Тема 3. Геометрия в пространстве (стереометрия)

3.02 Угол между прямыми

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия в пространстве (стереометрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1873

Дан куб $ABCDA1B1C1D1.$ Найдите угол между прямыми $AD1$ и $BD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что $BC1 ∥AD1,$ тогда рассмотрим треугольник $△BDC1,$ в котором необходимо определить $∠DBC1.$ Он состоит из диагоналей соответствующих квадратов. Так как квадраты между собой равны, то равны и диагонали, следовательно, $△BDC1$ — равносторонний треугольник. Тогда $∘ ∠DBC1 = 60 .$

Ответ: 60

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1874

Дан куб $ABCDA1B1C1D1$ . Точка $K$ – середина стороны $B1C1$ , а точка $L$ – середина стороны $C1D1$ . Найдите угол между прямыми $AB1$ и $KL$ . Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Проведем диагональ $B1D1$ в квадрате $A1B1C1D1$ . Тогда $KL$ – средняя линия в $△B1C1D1$ $⇒$ $KL ||B1D1$ $⇒$ $∠AB1D1$ – искомый угол. Рассмотрим $△AB1D1$ . Он состоит из диагоналей соответствующих квадратов $⇒$ треугольник является равносторонним $⇒$ $∠AB1D1 = 60∘$ .

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#924

Точки $A$ , $B$ и $C$ лежат в плоскости $π$ . Прямая $l$ образует с плоскостью $π$ угол в $45∘$ и проходит через точку $B$ так, что $∠ (l;AB ) = ∠ (l;BC )$ . Через $l′$ обозначим проекцию $l$ на $π$ . Найдите $∠ (l′;AB )$ , если $∠ABC = 80 ∘$ . Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Докажем, что $l′$ содержит биссектрису угла $ABC$ . Выберем на $AB$ точку $A ′$ , а на $BC$ точку $C ′$ так, чтобы $A ′B = BC ′$ . Построим прямую, проходящую через точку $B$ и точку $H$ – середину $A ′C ′$ .

$PIC$
Отметим на $l$ точку $M$ . Треугольник $′ ′ A BC$ – равнобедренный, тогда $BH$ – высота.

Рассмотрим треугольники $A ′BM$ и $C ′BM$ : они равны по двум сторонам и углу между ними, тогда $M A′ = M C ′$ и треугольник $A ′M C ′$ – равнобедренный, тогда $M H$ – его высота.

В итоге $A ′C ′ ⊥ BH$ и $A′C ′ ⊥ M H$ , следовательно, $A ′C′ ⊥ (M BH )$ . Если предположить, что $M ′$ – проекция точки $M$ на $′ ′ (A BC )$ , не попадает на прямую, содержащую $BH$ , то получим, что $′ ′ ′ A C ⊥ M M$ и $′ ′ A C ⊥ M H$ , откуда следует, что $′ ′ ′ A C ⊥ (M M H )$ . Но тогда плоскости $′ (M M H )$ и $(M BH )$ перпендикулярны к одной прямой, пересекаются, но не совпадают, чего быть не может.

Таким образом, $M ′$ лежит на прямой, содержащей $BH$ , но тогда $l′$ совпадает с прямой, содержащей $BH$ . В итоге, $′ ∘ ∠ (l;AB ) = 0,5∠ABC = 40$ .

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#954

Дан правильный тетраэдр $SABC$ . Найдите квадрат тангенса угла между высотой грани $SAC$ , опущенной из вершины $S$ , и высотой грани $ABC$ , опущенной из вершины $B$ .

Показать ответ и решение

Пусть $SB1$ – высота грани $SAC$ . Так как тетраэдр правильный, то все его грани – равные правильные треугольники, то есть $SB1$ также является и медианой, значит, $AB1 = B1C$ . Также у правильного тетраэдра высота из каждой вершины падает в точку пересечения медиан (биссектрис, высот) противоположной грани. Следовательно, если $SO$ – высота, то $O$ – точка пересечения медиан треугольника $ABC$ , а значит и высот, так как $△ABC$ правильный. Следовательно, $BB1$ — медиана и высота.

$PIC$

Таким образом, необходимо найти $2 tg ∠(SB1, BB1 )$ .
Пусть $a$ – ребро тетраэдра. Тогда $BC = a,B1C = 0, 5a$ , следовательно, по теореме Пифагора

√-- ∘ ---2-------2- -3-- BB1 = BC − B1C = 2 a

Так как $O$ – точка пересечения медиан, а медианы точкой пересечения делятся в отношении $2 : 1$ , считая от вершины, то $√ - OB1 = 13 BB1 = -63a$ .

Так как $△ABC = △SAC$ , то $SB1 = BB1$ . Следовательно, из прямоугольного $△SB1O$ :

√ -- OB1 1 √ ---------- 2 2 2 √ --2 cosα = -----= -- ⇒ sin α = 1 − cos2α = ----- ⇒ tg α = (2 2) = 8. SB1 3 3

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#955

Дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ . Найдите косинус угла между высотой основания $AA1$ и ребром $SC$ , если сторона основания равна $√ -- 3$ , а боковое ребро равно $2$ .

