Тема 16. Сложные задачи прикладного характера

16.04 Банковский кредит: дифференцированный платеж

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сложные задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1701

10 лет назад Григорий брал в банке кредит на 4 года, причем Григорий помнит, что выплачивал он кредит дифференцированными платежами и переплата по кредиту составила 32,5% от кредита. Под какой годовой процент был взят тогда кредит?

Показать ответ и решение

Обозначим за $y$ годовой процент по кредиту, а за $A$ руб. — сумму кредита. Составим таблицу, отслеживающую остаток долга:

|----|------------|----------------|---------------|----------| |Год | Д олг до | Долг после | Сум ма |Долг после | |----|начисления-%-|--начисления-%---|---платежа-----|-платежа--| | | | | | | |1 | A | A + y--⋅A | -y-⋅A + 1 ⋅A | 3⋅A | --------------------------100---------100-----4---------4------| | | | | | | |2 | 3⋅A | 3⋅A + y--⋅ 3⋅A |-y-⋅ 3 ⋅A+ 1 ⋅A| 2⋅A | | | 4 | 4 100 4 |100 4 4 | 4 | |----|------------|----------------|---------------|----------| | | 2 | 2 y 2 | y 2 1 | 1 | |3 | 4 ⋅A | 4 ⋅A + 100-⋅4 ⋅A|100 ⋅4 ⋅A+ 4 ⋅A| 4 A | |----|------------|----------------|---------------|----------| | | | | | | |4 | 1⋅A | 1⋅A + y--⋅ 1⋅A |-y-⋅ 1 ⋅A+ 1 ⋅A| 0 | | | 4 | 4 100 4 |100 4 4 | | --------------------------------------------------------------

Переплата по кредиту составит

y y 3 y 2 R = 100 ⋅A + 100 ⋅4 ⋅A + 100-⋅4 ⋅A+ y 1 y 5 yA + 100 ⋅4 ⋅A = 100-⋅A ⋅2 =-40

Так как переплата в итоге составила 32,5% от суммы кредита, то

yA--=0,325A ⇒ y = 13 40

Ответ:

$13$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1934

Для покупки стиральной машины хозяйка Мария Александровна взяла кредит в банке сроком на 5 месяцев под 12% с учетом того, что выплачивать кредит она будет раз в месяц после начисления процентов дифференцированными платежами. На сколько рублей больше в таком случае заплатит за стиральную машину хозяйка, если в магазине стиральная машина продается за 35000 рублей?

Показать ответ и решение

Так как кредит взят на 5 месяцев и выплачиваться будет дифференцированными платежами, то долг каждый месяц после платежа уменьшается на $1 5$ часть.

Составим таблицу, ведя все вычисления в тыс. рублей:

|------|-----------------|----------------|----------| |М есяц | наДчоилсгл пеонсиляе % | пСлуамтмежаа |Д опллгат пеожсале |------|-----------------|----------------|----------| | | | 1 | 4 | |1 | 35+ 0,12 ⋅35 | 0,12⋅35+ 5 ⋅35 | 5 ⋅35 | |------|-----------------|----------------|----------| | | 4 4 | 4 1 | 3 | |2 | 5 ⋅35+ 0,12 ⋅5 ⋅35|0,12 ⋅5 ⋅35+ 5 ⋅35 5 ⋅35 | |------|-----------------|----------------|----------| | | | | | |3 | 3⋅35+ 0,12 ⋅ 3⋅35|0,12 ⋅ 3⋅35+ 1 ⋅35 2 ⋅35 | | | 5 5 | 5 5 | 5 | |------|-----------------|----------------|----------| | | 2 2 | 2 1 | 1 | |4 | 5 ⋅35+ 0,12 ⋅5 ⋅35|0,12 ⋅5 ⋅35+ 5 ⋅35 5 ⋅35 | |------|-----------------|----------------|----------| | | 1 1 | 1 1 | | |5 | 5 ⋅35+ 0,12 ⋅5 ⋅35|0,12 ⋅5 ⋅35+ 5 ⋅35 0 | ------------------------------------------------------

Сумма всех платежей и есть сумма, которую выплатит хозяйка банку за время кредитования. Таким образом, если из этой суммы вычесть сумму кредита, то мы найдем, сколько составила переплата $R$ по кредиту в тыс. рублей:

( ) ( ) R = 0,12⋅35+ 1 ⋅35 + 0,12 ⋅ 4⋅35+ 1 ⋅35 + 5 5 5 ( 3 1 ) ( 2 1 ) + 0,12 ⋅5 ⋅35+ 5 ⋅35 + 0,12⋅5 ⋅35 + 5 ⋅35 + ( 1 1 ) + 0,12⋅5 ⋅35+ 5 ⋅35 − 35= ( 4 3 2 1) = 0,12 ⋅35 ⋅ 1+ 5 + 5 + 5 + 5 =0,12⋅35⋅3= 12,6

Таким образом, переплата составила 12 600 рублей.

Ответ: 12 600 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1936

Каков процент годовых в банке по кредиту, который выдается на 7 лет, если сумма, выплаченная банку за все годы кредитования, составляет 144% от суммы кредита? При этом погашение кредита происходит раз в год после начисления процентов платежами, уменьшающими долг равномерно.

Показать ответ и решение

Фраза «погашение кредита происходит платежами, уменьшающими долг равномерно» означает, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами.

