5.03 Условная вероятность

Посчитаем количество исходов, в которых единица выпала ровно один раз, поскольку остальные исходы нас не интересуют. Единица могла быть выкинута первым, вторым или третьим броском. Для каждого из этих трех случаев на оставшихся двух кубиках могло выпасть любое значение от 2 до 6, то есть пять вариантов. Тогда количество таких исходов равно

Для того, чтобы при наличии единицы сумма очков была равна 13, на оставшихся двух кубиках должно выпасть число 6. Таких вариантов три:

Тогда искомая вероятность равна

Посчитаем все случаи, кроме тех, в которых хотя бы единожды выпало 2 очка. Таких случаев поскольку в каждом из двух бросков могло выпасть одно из пяти чисел

Посчитаем теперь случаи, когда сумма очков равна 4, причем ни в одном из бросков не выпало 2 очка. Таких случаев два:

Тогда искомая вероятноcть равна

Выпишем все исходы, когда выпали 4 и 6 очков в некотором порядке. Остальные исходы нас не интересуют, ведь из условия известно, что событие «в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков» уже произошло. В случае, если был выбран первый кубик, таких исходов всего два:

В случае, если был выбран второй кубик, таких исходов восемь:

Индексами показано, что на втором кубике есть две шестерки и две четверки. Все 10 перечисленных исходов равновероятны, среди них 2 соответствуют выбору первого кубика, значит, искомая вероятность равна

Рассмотрим все комбинации первых двух бросков. Из них нас интересуют те, в которых сумма очков строго больше 6. Посчитаем наоборот те пары, в которых сумма а затем долю таких пар вычтем из единицы.

Таких пар 15 из 36. Тогда искомая вероятность равна

После деления в столбик и округления до сотых получим 0,58.

Посчитаем все исходы, когда выпали 1 и 2 очка в некотором порядке. Остальные исходы нас не интересуют, ведь из условия известно, что событие «в каком-то порядке выпали 1 и 2 очка» уже произошло. В случае, если был выбран второй кубик, возможны два варианта:

• Сначала выпало 1 очко, затем 2. На кубике три грани с 1 и три с 2, значит, таких исходов 9.
• Сначала выпало 2 очка, затем 1. По аналогичным соображениям таких исходов 9.

Всего 18 исходов для второго кубика. Для первого кубика подходящих исходов всего два:

Все 20 перечисленных исходов равновероятны, среди них 18 соответствуют выбору второго кубика.

Значит, искомая вероятность равна

Рассмотрим все случаи, как могло выпасть в сумме 6 очков. Эти случаи равновероятны:

Среди этих пяти случаев в двух выпало два очка, значит, искомая вероятность равна

Нас интересуют только те исходы, в которых сумма очков равна 6:

Таких исходов 5, все они равновероятны, в одном из них в первом броске выпало 2. Тогда искомая вероятность равна

Заметим, что если мощность первой взятой лампочки не окажется равна 75 Вт, то гарантированно будет вынуто хотя бы две лампочки. При этом ясно, что рано или поздно хотя бы одна лампочка мощностью 75 Вт будет вынута.

Тогда искомая вероятность равна вероятности выбора одной из 9 лампочек мощностью не 75 Вт среди 15 лампочек всех мощностей:

По условию в последнем броске выпал орел, значит, если всего орел выпал два раза, то за первые три броска орел выпал ровно один раз. Таким образом, вероятность того, что за все четыре броска орел выпал ровно два раза при условии, что последним выпал орел, равна вероятности того, что за первые три броска орел выпал ровно один раз.

Рассмотрим первые три броска. У каждого из них ровно два исхода — орел или решка. Результат броска никак не зависит от результатов других бросков, поэтому броски — это независимые события. Значит, количество всевозможных исходов равно произведению количества исходов в каждом из бросков, то есть

Найдем количество таких исходов, в которых орел выпал ровно один раз. Их три, так как орел мог быть результатом любого из бросков, при этом в остальных двух могла выпасть решка.

