Механика

Движение по окружности

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: Механика

Теоретическая справка

#959

Равномерное движение по окружности

Равномерное движение по окружности — частный случай криволинейного движения, когда вектор скорости тела не изменяется по модулю (длина вектора постоянна), а изменяет лишь свое направление.

|⃗v1| = |v⃗2|

|⃗v| = const

Угловая скорость в случае равномерного движения по окружности — отношение угла поворота радиуса за некоторый промежуток времени:

|--------| |ω = Δ-φ | -----Δt--|

При неравномерном движении по окружности угловая скорость вводится как производная угла поворота по времени:

ω = dφ-= φ′(t) dt

Единицы измерения: $рад [ω ] =-c--$ (радиан в секунду) $−1 = с$

Связь линейной и угловой скорости

Угол поворота в радианной мере есть отношение длины дуги к радиусу:

Δl Δφ = -R-

Поскольку движение равномерное, длину дуги можно выразить через линейную скорость и время движения:

Δl = RΔ φ = vΔt

Выразим линейную скорость:

Δφ v = Δt-R = ωR

Отсюда связь линейной и угловой скорости:

|------| v-=-ωR--

Период обращения — это время одного полного оборота, то есть отношение времени обращения к числу оборотов:

|------| | t-| T-=--N--

Единицы измерения: $[T ] = c$ (секунда).

При равномерном движении по окружности период определяется по формуле:

T = 2πR- = 2π, v = const v ω

Частота обращения — это величина, обратная периоду. Частота показывает, сколько полных оборотов совершается в единицу времени.

|----------------| |ν = N-= -ω-= 1-| -----t---2π----T-|

Единицы измерения: $[ν ] = об∕с$ (оборот в секунду) $= Гц$ (герц) = $с−1$

Отсюда угловая скорость, выраженная через частоту и период:

|------------| |ω = 2π-= 2π ν| -----T--------

Центростремительное ускорение

При равномерном движении по окружности с изменением направления вектора скорости возникает центростремительное ускорение, направленное перпендикулярно вектору скорости $⃗aцс ⊥ ⃗v$ в центр окружности.

Центростремительное ускорение вычисляется по формуле:

|------2-------| |aцс = v = ω2R | ------R--------|

Вывод формулы для центростремительного ускорения

Поскольку движение по окружности равномерное, модуль линейной скорости постоянен:

|Δ⃗v| = const

Из подобия треугольников:

|⃗R | |Δ ⃗R| --1-= ----- |⃗v1| |Δ ⃗v|

Преобразуем выражение и разделим обе части на $Δt$ :

|Δ-⃗v| R- |Δ-⃗R| Δt ⋅v = Δt

Ускорение по определению:

⃗a = Δ-⃗v Δt

Модуль ускорения равен:

|Δ⃗v| |⃗a| = Δt

С учетом этого:

R |⃗a|⋅--= |⃗v| v

2 aцс = v R

Ускорение при криволинейном движении

При криволинейном движении скорость изменяется по величине и по направлению, поэтому полное ускорение имеет две компоненты — нормальное ускорение и тангенциальное ускорение.

Нормальное (центростремительное) ускорение — компонента ускорения, характеризующая быстроту изменения направления вектора скорости для траектории с кривизной, направленное перпендикулярно (по нормали) вектору скорости к центру кривизны траектории.
$|--------------| | v2 | |an = R-= ω2R | ---------------$
Единицы измерения:
$2 [an] = м∕c$ (метр в секунду за секунду).
Тангенциальное ускорениe — компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения. Если модуль скорости увеличивается, то тангенциальное ускорение $aτ$ направлено по касательной в направлении скорости. Если модуль скорости уменьшается, то тангенциальное ускорение $aτ$ направлено по касательной в противоположном скорости направлении.
Единицы измерения:
$[a] = м∕c2 τ$ (метр в секунду за секунду).
Полное ускорение тела, движущегося по окружности, равно векторной сумме тангенциального и нормального ускорений.
$⃗aполн = ⃗aτ + ⃗an$
Или по теореме Пифагора:
$∘ -2---2- aполн = an + aτ$

Обобщим все, что касается нормального, тангенциального и полного ускорений в одной таблице.

|-----------|----------------|-----------------|---------------------| |-Название--|----Ф-ормула----|---Направление---|---Когда-поя-вл-яется---| |Норм ал ьн ое | a = v2 | a⃗ ⊥ ⃗v,к цен тр у | Меняется н ап равл ени е | | n R | n | | |--an (aцс)-|----an =-ω2R----|---окруж-ности---|--вектора скорости-⃗v-| | Танген- | aτ = v′(t) | По касательной к | М ен яется модуль | | | Δv | | | | циальное | aτ = Δt, |траектории, ⃗aτ ∥⃗v вектора скорости |⃗v|| | aτ | если aτ = const| Если v ↑: ⃗aτ ↑↑⃗v| (меняется значение v)| | | | | | |-----------|----------------|-Если-v ↓:-⃗aτ-↑↓⃗v|---------------------| | Полное | ⃗aполн =∘⃗aτ-+⃗an-| В нутрь | − | | aполн |aполн = a2n + a2τ| тр аектории | | ----------------------------------------------------------------------

Кинематические соотношения при движении по окружности

Соотношение 1: диск

Все точки, принадлежащие одному и тому же диску, вращаются с одинаковой угловой скоростью

|------| ω1-=-ω2-

С учетом связи линейной и угловой скорости можно сделать вывод, что линейные скорости точек относятся прямо пропорционально их радиусам:

v = ωR ⇒ v1= R1- v2 R2

Чем ближе точка к центру окружности, тем меньше ее скорость, чем дальше от центра — тем скорость точки больше. Сам же центр окружности $O$ неподвижен $vo = 0$ .