Пусть кредит выдается на сумму $A$ рублей. Если $y%$ — процентная ставка в банке, то в первый год после начисления процентов долг увеличится на величину в рублях, равную

-y-⋅A = 0,01y⋅A 100

Тогда во второй год после начисления процентов долг увеличится на величину в рублях, равную

-y- 6 6 100 ⋅7 ⋅A = 0,01y⋅ 7 ⋅A

Далее аналогично. Составим таблицу:


Год	Долг после	Сумма	Долг после
	начисления %	платежа	платежа

1	$A + 0,01y⋅A$	$1 0,01y⋅A + 7 ⋅A$	$6 7 ⋅A$

2	$6⋅A + 0,01y⋅ 6⋅A 7 7$	$0,01y⋅ 6 ⋅A + 1⋅A 7 7$	$5⋅A 7$

3	$5⋅A + 0,01y⋅ 5⋅A 7 7$	$0,01y⋅ 5 ⋅A + 1⋅A 7 7$	$4⋅A 7$

4	$4⋅A + 0,01y⋅ 4⋅A 7 7$	$0,01y⋅ 4 ⋅A + 1⋅A 7 7$	$3⋅A 7$

5	$37 ⋅A + 0,01y⋅ 37 ⋅A$	$0,01y⋅ 37 ⋅A + 17 ⋅A$	$27 ⋅A$

6	$27 ⋅A + 0,01y⋅ 27 ⋅A$	$0,01y⋅ 27 ⋅A + 17 ⋅A$	$17 ⋅A$

7	$17 ⋅A + 0,01y⋅ 17 ⋅A$	$0,01y⋅ 17 ⋅A + 17 ⋅A$	0

Сумма, выплаченная по этому кредиту за все годы кредитования, равна сумме всех платежей:

( ) S = 0,01y ⋅A 1+ 6+ 5 + 4+ 3 + 2+ 1 + 7⋅ 1 ⋅A= 7 7 7 7 7 7 7 = 0,04y ⋅A+ A = A ⋅(1+ 0,04y)

Так как эта сумма составляет 144% от суммы кредита, то

S = 1,44A ⇒ 1+ 0,04y =1,44 ⇔ y% = 11%

Ответ: 11%

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1937

В феврале 2015 года Аркадий Петрович взял кредит в банке под 13% годовых. Выплатить кредит он должен восемью платежами, вносимыми на счет раз в год после начисления процентов на оставшуюся сумму долга. Долг при этом должен уменьшаться каждый год равномерно.

Сколько рублей составит переплата по кредиту, если наибольший платеж на 91000 рублей больше наименьшего платежа?

Показать ответ и решение

Фраза «долг при этом должен уменьшаться каждый год равномерно» означает, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами.

Пусть Аркадий Петрович взял в банке $A$ рублей. Так как кредит должен быть выплачен восемью платежами, то он взят на 8 лет. Составим таблицу.

|----|---------------|---------------|----------| |Год | Д олг после | С умма |Д олг после |----|-начисления %--|----платеж-а----|-платежа--| |1 | A + 0,13⋅A | 0,13⋅A + 18 ⋅A | 78 ⋅A | |----|7----------7---|-----7-----1---|---6------| |2---|8 ⋅A-+-0,13⋅-8 ⋅A|0,13⋅8 ⋅A-+-8 ⋅A--8-⋅A----| |3 |6⋅A + 0,13⋅ 6⋅A |0,13⋅ 6⋅A + 1⋅A| 5 ⋅A | |----|85----------85---|-----85-----81---|---84------| |4---|8 ⋅A-+-0,13⋅-8 ⋅A|0,13⋅8 ⋅A-+-8 ⋅A--8-⋅A----| |5 |4⋅A + 0,13⋅ 4⋅A |0,13⋅ 4⋅A + 1⋅A| 3 ⋅A | |----|83----------83---|-----83-----81---|---82------| |6---|8 ⋅A-+-0,13⋅-8 ⋅A|0,13⋅8 ⋅A-+-8 ⋅A--8-⋅A----| |7 |2⋅A + 0,13⋅ 2⋅A |0,13⋅ 2⋅A + 1⋅A| 1 ⋅A | |----|8----------8---|-----8-----8---|---8------| -8----18 ⋅A-+-0,13⋅-18 ⋅A-0,13⋅ 18 ⋅A-+-18 ⋅A--0------

Заметим, что все платежи состоят из двух частей. Вторая часть одинакова для всех платежей и равна $1 8 ⋅A$ рублей. Первая часть меняется, причем в первом платеже первая часть — наибольшая, а в последнем — наименьшая. Значит, первый платеж — наибольший, а последний — наименьший. Таким образом, получаем следующее уравнение:

( ) ( ) 0,13 ⋅A+ 1 ⋅A − 0,13 ⋅ 1⋅A + 1⋅A = 91000 8 8 8 ( 1) 0,13⋅A 1− 8 = 91000 ⇔ A = 800000

Тогда переплата по кредиту равна сумме всех платежей за вычетом суммы кредита:

( 7 6 5 4 3 2 1) R =0,13⋅A ⋅ 1+ 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 468000

Ответ: 468 000 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2414

Банк выдает кредит на следующих условиях:

— раз в год банк начисляет на текущий долг некоторый процент годовых;

— раз в год после начисления процентов клиент обязан внести платеж в счет погашения кредита, причем платежи вносятся таким образом, чтобы сумма долга уменьшалась каждый год на одну и ту же величину;

— отношение наибольшего платежа к наименьшему платежу равно $17:9.$

Сколько процентов составит переплата от кредита, если взять такой кредит на 9 лет?

