

1.: Если функция $f (x)$ определена и непрерывна на промежутке $X$ и во всех внутренних точках этого промежутка имеет положительную производную $(f′(x) > 0),$ то функция возрастает на промежутке $X$ .
2.: Если функция $f (x)$ определена и непрерывна на промежутке $X$ и во всех внутренних точках этого промежутка имеет отрицательную производную $′ (f (x) < 0),$ то функция убывает на $X$ .

План решения задач

1.: Находим область определения функции.
2.: Берем производную функции, то есть находим $f′(x).$
3.: Находим все критические точки, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует.
4.: На координатной оси отмечаем область определения функции, заданный в условиях отрезок и критические точки. С помощью метода интервалов находим знаки производной на получившихся промежутках и отмечаем, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает.
5.: Находим значение, которое требуется в задаче.

Пример 1

Найдите наибольшее значение функции $3 y = x 2 − 3x+ 1$ на отрезке $[1;9].$

Решение:

1.

Область определения функции $x ≥ 0.$

2.

Найдем производную:

y′ = 3⋅x12 − 3 = 3 √x-− 3. 2 2

3.

Найдем критические точки.

Нули производной:

3√ -- √ -- - x− 3 = 0 ⇔ x = 2 ⇔ x = 4. 2

Точек, в которых производная не существует, нет.

4.

Отрезок $[1;9]$ полностью лежит в области определения, поэтому будем исследовать функцию на этом отрезке. Рисуем координатную ось, отмечаем на ней отрезок $[1;9]$ и критические точки. Затем расставляем знаки производной на двух получившихся промежутках и отмечаем, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает:

$x9140$ $′ x914−+yy$

5.

На полученном эскизе видно, что наибольшее значение на отрезке $[1;9]$ функция принимает или в точке $x = 1,$ или в точке $x = 9.$

Чтобы решить задачу, осталось найти значения функции в точках $x = 1$ и $x = 9 :$

$pict$

Так как $1 > − 1,$ то наибольшее значение функции на отрезке $[1;9]$ равно 1.

Пример 2

Найдите наибольшее значение функции $y = (3x2 − 36x + 36)ex$ на отрезке $[− 1;4].$

Решение:

1.

Область определения функции $x ∈ ℝ.$

2.

Найдем производную:

$′ ( 2 )′ x ( 2 ) x ′ y = 3x − 36x+( 36 ⋅e + 3x)− 36x+( 36 ⋅(e ))= = (6x− 36)⋅ex + 3x2 − 36x + 36 ⋅ex = 3x2 − 30x ⋅ex$

3.

Найдем критические точки.

Нули производной:

[ ( ) x = 0 3x2 − 30x ⋅ex = 0 ⇔ 3x2 − 30x = 0 ⇔ x = 10

Точек, в которых производная не существует, нет.

4.

Отрезок $[− 1;4]$ полностью лежит в области определения, поэтому будем исследовать функцию на этом отрезке. Рисуем координатную ось, отмечаем на ней отрезок $[− 1;4],$ из критических точек на этот отрезок попадает только точка $x = 0.$ Затем расставляем знаки производной на двух получившихся промежутках и отмечаем, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает:

$x4−0 1$ $x4−0+−yy 1′$

5.

На полученном эскизе видно, что наибольшее значение на отрезке $[− 1;4]$ функция принимает в точке $x = 0.$

Чтобы решить задачу, осталось найти значение функции в точке $x = 0 :$

y(0) = (3⋅02 − 36 ⋅0 + 36)⋅e0 = 36 ⋅1 = 36.

Пример 3

Найдите наибольшее значение функции $y = 12cosx + 6√3 ⋅x− 2√3π + 6$ на отрезке $[ π] 0;2 .$

Решение:

1.

Область определения функции $x ∈ ℝ.$

2.

Найдем производную:

√- y′ = − 12 sinx + 6 3

3.

Найдем критические точки.

Нули производной:

⌊ √ - √ - x = π-+ 2πk, k ∈ ℤ − 12sin x+ 6 3 = 0 ⇔ sinx = --3 ⇔ |⌈ 3 2 x = 2π-+ 2πk, k ∈ ℤ 3

Точек, в которых производная не существует, нет.

4.

Отрезок $[ π-] 0;2$ полностью лежит в области определения, поэтому будем исследовать функцию на этом отрезке. Рисуем координатную ось, отмечаем на ней отрезок $[ π] 0;--, 2$ из критических точек на этот отрезок попадает только точка $π- x = 3.$ Затем расставляем знаки производной на двух получившихся промежутках и отмечаем, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает:

$xπ0π- 23$ $ππ′ x0+−yy23$

5.

На полученном эскизе видно, что наибольшее значение на отрезке $[ π] 0;2-$ функция принимает в точке $x = π-. 3$

Чтобы решить задачу, осталось найти значение функции в точке $x = π-: 3$

y( π) = 12cos π-+ 6√3 ⋅ π-− 2√3π + 6 = 6+ 6 = 12. 3 3 3

Пример 4

Найдите наибольшее значение функции $y = 3 tg x− 3x +5$ на отрезке $[ π ] − --;0 . 4$

Решение:

1.

Область определения функции: $π x ⁄= --+ πn, 2$ $n ∈ ℤ.$

2.

Найдем производную:

3 ( 1 ) y′ = --2--− 3 = 3 ⋅---2- − 1 = 3tg2x cos x cos x

3.

Найдем критические точки.

Нули производной:

2 tg x = 0 ⇔ tgx = 0 ⇔ x = πk, k ∈ ℤ.

Производная не существует в точках $π x = 2-+ πk,$ $k ∈ ℤ.$

Тогда критические точки можно записать так: $πk -2-,$ $k ∈ ℤ.$

4.

Отрезок $[ π- ] − 4;0$ полностью лежит в области определения, поэтому будем исследовать функцию на этом отрезке. Рисуем координатную ось, отмечаем на ней отрезок $[ π ] − -;0 , 4$ из критических точек на этот отрезок попадает только точка $x = 0.$ Получился один промежуток, находим на нем знак производной и отмечаем, возрастает или убывает функция.

$π- x0− 4$ $π x0−+yy 4′-$

5.