Тогда вероятность того, что за первые три броска орел выпал ровно один раз, равна отношению количества благоприятных исходов к числу всех исходов, то есть

Тогда и вероятность того, что за все четыре броска орел выпал ровно два раза при условии, что в четвертом броске выпал орел, равна 0,375.

Перечислим все события, которые могли произойти, с помощью пары чисел, показывающих число выпавших очков на первом и втором кубиках соответственно. Получим события

Тогда всего пять равновероятных событий, среди которых только одно содержит число 3.

По классическому определению вероятности события получим, что вероятность того, что хотя бы один раз выпало 3 очка, равна

Так как по условию кость бросали дважды и ни в одном из бросков не выпало 6 очков, исходов в каждом броске было 5. Тогда всего возможных исходов ровно

Если сумма очков в двух бросках равна 8, а результат каждого броска — целое число в диапазоне от 1 до 5, то результатов с суммой 8 всего три:

Тогда вероятность того, что выпадет один из них, равна

Посчитаем все случаи, кроме тех, в которых хотя бы один раз выпало 1 очко. Так как в каждом из бросков могло выпасть одно из 5 чисел: 2, 3, 4, 5 или 6, то таких случаев

Посчитаем теперь случаи, когда сумма очков равна 7, причем ни в одном из бросков не выпало 1 очко. Таких случаев 4:

Тогда искомая вероятность равна

Так как по условию кость бросали дважды и ни в одном из бросков не выпало 5 очков, то исходов в каждом броске было 5. Тогда всего возможных исходов ровно

Если сумма очков в двух бросках равна 7, а результат каждого броска — число из множества то результатов с суммой 7 всего четыре:

Тогда вероятность того, что выпадет один из них, равна

Составим все возможные комбинации и сразу выделим подходящие:
2+1+5, 2+2+4, , 2+4+2, 2+5+1 — 5 вариантов;
3+1+4, 3+2+3, , 3+4+1 — 4 варианта;
4+1+3, 4+2+2, — 3 варианта;
5+1+2, 5+2+1 — 2 варианта;
6+1+1 — 1 вариант.
Таким образом вероятность равна

Пусть всего в городе людей. Тогда — девушки, — парни.
Тогда подростков–девушек , а просто подростков —
Тогда парней–подростков
Если всего парней то вероятность, что случайный парень является подростком равна

Найдём вероятность, что тетрадь в мелкую клетку вынута второй.
Первой была вынута тетрадь в линеечку или крупную клетку. Нам подходят тетрадей из 20. Второй была вынута тетрадь в мелкую клетку. Нам подходят 4 тетради из оставшихся 19. Тогда вероятность равна

Аналогично посчитаем вероятность, что нужная нам тетрадь была вынута третьей:

Тогда итоговая вероятность равна:

Заметим, что в первом раунде возможны только следующие варианты противостояния:

Рассмотрим каждый вариант по отдельности.

1. По условию Паша точно знает, что выберет Маша, значит, он точно выиграет в раунде с ней.

2. По условию Маша точно знает, что выберет Миша, значит, она точно выиграет в раунде с ним.

3. И Миша, и Паша — мальчики, следовательно, в раунде с участием этих ребят в любом случае победит мальчик.

Таким образом (помним, что раз за выбор противников в первом раунде отвечает жеребьёвка, то у каждого варианта противостояния из трёх равные шансы быть осуществлённым в первом раунде):

Посчитаем все случаи, кроме тех, в которых хотя бы единожды выпало 6 очков. Таких случаев поскольку в каждом из двух бросков могло выпасть одно из пяти чисел

Посчитаем теперь случаи, когда сумма очков равна 10, причем ни в одном из бросков не выпало 6 очков. Такой случай ровно один:

Тогда искомая вероятноcть равна

Составим все возможные комбинации и сразу выделим подходящие:

2+1+3, 2+3+1 — 3 варианта;

3+1+2, — 2 варианта;

4+1+1 — 1 вариант.

Таким образом, искомая вероятность равна

После деления в столбик и округления до сотых получим 0,33.