Показать ответ и решение

Из условия следует, что кредит должен выплачиваться дифференцированными платежами.
Пусть в банке взято $A$ рублей в кредит. Если $r%$ – процентная ставка в банке, то обозначим величину $0,01r = p$ . Тогда можно составить таблицу:

|----|----------------------|-------------------------|----------| Год Д олг до начисления проц. Д олг после начисления проц. П лате&#x0436 |2---|----------8A----------|--------8A+-p⋅-8A--------|p⋅ 8A-+91A| |...--|----------9...----------|--------9--...--9---------|--9-...-9--| |9---|----------1A----------|--------1A+-p⋅-1A--------|p⋅ 1A-+-1A| ----------------9--------------------9------9------------9----9--

Так как система выплат дифференцированная, то наибольший платеж – первый, а наименьший – последний. Следовательно,

pA+ 19A 17 1 p⋅ 1A-+-1A-= 9- ⇔ p= 8 9 9

Тогда переплата по кредиту равна

8 7 1 ( 8 7 1) pA+ p⋅ 9A+ p⋅ 9A+ ⋅⋅⋅+p ⋅9A = p⋅A⋅ 1+ 9 + 9 + ⋅⋅⋅+ 9 = 5pA

Следовательно, переплата составила от кредита

5pA-⋅100% = 500p% = 62,5%. A

Ответ: 62,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#17309

Семья взяла в банке ипотечный кредит под 10% годовых на 8 лет. Условия погашения кредита следующие: по истечении каждого года заемщик погашает банку начисленные проценты за год и $1 8$ часть основной суммы. Какую сумму семья взяла в банке, если последний платеж, которым она полностью погасила кредит, составил 605 тысяч рублей? Ответ дайте в миллионах рублей.

Показать ответ и решение

Из условия можно сделать вывод, что система платежей по кредиту дифференцированная.

Пусть в ипотеку было взято $A$ тыс. рублей. Составим таблицу:

|----|-------------------|----------------------|------------| |Год-|Долг-до начисления-%|Д-олг после начисления-%--П-латеж----| |1---|--------A----------|-------A-+-0,1A--------|-0,1A+-18A---| |2 | 78A | 78A+ 0,1 ⋅ 78A |0,1⋅ 78A + 18A | |...-|--------...--------|----------...----------|----...-----| |----|--------1----------|------1-------1-------|----1----1--| -8------------8A----------------8A+-0,1-⋅8A-------0,1⋅8A-+-8A--|

Таким образом, последний платеж равен

1 1 8A +0,1⋅8A = 605 A = 4400

Следовательно, в кредит было взято 4400 тыс. рублей, что равно 4,4 млн рублей.

Ответ: 4,4 млн рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#380

В январе $2009$ года Иван взял кредит на некоторую сумму рублей под $2 10 -% 3$ годовых. Кредит он должен выплачивать в течение $11$ лет так, чтобы сумма долга каждый год уменьшалась на одну и ту же величину. Какую сумму составила переплата по кредиту, если выплата по кредиту в $2016$ году составит $171200$ рублей? Выплаты производятся раз в год $31$ декабря, начиная с $2009$ года.

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив за $A$ руб. сумму кредита:

|----------|---------------|-------------------|----------------------| |Год | Д олг в руб. | Д ол г в ру б. |Е ж егодная вы пл ата | | |до начисл ения |п осле начи сления | в р уб. | | | | | | |----------|--проц-ентов---|----пр-оценто-в----|----------------------| | | | | | |1(2009 ) | A | A + -32-A | 1-A + 32--⋅ A | | | | 300 | 11 300 | |----------|---------------|-------------------|----------------------| | | | | | | | 10 | 10 32 10 | 1 32 10 | |2(2010 ) | --A | ---A + ----⋅ --A | ---A + ----⋅--A | | | 11 | 11 300 11 | 11 300 11 | |----------|---------------|-------------------|----------------------| | | | | | |... | ... | ... | ... | ----------------------------------------------------------------------| | | | | | | | 4 | 4 32 4 | 1 32 4 | |8(2016 ) | --A | ---A + ----⋅ --A | ---A + ----⋅--A | | | 11 | 11 300 11 | 11 300 11 | |----------|---------------|-------------------|----------------------| | | | | | |... | ... | ... | ... | | | | | | |----------|---------------|-------------------|----------------------| | | 1 | 1 32 1 | 1 32 1 | |11(2019 ) | --A | ---A + ----⋅ --A | ---A + ----⋅--A | | | 11 | 11 300 11 | 11 300 11 | ----------------------------------------------------------------------|

В таком случае, исходя из условия задачи, имеем уравнение:

$-1- 32-- -4- 11 A + 300 ⋅11 A = 171200$ , откуда находим, что $A = 1320000$ руб.

Найдем переплату:

$( ) -32- 32-- 10- 32-- -1- 32-- 10- 9-- 1-- 300 A + 300 ⋅11 A + ⋅⋅⋅ + 300 ⋅11 A = 300A ⋅ 1 + 11 + 11 + ⋅⋅⋅ + 11 = 0,64A = 844800$

Ответ:

$844800$ рублей.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#640

Павлу банком был предложен кредит на следующих условиях:

— сумма кредита не должна превышать 150 000 рублей;

— раз в месяц банк начисляет на остаток долга 22%;

— после начисления процентов Павел вносит в банк некоторый платеж, причем весь кредит должен быть выплачен тремя платежами так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно.

Помогите посчитать Павлу, сколько процентов от первоначального долга составит переплата по данному кредиту?

Показать ответ и решение

Т.к. долг должен уменьшаться равномерно, то схема выплаты кредита — дифференцированные платежи. Т.к. платежей должно быть 3, значит, кредит дается на 3 месяца, следовательно, долг каждый месяц должен уменьшаться на $1 3$ часть. Составим таблицу, обозначив за $A$ — сумму кредита:


Месяц	Долг до	Долг после	Сумма	Долг после
	начисления %	начисления %	платежа	платежа

1	$A$	$A + 0,22⋅A$	$0,22 ⋅A+ 13 ⋅A$	$23 ⋅A$

2	$2 3 ⋅A$	$2 2 3 ⋅A + 0,22⋅3 ⋅A$	$2 1 0,22⋅ 3 ⋅A +3 ⋅A$	$1 3 ⋅A$

3	$1 3 ⋅A$	$1 1 3 ⋅A + 0,22⋅3 ⋅A$	$1 1 0,22⋅ 3 ⋅A +3 ⋅A$	0

Таким образом, переплата по кредиту составит:

( ) 0,22⋅A + 1⋅A + 0,22 ⋅ 2⋅A + 1⋅A + 0,22 ⋅ 1⋅A + 1⋅A − A = 3 3 ( 3 ) 3 3 2 1 = 0,22⋅A ⋅ 1 + 3 + 3 = 0,44A

Следовательно, процент, который составит переплата относительно первоначального долга, равен

0,44A ⋅100% = 44% A

Заметим, что информация о том, что сумма кредита не должна превышать 150 000 рублей, на самом деле не нужна для того, чтобы ответить на вопрос задачи.

