Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.06 Треугольник: площадь и периметр

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1409

В треугольнике $ABC$ отрезок $BD$ — высота, $AD = 1,$ $DC = 3,$ $∠DBC = 45∘.$ Найдите площадь треугольника $ABC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

В прямоугольном треугольнике $BCD$ имеем:

∘ ∘ ∠BCD = 90 − ∠DBC = 45 = ∠DBC

Тогда $BD = DC = 3.$ Далее, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Тогда площадь треугольника $ABC$ равна

SABC = 0,5⋅(3+ 1) ⋅3 = 6

Ответ: 6

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2510

У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь треугольника равна полупроизведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Следовательно, с одной стороны, $S = 0,5⋅9⋅4,$ а с другой стороны $S = 0,5 ⋅6⋅h.$ Здесь $h$ — высота, которую нужно найти. Тогда имеем:

0,5⋅9 ⋅4 = 0,5 ⋅6⋅h ⇔ h= 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#17297

Две стороны треугольника равны 21 и 28. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 15. Найдите высоту треугольника, опущенную на меньшую из этих сторон.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, к которому проведена эта высота, то

S△ = 0,5⋅15⋅28

С другой стороны, если обозначить за $h$ высоту, проведенную к меньшей стороне, то

S△ = 0,5 ⋅h⋅21

Тогда окончательно имеем:

0,5⋅15⋅28= 0,5⋅h⋅21 15⋅28 h = 21 = 20

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#65

В треугольнике $ABC$ известно, что $AF$ и $BD$ — высоты, $AF = 4,$ $BD = 3,$ $AC = 6.$ Найдите $BC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Так как площадь треугольника не зависит от выбора основания, то

0,5⋅AC ⋅BD = 0,5⋅BC ⋅AF ⇒ 9= 0,5⋅BC ⋅4 ⇒ BC = 4,5

Ответ: 4,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#553

В треугольнике $ABC$ точка $D$ лежит на $AC,$ причём $AD- = 2. DC 3$ Площадь треугольника $ABD$ равна $7,5.$ Найдите площадь треугольника $BCD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Построим высоту $BK :$

$PIC$

Площадь треугольника $ABD$ может быть найдена по формуле

SABD = 0,5⋅AD ⋅BK

Аналогично для треугольника $BCD$

SBCD = 0,5⋅CD ⋅BK

Тогда имеем отношение площадей

SBCD- 0,5⋅CD--⋅BK-- CD- 3 SABD = 0,5⋅AD ⋅BK = AD = 2

Отсюда найдём искомую площадь:

SBCD = 3 ⋅SABD = 3⋅7,5= 11,25 2 2

Ответ: 11,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#554

В треугольнике $ABC$ известно, что точки $D$ и $E$ лежат на $AB,$ причём $AD--+BE- 2 AB = 3.$ Площадь треугольника $ACD$ равна 10, $SCEB- = 6. SCED 5$ Найдите площадь треугольника $ABC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $h$ — длина высоты, опущенной из точки $C$ на $AB,$ тогда

SABC = 0,5⋅AB ⋅h SCEB = 0,5 ⋅EB ⋅h SCED = 0,5 ⋅DE ⋅h

Так как по условию $SCEB-= 6 , SCED 5$ то

SCEB-= 0,5⋅EB-⋅h-= EB- = 6 SCED 0,5⋅DE ⋅h DE 5

2 1 DE = AB − (AD + BE )= AB − 3 ⋅AB = 3 ⋅AB

Тогда

EB = 6⋅ 1 ⋅AB = 2 ⋅AB 5 3 5 AD = AB − (DE + EB) = AB − 1⋅AB − 2 ⋅AB = 4-⋅AB 3 5 15

По условию площадь треугольника $ACD$ равна 10, поэтому

4- -4 SACD = 0,5⋅AD ⋅h = 0,5 ⋅15 ⋅AB ⋅h= 15 ⋅SABC = 10

Найдём площадь треугольника $ABC :$

SABC = 10⋅ 15= 37,5 4

Ответ: 37,5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1161

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

Проведем высоту к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой.

