Механика

Динамика. Законы Ньютона

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: Механика

Теоретическая справка

#961

Кратко о разделе

Динамика, в отличие от кинематики, изучает причины возникновения механического движения.

Понятие инерциальной системы отсчета (ИСО)

Инерциальная система отсчета (ИСО) — система отсчета, в которой тела либо движутся прямолинейно и равномерно, либо покоятся, когда векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю. Критерием ИСО является первый закон Ньютона. Во всех инерциальных системах отсчета процессы механики протекают одинаково.

Как правило, для задач часто рассматривают систему отсчета, связанную с поверхностью Земли, как инерциальную. Если СО (тело) движется прямолинейно и равномерно или покоится относительно Земли (у тела нет ускорения относительно Земли), то эту СО (тело) можно считать ИСО.

Многие законы механики справедливы только в инерциальных системах отсчета.

Понятие материальной точки

Материальной точкой называется тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь. В отличие от геометрической точки, материальная точка может обладать массой, электрическим зарядом и другими физическими характеристиками.

Как правило, модель материальной точки можно применить в двух ситуациях:

1. Тело движется поступательно. В этом случае все точки тела движутся одинаково, поэтому для описания поступательного движения тела достаточно описать движение одной его точки.

2. Размеры тела малы по сравнению с расстояниями до других тел.

Законы Ньютона

I. Первый закон Ньютона:

Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальные точки, когда на них не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находятся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

II. Второй закон Ньютона:

В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка с постоянной массой, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе:

|---∑----| ⃗a = ---⃗Fi| -----m----

Масса тела есть мера его инертности. Сила есть мера взаимодействия двух материальных тел.

III. Третий закон Ньютона:

Два тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению. Эти силы имеют одну и ту же физическую природу и направлены вдоль прямой, соединяющей их точки приложения.

|----------| |----------| F⃗12 = − ⃗F21| |⃗F12| = |F⃗21| ----------- ------------

Третий закон Ньютона выполняется почти всегда. Не выполняется, например, для силы Лоренца (магнетизм).

Силы в механике

1. Сила гравитации

Закон всемирного тяготения: две материальные точки массами $m$ и $M$ притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния $R$ между ними.

Сила гравитации описывается законом Ньютона:

|------------| |F = G mM-- | --гр-----R2--|

гдe $M$ , $m$ — массы материальных точек, $R$ — расстояние между ними, $2 G = 6,67⋅10−11 Н⋅м-- кг2$ — гравитационная постоянная.

В данном случае масса является мерой гравитационного взаимодействия, мерой силы притяжения. Считается, что инерционная масса и гравитационная масса эквивалентны и равны:

m = m = m ин гр

Закон всемирного тяготения, будучи справедливым для материальных точек, перестает быть верным, если размерами тел пренебречь нельзя. Имеются, однако, два важных исключения.

1. Закон справедлив, если тела являются однородными шарами. Тогда $R$ — расстояние между их центрами. Сила притяжения направлена вдоль прямой, соединяющей центры шаров.

2. Закон справедлив, если одно из тел — однородный шар, а другое — материальная точка, находящаяся вне шара. Тогда $R$ — расстояние от точки до центра шара. Сила притяжения направлена вдоль прямой, соединяющей точку с центром шара.

Второй случай особенно важен, так как позволяет применять формулу для силы притяжения тела (например, искусственного спутника) к планете.

Сила притяжения возникает между любыми объектами, обладающими массами. Массивные тела, такие как планета или звезда, обладают огромными массами, поэтому воздействие с их стороны ощущается больше, чем со стороны тел, имеющих относительно малые массы. Притяжением со стороны тел, обладающих малой массой обычно пренебрегают.

2. Сила тяжести

Сила тяжести — сила гравитационного притяжения, действующая на тело со стороны планеты.

|--------| -Fт-=-mg-|

Учитывая, что сила тяжести является частным случаем силы гравитации, выведем ускорение свободного падения — силовую характеристику поля силы тяжести:

|--------| mg = G mM-- ⇒ |g = G M-| R2 ------R2--

где $m$ — масса тела, расположенного в поле силы тяжести планеты, $M$ — масса планеты, $R$ — радиус планеты.

Если тело находится на высоте $h$ над поверхностью планеты, то для ускорения свободного падения:

|----------------| |g(h) = G--M-----| ---------(R-+-h)2-|

3. Сила упругости

Сила упругости возникает при упругой деформации тела и направлена в сторону, противоположную смещению частиц тела в процессе деформации.

Сила упругости подчиняется закону Гука: сила упругости, возникающая при упругой деформации растяжения или сжатия тела пропорциональна абсолютному значению изменения длины тела.

|-------------| |-----------| |Fупр = − kΔx | |Fупр = kΔx | -----x-------- ------------

где $Δx$ — удлинение пружины, $k$ — жесткость пружины.

При малом удлинении (деформации) можно считать, что деформация упругая, то есть исчезающая после прекращения действий на тело внешних сил.

Типы соединения пружин, не обладающих массой

1) Параллельное соединение:

Общая сила упругости: $F = F +F упр упр1 упр2$

С учетом закона Гука: $kΔl = k1Δl + k2Δl ⇒ k = k1 + k2 ⇒ k = ∑ ki$

2) Последовательное соединение:

Общее удлинение пружины, состоящей из двух пружин: $Δl = Δl1 + Δl2$

С учетом закона Гука: $Fупр= Fупр+ Fупр ⇒ 1= 1-+ -1 ⇒ 1= ∑ 1- k k1 k2 k k1 k2 k ki$

4. Сила натяжения нити

Если тело подвешено на нити, то возникает сила натяжения нити $T$ . Из-за того что нить растягивается, расстояние между молекулами увеличивается, и молекулы пытаются сжаться, что приводит к возникновению силы натяжения нити.