Ответ: 44%

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#641

Одну и ту же сумму в кредит можно получить в банке “Берикредит” на 5 лет под $x%$ годовых, а в банке “Вдолгдам” — на 4 года под $y%$ годовых, причем выплачиваться кредит в обоих банках должен дифференцированными платежами. Известно, что банк “Берикредит” предлагает более выгодные условия, нежели банк “Вдолгдам”, причем выгода эта составляет $2x%$ от суммы кредита. Найдите отношение $x : y$ .

Показать ответ и решение

Пусть сумма, которую в кредит предлагают оба банка, равна $A$ .

Составим таблицу для банка “Берикредит”:

--------------------------------------------------------------- |Год | Д ол г по сле | Сум ма |Д олг после | | | | | | |----|---нач-исления-%-----|------платеж-а-------|-п-латеж-а--| | | | | | |1 | A + 0,01x ⋅ A | 0,01x ⋅ A + 1⋅ A | 4-⋅ A | | | | 5 | 5 | |----|---------------------|---------------------|------------| | | | | | | |4 4 | 4 1 | 3 | |2 |--⋅ A + 0,01x ⋅--⋅ A |0,01x ⋅ -⋅ A + --⋅ A | --⋅ A | | |5 5 | 5 5 | 5 | |----|---------------------|---------------------|------------| | | | | | |3 |3-⋅ A + 0,01x ⋅ 3-⋅ A|0,01x ⋅ 3⋅ A + 1-⋅ A | 2-⋅ A | | |5 5 | 5 5 | 5 | |----|---------------------|---------------------|------------| | | | | | | |2 2 | 2 1 | 1 | |4 |--⋅ A + 0,01x ⋅--⋅ A |0,01x ⋅ -⋅ A + --⋅ A | --⋅ A | | |5 5 | 5 5 | 5 | |----|---------------------|---------------------|------------| | | | | | |5 |1-⋅ A + 0,01x ⋅ 1-⋅ A|0,01x ⋅ 1⋅ A + 1-⋅ A | 0 | | |5 5 | 5 5 | | ---------------------------------------------------------------

Таким образом, переплата (сумма всех платежей за вычетом суммы кредита) в этом банке равна

( 4 3 2 1) Rx = 0,01x ⋅ A ⋅ 1 + --+ --+ --+ -- = 0,03x ⋅ A 5 5 5 5

Аналогично составляя таблицу для банка “Вдолгдам”, найдем переплату в этом банке:

( ) 3- 2- 1- Ry = 0,01y ⋅ A ⋅ 1 + 4 + 4 + 4 = 0,025y ⋅ A

Т.к. банк “Берикредит” предлагает более выгодные условия, то переплата в этом банке должна быть меньше, чем переплата в банке “Вдолгдам”, то есть $R < R x y$ . Значит, $R − R y x$ – и есть выгода. Т.к. выгода составляет $2x%$ от суммы кредита, то:

$Ry-−-Rx--⋅ 100% = 2x% ⇒ A-⋅ (0,025y-−-0,03x-) ⋅ 100-= 2x ⇔ A A$

$⇔ 2, 5y − 3x = 2x ⇔ x : y = 1 : 2$

Ответ:

$1 : 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#642

Под какое наибольшее количество процентов годовых должен быть выдан кредит в банке сроком на 7 лет, чтобы переплата по такому кредиту составляла не более $56%$ от суммы кредита, а погашение кредита происходило ежегодными платежами так, чтобы долг каждый год уменьшался равномерно?

Показать ответ и решение

Заметим, что фраза “долг уменьшался равномерно” означает, что выплаты происходят с помощью дифференцированных платежей.

Пусть в кредит было взято $A$ рублей. Пусть также $y%$ – годовая ставка в банке. Тогда в первый год после начисления процентов долг увеличится на $-y- 100 ⋅ A = 0, 01y ⋅ A$ рублей, во второй — на $-y- 6 6 100 ⋅7 ⋅ A = 0, 01y ⋅ 7 ⋅ A$ рублей и т.д. Составим таблицу:

|-----|-----------------------|------------------------|--------------| |Год | Д о лг п осл е | С ум ма |Д ол г по сле | | | | | | |-----|---нач-исл-ени-я-%-----|-------пл-атеж-а--------|--пл-атеж-а---| |1 | A + 0, 01y ⋅ A | 0, 01y ⋅ A + 1 ⋅ A | 6 ⋅ A | |-----|-----------------------|----------------7-------|----7---------| |2 |6 ⋅ A + 0, 01y ⋅ 6 ⋅ A|0, 01y ⋅ 6 ⋅ A + 1 ⋅ A | 5 ⋅ A | |-----|7----------------7-----|---------7--------7-----|----7---------| |3 |57 ⋅ A + 0, 01y ⋅ 57 ⋅ A|0, 01y ⋅ 57 ⋅ A + 17 ⋅ A | 47 ⋅ A | |-----|4----------------4-----|---------4--------1-----|----3---------| |4 |7 ⋅ A + 0, 01y ⋅7 ⋅ A |0, 01y ⋅7 ⋅ A + 7 ⋅ A | 7 ⋅ A | |-----|3----------------3-----|---------3--------1-----|----2---------| |5----|7-⋅ A-+-0,-01y--⋅7-⋅ A-|0,-01y--⋅7-⋅ A-+--7-⋅ A-|----7-⋅ A-----| |6 |2 ⋅ A + 0, 01y ⋅ 2 ⋅ A|0, 01y ⋅ 2 ⋅ A + 1 ⋅ A | 1 ⋅ A | |-----|7----------------7-----|---------7--------7-----|----7---------| |7 |1 ⋅ A + 0, 01y ⋅ 1 ⋅ A|0, 01y ⋅ 1 ⋅ A + 1 ⋅ A | 0 | -------7----------------7---------------7--------7---------------------