$PIC$

Таким образом мы получили прямоугольный треугольник с катетами $h$ и $3$ и гипотенузой $5.$ По теореме Пифагора найдем

------ h= ∘ 52− 32 = 4

Так как площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, к которому она проведена, то

S = 1h⋅6= 12 2

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1241

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена биссектриса $BT,$ причем $AT =15, TC = 12.$ Найдите площадь треугольника $ABT.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По свойству биссектрисы:

TC-= AT- BC AB

Пусть $BC =x, AB = y,$ тогда:

12- 15 x = y ⇒ x = 0,8 ⋅y

Из треугольника $ABC$ имеем по теореме Пифагора:

x2+ 272 = y2 ⇒ 0,64 ⋅y2 +272 = y2 ⇒ y = 45, x= 36

Найдём площадь треугольника $ABT :$

SABT = 0,5⋅AT ⋅BC = 0,5⋅15⋅36= 270

Ответ: 270

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1242

Площадь равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$ равна $20.$ В нем проведены высоты $BD$ и $AH,$ пересекающиеся в точке $L.$ Найдите площадь треугольника $BLH,$ если $AH = 4√2.$

$PIC$

Показать ответ и решение

√- SABC =0,5⋅AH ⋅CB = 20 ⇒ CB = 5 2

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC,$ то $AB = CB = 5√2.$

Из треугольника $ABH$ по теореме Пифагора:

∘ ---------- √ - HB = AB2 − AH2 =3 2.

Так как $BD$ — высота равнобедренного треугольника $ABC,$ проведенная к основанию, то она также является биссектрисой и медианой. Тогда по свойству биссектрисы из треугольника $ABH :$

HL AH − HL √- HB--= --AB---- ⇒ HL = 1,5 2

Следовательно, $SBLH = 0,5⋅HL ⋅HB = 4,5.$

Ответ: 4,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1407

В треугольнике $ABC :$ $∠C =90∘,$ $CM$ — медиана, $AC = 4,$ $CM = 2,5.$ Найдите периметр треугольника $ABC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда $AB = 2,5 ⋅2= 5.$

По теореме Пифагора:

2 2 2 AB = AC + CB ⇒ CB = 3

Тогда периметр треугольника $ABC$ равен

3 +4 +5 = 12

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1408

Точка $D$ лежит на стороне $AC$ треугольника $ABC.$ Периметр треугольника $ABD$ равен $10,$ периметр треугольника $BDC$ равен $7,$ $BD = 3.$ Найдите периметр треугольника $ABC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Периметр треугольника $ABC$ равен $AB + AC + BC.$

Периметр треугольника $BDC$ равен $BD + DC + BC = 7,$ а $BD = 3,$ тогда

DC +BC = 4

Периметр треугольника $ABD$ равен $AB + BD + AD = 10,$ тогда

AB +AD =7

Найдём периметр треугольнике $ABC :$

AB +AC + BC = AB + AD + DC + BC = 4 +7 = 11

Ответ: 11

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1410

В треугольнике $ABC$ известно, что $CD$ — высота, $CD = √12,$ $AB = π√3,$ $AC =2π.$ Найдите расстояние от точки $B$ до прямой, содержащей отрезок $AC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Обозначим её за $h.$

0,5⋅AB ⋅CD = 0,5⋅AC ⋅h

Откуда

√ - √ -- 0,5⋅π 3⋅ 12 = 0,5 ⋅2π ⋅h ⇒ h= 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1852

В треугольнике $ABC$ известно, что $BD$ — медиана. Площадь треугольника $ABD$ равна $1.$ Найдите площадь треугольника $ABC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как медиана делит треугольник на два равновеликих (то есть, с равными площадями), то площадь треугольника $BDC$ равна площади треугольника $ABD$ и равна $1.$ Тогда площадь треугольника $ABC,$ равная сумме площадей треугольников $ABD$ и $BDC,$ равна 2.

Покажем подробнее тот факт, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника:

площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Пусть $h$ — высота, проведённая из $B$ к стороне $AC.$ Тогда площадь треугольника $ABD$ равна

0,5⋅AD ⋅h

Площадь треугольника $BDC$ равна

0,5⋅CD ⋅h

Так как $CD = AD,$ то

0,5 ⋅AD ⋅h= 0,5⋅CD ⋅h

Значит, площади треугольников $ABD$ и $BDC$ равны.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2043

Найдите высоту треугольника, проведенную к стороне длины 8, если высота, проведенная к стороне длины 6, равна 4.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как площадь треугольника равна полупроизведению высоты и стороны, к которой эта высота проведена, то площадь треугольника равна

1 S = 2 ⋅6⋅4

Пусть $h$ — высота, которую нужно найти. Тогда, с другой стороны, площадь треугольника равна

S = 1 ⋅8⋅h 2

Таким образом, получаем равенство, из которого находим искомую высоту:

1 1 2 ⋅6⋅4= 2 ⋅8⋅h ⇔ h =3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2161

Периметр треугольника равен 6. Найдите периметр треугольника, стороны которого параллельны сторонам данного и проходят через его вершины.