У силы натяжения нити нет формулы. Вектор силы натяжения нити направлен вдоль нити против деформации согласно закону Гука.

При прочтении условия задачи следует обращать внимание на слова-маркеры.

Невесомая нить $⇒$ Из условия невесомости нити следует, что модуль силы натяжения нити в любой точке одинаков.
$|----------| T1-=-T2 =-T-$
Рассмотрим конструкцию, состоящую из грузов 1 и 2, связанных невесомой нитью. На груз 2 действует сила $F$ , тянущая конструкцию вправо.

$PIC$

Рассмотрим отдельно нить и силы $T1$ и $T2$ , действующие на нее по третьему закону Ньютона со стороны грузов 1 и 2:

$PIC$

Пусть у невесомой нити есть масса $m нити = 0$ и она (нить) движется с ускорением $a$ . Тогда по второму закону Ньютона модули сил натяжения нити равны:
$T2 − T1 = m нитиa ⇒ T1 = T2$
Нерастяжимая нить $⇒$ Поскольку нить нерастяжимая, то ее длина постоянна, следовательно, можно записать кинематическую связь.
$|----------| -a1 =-a2 =-a-$
$PIC$

Поскольку нить нерастяжимая, то длина ее постоянна $ΔL = 0$ :
$L = const = x2 − x1$
Продифференцируем это уравнение по времени:
$ΔL Δx2 Δx1 Δx2 Δx1 Δt-= Δt--− -Δt- ⇒ 0 = Δt--− -Δt- ⇒ vx2 = vx1$
Продифференцируем полученное уравнение по времени:
$Δvx2 Δvx1 -Δt--= Δt--- ⇒ ax2 = ax1$
Таким образом, нерастяжимость нити дает возможность получить кинематическую связь — равенство ускорений.

5. Сила нормальной реакции опоры

Представим, что тело лежит на поверхности. Под действием веса тела поверхность деформируется и по третьему закону Ньютона пытается вернуть себя в исходное положение, действуя на тело силой $N$ — силой нормальной реакции опоры.

Слово «нормальная» отсылает к понятию «нормаль» и отражает, что сила нормальной реакции опоры направлена перпендикулярно поверхности. Данная сила возникает, когда есть контакт тела с какой-либо опорой.

6. Вес

Вес тела — это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Вес приложен к опоре или подвесу, а не к телу.

На понятии веса основана базовая задача про лифт.

7. Сила трения

Существует сухое и вязкое трение.

7.1 Вязкое трение

Вязкое трение возникает при движении твердого тела в жидкости или газе.

Формулы для сил сопротивления при вязком трении выводятся, как правило, эмпирически и действуют в узком диапазоне значений скоростей или для определенной формы тела.

7.2 Сухое трение

Выделяют три основных вида сухого трения: трение покоя, скольжения и качения. В названиях отражен вид движения, при котором возникает трение того или иного вида.

1) Сила трения покоя

Возникает в ситуации возможного движения одного тела по поверхности другого и направлена вдоль поверхности соприкосновения, против направления возможного движения.

У силы трения покоя нет формулы. Существует следующее неравенство:

|----------|- Fтр. п. ≤-μN-

Максимальная величина силы трения покоя равна силе трения скольжения, то есть сила трения покоя может находиться в диапазоне от нуля до $μN$ .

2) Сила трения скольжения

Возникает при скольжении. Определяется по формуле:

|------------| |Fтр. ск. = μN| -------------

где $N$ — сила нормальной реакции опоры, $μ$ — коэффициент трения. Коэффициент трения определяется свойствами материала трущихся поверхностей.

Сила трения скольжения направлена противоположно относительной скорости:

|------------| F⃗тр. ск. ↑↓⃗vотн

При прочтении условия задачи следует обращать внимание на слова-маркеры. Если в условии сказано, что поверхность гладкая, то действием силы трения можно пренебречь. Если в условии сказано, что поверхность шероховатая, то действует сила трения.

3) Сила трения качения

Возникает при качении, когда тело деформирует поверхность при движении. Образуется некий «бугорок», на который телу необходимо закатиться.

Для этого необходимо создать момент силы, чтобы создалось некоторое вращение. Сила трения качения препятствует тому, чтобы тело закатывалось, создавая момент силы, который препятствует вращению.

8. Сила Архимеда

На погруженное в жидкость или газ тело действует выталкивающая сила, или сила Архимеда.

Обобщенный закон: в любой СО на тело, погруженное в жидкость (или газ), действует выталкивающая сила, равная весу жидкости (или газа) в объеме погруженной части тела.

F = P Арх ж

Формулировка закона Архимеда для ИСО: на любое тело, которое погружено в жидкость (газ), находящуюся в состоянии равновесия, действует со стороны жидкости (газа) сила выталкивания, равная произведению плотности вещества в котором находится тело, на ускорение свободного падения и на объем погруженной части тела.

|--------------| |FАрх = ρжgV п.ч. ---------------

где $ρж$ — плотность жидкости (среды), $g$ — ускорение свободного падения, $Vп.ч.$ — объем погруженной части.

Применимость закона для ИСО: сосуд с жидкостью движется равномерно и прямолинейно или покоится относительно ИСО (не имеет ускорения относительно ИСО), либо сам сосуд с жидкостью является ИСО.

Предыдущая справка

Следующая справка