Таким образом, переплата (сумма всех платежей за вычетом суммы кредита) по кредиту составила

( ) 6- 5- 4- 3- 2- 1- R = 0,01y ⋅ A ⋅ 1 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 0,04y ⋅ A

Т.к. переплата не должна превышать $56%$ от суммы кредита, то $R ≤ 0,56A$ . Таким образом, имеем следующее неравенство:

0,04y ⋅ A ≤ 0,56A ⇔ y ≤ 14

Таким образом, наибольшая годовая ставка — это $y = 14%$ .

Ответ:

$14%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#643

Банк выдает кредит на 9 месяцев под $14%$ , причем выплачивать кредит нужно ежемесячными платежами так, чтобы сумма долга уменьшалась каждый месяц на одну и ту же величину.

Какое наибольшее кратное $1000$ число рублей можно взять в банке в кредит, чтобы переплата не превысила $150000$ рублей?

Показать ответ и решение

Фраза “сумма долга уменьшалась каждый месяц на одну и ту же величину” означает, что долг будет выплачиваться дифференцированными платежами.

Составим таблицу, приняв за $A$ тыс. рублей – сумму, выданную в кредит.

|--------|-------------------------|-----------------------|------------------------| |М еся ц | Д олг в ты с. ру бле й | С ум ма пла теж а |Д ол г в ты с. ру бл ей | | |п осл е нач исл ен ия % | в ты с. р убл ей | пос ле п лат еж а | |--------|-------------------------|-----------------------|------------------------| |1 | A + 0, 14 ⋅ A | 0, 14 ⋅ A + 19 ⋅ A | 89 ⋅ A | |--------|--8---------------8------|--------8--------1-----|---------7--------------| |2 | 9 ⋅ A + 0, 14 ⋅ 9 ⋅ A |0, 14 ⋅ 9 ⋅ A + 9 ⋅ A | 9 ⋅ A | |--------|--7---------------7------|--------7--------1-----|---------6--------------| |3-------|--9-⋅ A-+-0,-14-⋅-9-⋅ A--|0,-14-⋅-9-⋅ A-+--9 ⋅-A-|---------9-⋅ A----------| |4 | 6 ⋅ A + 0, 14 ⋅ 6 ⋅ A |0, 14 ⋅ 6 ⋅ A + 1⋅ A | 5 ⋅ A | |--------|--9---------------9------|--------9--------9-----|---------9--------------| |5 | 5 ⋅ A + 0, 14 ⋅ 5 ⋅ A |0, 14 ⋅ 5 ⋅ A + 1⋅ A | 4 ⋅ A | |--------|--94---------------94------|--------94--------91-----|---------93--------------| |6 | 9 ⋅ A + 0, 14 ⋅ 9 ⋅ A |0, 14 ⋅ 9 ⋅ A + 9 ⋅ A | 9 ⋅ A | |--------|--3---------------3------|--------3--------1-----|---------2--------------| |7-------|--9-⋅ A-+-0,-14-⋅-9-⋅ A--|0,-14-⋅-9-⋅ A-+--9 ⋅-A-|---------9-⋅ A----------| | | 2 2 | 2 1 | 1 | |8-------|--9-⋅ A-+-0,-14-⋅-9-⋅ A--|0,-14-⋅-9-⋅ A-+--9 ⋅-A-|---------9-⋅ A----------| |9 | 1 ⋅ A + 0, 14 ⋅ 1 ⋅ A |0, 14 ⋅ 1 ⋅ A + 1⋅ A | 0 | ------------9---------------9---------------9--------9-------------------------------

Общая сумма выплат по кредиту равна

$( ) 8- 7- 6- 5- 4- 3- 2- 1- 1- 0,14 ⋅ A ⋅ 1 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 ⋅ 9 ⋅ A = 0,14 ⋅ A ⋅ 5 + A$ (тыс.рублей).

Тогда переплата по кредиту равна $(0,14 ⋅ A ⋅ 5 + A ) − A$ . Т.к. переплата не должна превышать $150$ тыс. рублей, то имеем следующее неравенство

2 0, 14 ⋅ A ⋅ 5 ≤ 150 ⇔ A ≤ 214 -- тыс. рубл ей. 7

Т.к. сумма кредита в рублях должна быть кратна $1000$ , то сумма кредита в тыс. рублей должна быть целым числом. Следовательно, наибольшее целое $A = 214$ тыс. рублей или $214000$ рублей.

Ответ:

$214000$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#975

Найдите наименьший годовой процент, под который банку необходимо выдавать кредит сроком на 4 года, чтобы переплата по такому кредиту составила не менее 30% от суммы кредита, а выплачивался кредит ежегодными платежами, уменьшающими долг каждый год на одну и ту же величину.

Показать ответ и решение

Фраза “выплачивался кредит ежегодными платежами, уменьшающими долг каждый год на одну и ту же величину” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами. Следовательно, каждый год после платежа долг становился меньше на одну и ту же величину, равную $14$ (так как 4 года) части от суммы, взятой в кредит.