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть длины сторон треугольника $ABC :$ $AB, BC, CA$ равны $a, b, c$ соответственно, тогда периметр треугольника

ABC :P = a+ b+ c ABC

Найдем сторону $EF.$ Из условия известно, что $EF ∥AB,DE ∥AC, DF ∥BC,$ тогда можно заметить, что четырёхугольники $ABCF$ и $ABEC$ — параллелограммы, т. к. стороны этих четырёхугольников попарно параллельны. По свойству параллелограмма противоположные стороны попарно равны, а значит, что

AB = F C =CE ⇒ EF = 2⋅a

Аналогично доказывается, что $DE = 2⋅c, DF = 2 ⋅b,$ значит,

PDEF = 2⋅(a+ b+ c)= 2⋅PABC = 12

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2170

Точки $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ соответственно. Найдите периметр треугольника $ABC,$ если периметр треугольника $AP Q$ равен 21.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $P Q$ — средняя линия треугольника $ABC,$ то $2P Q =BC.$

Найдём периметр треугольника $ABC :$

PABC = AB + AC + BC = 2AP + 2AQ + 2PQ = = 2(AP + AQ + PQ )= 2⋅PAPQ = 2⋅21= 42

Ответ: 42

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2176

В треугольнике $ABC$ известно, что $BD = 2$ — высота, $BC =4,$ $AC = 12.$ Найдите расстояние от точки $A$ до прямой, содержащей отрезок $BC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую, следовательно, расстояние от точки $A$ до прямой, содержащей отрезок $BC,$ равно длине высоты $AE.$

$PIC$

Посчитаем площадь треугольника $ABC$ двумя способами:

0,5AC ⋅BD = SABC = 0,5AE ⋅BC ,

откуда $12= 2AE,$ следовательно, $AE = 6.$

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2193

Найдите квадрат площади треугольника $ABC,$ если $AC = 3,$ $BC = 4,$ а медианы, проведенные из вершин $A$ и $B,$ взаимно перпендикулярны.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Т.к. $BP$ — медиана, то

SABP = SPBC ⇒ SABC = 2⋅SABP

Т.к. $AM$ и $BP$ — медианы, то точка $O$ делит их в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда если $OM = x,$ то $AO =2x,$ если $OP =y,$ то $BO = 2y.$ Получим систему уравнений:

{ 2 2 x 2+4y2= 4 4x + y = 2,25

Из системы находим $x$ и $y :$

∘ -- x= 1 3 ∘-2,75 y = -3--

Тогда:

∘ --∘ ---- 1 2,75 SABP = 0,5 ⋅2x ⋅3y = 3⋅ 3 ⋅ 3

Найдём площадь треугольника $ABC :$

∘ -- ∘---- 1 2,75 √ -- 2 SABC = 2⋅3⋅ 3 ⋅ 3 = 11 ⇒ (SABC) = 11

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2578

В треугольнике $ABC$ даны три стороны: $AB =26, BC =30, AC =28.$ Найдите площадь треугольника, заключенного между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины $B.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $BP$ и $BQ$ — высота и биссектриса данного треугольника $ABC$ соответственно. По формуле Герона имеем:

S = ∘42-⋅(42-− 30)(42-− 28)(42-− 26)= 14⋅6⋅4 = 336 ABC

Запишем формулу площади треугольника $ABC$ через высоту:

AC ⋅BP SABC = ---2---

Отсюда получаем

BP = 2⋅SABC-= 2⋅336= 24 AC 28

$PIC$

По свойству биссектрисы треугольника имеем:

AQ-= AB- = 13 QC BC 15

Значит, $13 AQ = 28AC = 13.$

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $APB :$

∘ ---------- ∘ -------- AP = AB2 − BP 2 = 262 − 242 = 10

Найдем отрезок между основаниями высоты и биссектрисы:

P Q= AQ − AP = 13− 10= 3

Тогда искомая плошадь равна

SBPQ = 1⋅PQ ⋅BP = 3-⋅24 = 36 2 2

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#2579

В треугольнике $ABC$ точка $H$ делит сторону $AB$ в отношении $2:3,$ считая от вершины $B.$ Найдите площадь треугольника $HBC,$ если площадь треугольника $ABC$ равна 15.