Показать ответ и решение

Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник, следовательно, $AA1$ также является и медианой.

$PIC$

Заметим, что прямые $AA1$ и $SC$ скрещиваются. Проведем $A1M ∥ SC$ , следовательно, $∠ (AA1, SC ) = ∠ (AA1, A1M )$ .
Так как $A M ∥ SC 1$ и $A 1$ – середина $BC$ , то $M$ – середина $SB$ . Следовательно, $A M 1$ – средняя линия и

1 A1M = --SC = 1. 2

По теореме Пифагора из $△ABA1$ :

∘ ------------- AA1 = AB2 − A1B2 = 3. 2

Медиану $AM$ из $△SAB$ можно найти по формуле медианы:

2 2AS2--+-2AB2--−-SB2-- 5- AM = 4 = 2.

Следовательно, по теореме косинусов из $△AA1M$ :

2 2 2 cos α = AA--1 +-A1M---−-AM--- = 1-= 0,25. 2AA1 ⋅ A1M 4

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#956

Дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ . Найдите угол между высотой пирамиды и ребром $SB$ , если высота пирамиды равна $√ -- 2 3$ , а сторона основания пирамиды равна $6$ . Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник, следовательно, высота $SO$ падает в точку пересечения медиан основания.

$PIC$

Пусть $BB1$ – медиана, а значит, и высота. По теореме Пифагора

∘ ------------- -- -- BB = BC2 − B C2 = 3√ 3 ⇒ BO = 2-BB = 2√ 3, 1 1 3 1

так как медианы точкой пересечения делятся в отношении $2 : 1$ , считая от вершины.
Следовательно, прямоугольный $△SOB$ является равнобедренным ( $√ -- SO = BO = 2 3$ ), значит, острые углы равны по $∘ 45$ .

Ответ: 45

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2286

$ABCDA1B1C1D1$ – куб. На ребрах $A1B1$ и $C1D1$ отмечены точки $N$ и $M$ соответственно таким образом, что $∠M DC = ∠N BA = 60∘$ . Найдите угол между прямыми, содержащими отрезки $N B$ и $M D$ . Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

$PIC$

Плоскости $(AA1B1B )$ и $(DD1C1C )$ – параллельны, тогда $N B$ параллельна $DD1C1C$ . Следовательно, в плоскости $DD1C1C$ можно провести прямую, параллельную $N B$ ; пусть $′ CN ∥ N B$ . Кроме того, $AB ∥ CD$ , тогда угол между отрезками $CD$ и $CN ′$ равен $∠N BA$ и составляет $60∘$ .

Заметим, что в $△CDO$ два угла равны по $60 ∘$ , следовательно, и третий $∠COD = 60∘$ . А по определению $∠COD$ и есть угол между прямыми $BN$ и $DM$ .

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#57981

В кубе $ABCDA1B1C1D1$ найдите угол между прямыми $DC1$ и $BD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим $△ BC1D.$ Каждая сторона в нем — диагональ грани куба. Так как все грани куба представляют собой квадраты с одинаковыми сторонами, то их диагонали равны, следовательно, $△ BC1D$ равносторонний. Значит, $∘ ∠BDC1 = 60.$

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#957

Дан правильный тетраэдр $SABC$ . Найдите $√ -- 3cos α$ , где $α$ – угол между ребром $AS$ и высотой грани $SBC$ , опущенной из вершины $B$ .

Показать ответ и решение

Пусть $BB1$ – высота грани $SBC$ . Так как тетраэдр правильный, то все его грани – равные правильные треугольники, то есть $BB1$ также является и медианой, значит, $SB1 = B1C$ . Также у правильного тетраэдра высота из каждой вершины падает в точку пересечения медиан (биссектрис, высот) противоположной грани. Следовательно, если $SO$ – высота, то $O$ – точка пересечения медиан треугольника $ABC$ , а значит и высот, так как $△ABC$ правильный. Следовательно, $AA1$ медиана и высота.

$PIC$

Рассмотрим $△ASA1$ . Проведем $OM ∥ AS$ , следовательно, $∠ (AS, BB1 ) = ∠ (OM, BB1 )$ .
Заметим также, что $M$ будет лежать на $BB1$ .
Действительно, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении $2 : 1$ , считая от вершины, то $AO : OA = 2 : 1 1$ . Следовательно, $SM : M A = 2 : 1 1$ (по теореме Фалеса, так как $OM ∥ AS$ ). Но $SA 1$ и $BB1$ – медианы в $△SBC$ , следовательно, они пересекаются и точкой пересечения тоже делятся в отношении $2 : 1$ . А так как $M$ делит $SA1$ в отношении $2 : 1$ , считая от вершины $S$ , то $M$ и есть точка пересечения медиан $SA1$ и $BB1$ .
Таким образом, нужно найти $cos∠OM B$ .
Пусть $3a$ – ребро тетраэдра. Тогда