Пусть $A$ – сумма, взятая в кредит, $y%$ – годовой процент в банке. Тогда обозначим величину $0,01y = p$ (десятичный процент). Составим таблицу:

|Год-|Долг-до начисления-%|Д-олг после начисления-%--Платеж--| -1-------------A-----------------A-+-p⋅A----------p⋅A-+-14A-- |2---|--------34A---------|------34A-+-p⋅ 34A------|p⋅-34A+-14A-| |3---|--------24A---------|------24A-+-p⋅ 24A------|p⋅-24A+-14A-| -4------------14A----------------14A-+-p⋅ 14A-------p⋅-14A+-14A--

Таким образом, общая сумма выплат по кредиту равна

( ) p ⋅A+ 1A + p⋅ 3A + 1A + p⋅ 2A + 1A +p ⋅ 1A + 1A =pA ⋅ 1+ 3 + 2+ 1 + A 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

Значит, переплата $P er$ равна

( ) Per = pA⋅ 1+ 3+ 2 + 1 = 5pA 4 4 4 2

Необходимо, чтобы переплата составила не менее $30%$ от суммы кредита, то есть

Per ≥ 0,3A ⇒ 5pA ≥ 0,3A ⇔ p≥ -6 ⇒ y ≥ 12. 2 50

Таким образом, наименьший годовой процент равен $12%$ .

Ответ: 12%

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#976

Банк выдал кредит на сумму $666666$ рублей под $12,5%$ годовых на некоторое число $n$ лет. Известно, что кредит выплачивался ежегодными платежами, уменьшающими долг каждый год равномерно. Найдите наибольшее возможное $n$ , если известно, что наибольший платеж по кредиту точно превысил $150000$ рублей.

Показать ответ и решение

Фраза “кредит выплачивался ежегодными платежами, уменьшающими долг каждый год равномерно” означает, что долг выплачивался дифференцированными платежами. Значит, наибольший платеж по кредиту – это первый платеж. Действительно, если кредит взят на $A$ рублей сроком на $n$ лет под $12,5%$ годовых, то каждый год после платежа долг должен уменьшаться на $1 nA$ по сравнению с долгом до начисления процентов (определение дифференцированного платежа): после первого платежа он станет равен $A − 1nA = n−n1A$ , после второго – $n−n2A$ и т.д. Это значит, что каждый платеж состоит из двух частей: первая часть состоит из процентов, начисленных на долг в текущем году, а вторая часть всегда одинакова (это $1 A n$ ). А так как долг с каждым годом становится меньше, то первая часть платежа также становится меньше, соответственно, и платежи становятся меньше.

В первый год долг равен $666666$ , то есть первый платеж равен

-1 x1 = n ⋅ 666666 + 0,125 ⋅ 666666

Так как наибольший платеж превысил $150000$ рублей, то получаем неравенство

$( 1 1) 1n ⋅ 666666 + 0,125 ⋅ 666666 > 150000 ⇔ 666666 ⋅ --+ -- > 150000 ⇔ n 8$

$⇔ 1-> -88889- ⇒ n < 888888- = 888890-−--2 = 10 − ---2-- n 888888 88889 88889 88889$

Таким образом, наибольшее целое $n$ (целое, так как это количество лет) равно $n = 9$ .

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#977

Банк выдал кредит на $1$ млн. рублей под $7%$ годовых сроком на 15 лет. Через сколько полных лет после выдачи кредита банк вернет себе свой миллион, если выплаты производятся раз в год дифференцированными платежами?

Показать ответ и решение

Так как кредит выплачивается дифференцированными платежами, то каждый год после выплаты основной долг уменьшается на $115$ (так как 15 лет) часть от кредита, равного 1 млн. рублей. Следовательно, на начало второго года долг будет равен $14 15$ млн. рублей, на начало третьего будет равен $13 15$ млн. рублей и т.д.

Составим таблицу, ведя вычисления в млн. рублей:

|-----|------------------------|---------------------------|--------------------| |Год--|До-лг-до-начисл-ения-%--|Д-олг-после-нач-ислени-я-%-|------Пл-атеж-------| |1 | 1 | 1 + 0,07 ⋅ 1 | 0,07 ⋅ 1 +-1 ⋅ 1 | |2----|-----------14------------|-------14+--0,07 ⋅-14------|---0,07-⋅ 14-1+5-1---| |-----|-----------1513------------|-------1153---------1153-------|---------1153---151----| |3----|-----------15------------|-------15 +-0,07 ⋅-15------|---0,07-⋅15-+-15----| |4----|-----------1215------------|-------1125 +-0,07 ⋅-1125------|---0,07-⋅ 1125-+-115---| |... | ... | ... | ... | |-----|--------15−-(k−1)---------|-15−(k−1)---------15−-(k−1)--|-------15−-(k−1)---1--| |k----|-----------15------------|----15---+--0,07 ⋅---15-----|0,-07 ⋅--15---+--15-| |...---|----------...-----------|------------...------------|---------...---------| |14---|-----------215------------|-------215 +-0,07 ⋅-215------|---0,07-⋅125-+-115----| |15 | 1- | 1-+ 0,07 ⋅ 1 | 0,07 ⋅-1 + -1 | ------------------15--------------------15---------15-----------------15---15----

1 способ.

Тогда банк вернет себе свой миллион тогда, когда впервые сумма выплат станет больше 1 млн рублей. Следовательно, необходимо просуммировать все выплаты с 1-ого по $k$ -ый годы, и тот наименьший $k$ , для которого эта сумма превысит 1 миллион, и будет ответом на вопрос задачи.

( ) ( ) ( ) ( ) 0, 07 ⋅ 1 + 1-⋅ 1 + 0,07 ⋅ 14-+ 1-- + ⋅⋅⋅ + 0,07 ⋅ 15-−-(k-−-2) +-1- + 0,07 ⋅ 15-−-(k −-1) +-1- > 1 ⇔ 15 15 15 15 15 15 15 ( ) 14 15 − (k − 2) 15 − (k − 1) 1 ⇔ 0, 07 ⋅ 1 + ---+ ⋅⋅⋅ + ------------ + ------------ + ---⋅ k > 1 ⇔ 15 15 15 15 ( ) ⇔ 0, 07 ⋅ 15-+ 15-−-1-+ ⋅⋅⋅ + 15 −-(k-−-2-)+ 15 −-(k −-1) + 1-⋅ k > 1 ⇔ 15 15 15 15 15 15 ⋅ k − (1 + 2 + ⋅⋅⋅ + (k − 2) + (k − 1)) k ⇔ 0, 07 ⋅----------------------------------------+ ---> 1 ⇔ 15 15 k(k−1) 15k-−---2--- k-- ⇔ 0, 07 ⋅ 15 + 15 > 1 ⇔ ⇔ 7k2 − 417k + 3000 < 0 ⇔ ( √ ---- √ ---) 417-−--19--249 417 +-19--249- ⇔ k ∈ 14 ; 14

Заметим, что $√---- 417-−-19--249- 14 > 0$ , следовательно, необходимо оценить данное число с точностью до целого.

√ ---- 15 < 249 < 16 √ ---- − 304 < − 19 ⋅ 249 < − 285 1 113 417 − 19√249-- 132 3 8---= ----< --------------< ----= 9 -- 14 14 14 14 7

Таким образом, наименьшее подходящее $k$ – это либо $9$ (если $417−19√249 ---14-----∼ 8,...$ ), либо $10$ (если $√--- 417−19-249∼ 9,... 14$ ). Подставив в выражение $7k2 − 417k + 3000$ $k = 9$ , получим $− 186$ . Так как неравенство было как раз “ $< 0$ ”, то подходит $k = 9$ .

Следовательно, через 9 лет банк вернет себе миллион.

2 способ.

Учитывая рассуждения из 1 способа, будем вычислять последовательно сумму выплат за первый год, за первый и второй, за первый, второй и третий и т.д., пока не получится число больше 1 млн. рублей.

За 1 год: $1 7 1 41 0, 07 ⋅ 1 +---⋅ 1 =----+ ---= ---- < 1 15 100 15 300$ .

За 1 и 2 годы: $41 14 1 403 ----+ 0, 07 ⋅---+ ---= -----< 1 300 15 15 1500$ .

За 1, 2 и 3 годы: $403 13 1 594 -----+ 0,07 ⋅---+ ---= ----- < 1 1500 15 15 1500$ .

$...$

За 1-8 годы: $1444- 1500 < 1$ .

За 1-9 годы: $1593 -----> 1 1500$ .

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#978

Под какой процент следует взять кредит в банке I, выдаваемый на 5 лет, чтобы переплата по такому кредиту была такой же, как в банке II, выдающему тот же кредит на 17 лет под $10%$ годовых, если выплачиваются оба кредита дифференцированными платежами?

Показать ответ и решение

Так как система выплат дифференцированная, то переплата по кредиту равна сумме “набежавших” на долг процентов на начало каждого года.

1) Банк II предлагает кредит на 17 лет, следовательно, каждый год после платежа основной долг уменьшается на $1- 17$ часть. То есть если в начале 1-ого года долг равен $A$ , то в начале 2-ого — $A − 117A = 1167A$ , в начале 3-его — $1157A$ , в начале 4-ого — $1147A$ и т.д. Значит, “набежавшие” проценты в 1-ый год — это $0,1 ⋅ A$ , во 2-ой год — это $0,1 ⋅ 16A 17$ , в 3-ий — это $0,1 ⋅ 15A 17$ и т.д. Следовательно, переплата:

16 2 1 PerII = 0,1 ⋅ A + 0, 1 ⋅-A + ⋅⋅⋅ + 0,1 ⋅--A + 0,1 ⋅--A = 17 17 17 ( 16 2 1 ) = 0,1A ⋅ 1 + ---+ ⋅⋅⋅ + ---+ --- = 0,1A ⋅ 9 = 0,9A 17 17 17

2) Банк I предлагает кредит на 5 лет, следовательно, применяя те же рассуждения, получим (пусть $y%$ – его процентная ставка):

( ) 4- 3- 2- 1- PerI = 0,01y ⋅ A ⋅ 1 + 5 + 5 + 5 + 5 = 0,01y ⋅ A ⋅ 3 = 0,03yA

Так как переплаты должны быть равны, то получаем следующее уравнение:

0,03yA = 0, 9A ⇔ y = 30%

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1230

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 3 млн. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на $10%$ по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Найдите общую сумму выплат по такому кредиту, если он был взят на 4 года.

Показать ответ и решение

Из условия следует, что платежи дифференцированные. Следовательно, каждый платеж состоит из двух частей:
1) первая часть – это $1- 4 ⋅ 3$ (млн. рублей), так как кредит взят на 4 года;
2) вторая часть в $n$ -ый год – это “набежавшие проценты” на долг в $n$ -ый год, то есть в первый год это $0,1 ⋅ 3$ (млн. руб.), во второй – это $0,1 ⋅ 3⋅ 3 4$ (млн. руб.), в третий год это $0,1 ⋅ 2 ⋅ 3 4$ (млн. руб.), в четвертый – это $0,1 ⋅ 1⋅ 3 4$ (млн. руб.).

Таким образом, общая сумма выплат равна сумме платежей и равна

( ) ( ) ( ) ( ) 1-⋅ 3 + 0,1 ⋅ 3 + 1-⋅ 3 + 0,1 ⋅ 3-⋅ 3 + 1-⋅ 3 + 0,1 ⋅ 2-⋅ 3 + 1-⋅ 3 + 0,1 ⋅ 1-⋅ 3 = 4 4 4 4 4 4 4 1 ( 3 2 1) = 4 ⋅--⋅ 3 + 0,1 ⋅ 3 ⋅ 1 +-+ --+ -- = 3 + 0,75 = 3,75 4 4 4 4

Ответ: 3,75 млн. рублей

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1700

16 августа на покупку телефона стоимостью 60 000 рублей в банке был взят кредит на 3 месяца. Условия пользования кредитом таковы:

— 10 числа каждого месяца, начиная с сентября, банк начисляет на остаток долга 10%;

— с 11 по 15 числа каждого месяца, начиная с сентября, клиент обязан внести в банк платеж;

— суммы платежей подбираются так, чтобы долг каждый месяц уменьшался на одну и ту же величину (так называемый дифференцированный платеж).

Сколько рублей в итоге составит переплата по данному кредиту?

Показать ответ и решение

Т.к. кредит был взят на 3 месяца, то долг каждый месяц должен уменьшаться на $1 3$ часть.

Составим таблицу, все суммы будем вычислять в тыс.руб.:


Месяц	Долг до	Долг после	Сумма	Долг после
	начисления %	начисления %	платежа	платежа

1	$3 3 ⋅60 =60$	$60+ 0,1 ⋅60$	$1 0,1⋅60+ 3 ⋅60$	$2 3 ⋅60$

2	$2 ⋅60 3$	$2⋅60+ 0,1 ⋅ 2⋅60 3 3$	$0,1⋅ 2⋅60+ 1 ⋅60 3 3$	$1⋅60 3$

3	$1 ⋅60 3$	$1⋅60+ 0,1 ⋅ 1⋅60 3 3$	$0,1⋅ 1⋅60+ 1 ⋅60 3 3$	0

Заметим, что каждый платеж состоит из $1 ⋅60 3$ и из процентов, начисленных на остаток долга (т.е. все платежи – разные). Именно поэтому удобнее долг после начисления процентов записывать в виде $A+ 0,1⋅A,$ а не в виде $1,1⋅A.$

Общая выплата по кредиту равна сумме всех платежей по кредиту, т.е.

( ) 0,1⋅60+ 1⋅60+0,1⋅2⋅60+ 1⋅60+0,1⋅1⋅60+ 1⋅60 = 60+0, 1⋅60⋅ 1 + 2+ 1 3 3 3 3 3 3 3

Следовательно, переплата составит:

( ) 60+ 0,1 ⋅60 ⋅ 1+ 2 + 1 − 60= 0,1⋅60⋅2 =12 тыс.руб. 3 3

Ответ: 12 000 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1702

В январе 2010 года Михаил взял в банке кредит на сумму 3 млн рублей на покупку квартиры в Лунцево. Кредит ему выдали на 6 лет под 14% годовых, причем выплачивать его Михаил должен так, чтобы сумма долга каждый год уменьшалась на одну и ту же величину.

В январе 2016 года в Лунцево открыли новую станцию метро. Михаил не растерялся и сразу после выплаты кредита продал квартиру по цене, превышающей изначальную стоимость квартиры на 80%. Сколько рублей в итоге заработал Михаил?

Показать ответ и решение

Обозначим сумму кредита за $A= 3000000$ рублей. Составим таблицу, учитывая, что выплачивать кредит Михаил будет так называемыми дифференцированными платежами:

|----|-------------|---------------|-----------------| | Год | Д олг в руб.| Д олг в руб. |Еж егодная вы плата | | |допнраочциселнетонвия |послпер ноацчеинтслоевния| в руб. | |----|-------------|---------------|-----------------| | | | | 1 | | 1 | A | A + 0,14A | 6A + 0,14⋅A | |----|-------------|---------------|-----------------| | | 5 | 5 5 | 1 5 | | 2 | 6A | 6A + 0,14⋅ 6A | 6 A+ 0,14 ⋅6A | |----|-------------|---------------|-----------------| | | | | | | 3 | 4A | 4A + 0,14⋅ 4A | 1 A+ 0,14 ⋅ 4A | | | 6 | 6 6 | 6 6 | |----|-------------|---------------|-----------------| | | 3 | 3 3 | 1 3 | | 4 | 6A | 6A + 0,14⋅ 6A | 6 A+ 0,14 ⋅6A | |----|-------------|---------------|-----------------| | | 2 | 2 2 | 1 2 | | 5 | 6A | 6A + 0,14⋅ 6A | 6 A+ 0,14 ⋅6A | |----|-------------|---------------|-----------------| | | | | | | 6 | 1A | 1A + 0,14⋅ 1A | 1 A+ 0,14 ⋅ 1A | | | 6 | 6 6 | 6 6 | -----------------------------------------------------

Посчитаем, сколько рублей в итоге заплатил Михаил банку. Для этого нужно просуммировать все ежегодные платежи, в результате чего получим

( 5 4 3 2 1) A + 0,14A ⋅ 1+ 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 1,49A

Новая цена за квартиру составила $1,8A.$ Таким образом, выгода для Михаила составила в рублях

(1,8− 1,49)A= 0,31A = 0,31 ⋅3 000 000 = 930000

Ответ:

$930000$ рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1703

Константин решил взять в одном из двух банков кредит на покупку машины при условии, что он будет выплачивать кредит дифференцированными платежами. Первый банк предлагает Константину кредит на $6$ лет с $32% 7$ годовых, а второй банк – на $5$ лет с $12,5%$ годовых. В каком банке ему выгодней взять кредит и сколько процентов от стоимости машины составляет эта выгода?

Показать ответ и решение

Составим таблицу для обоих банков, обозначив за $A$ руб. сумму кредита.

Первый банк:

----------------------------------------------------------------- |Год | Дол г в р уб. | Д олг в руб. |Еж егод ная вы плата | | | | | | | |до на числени я |посл е на числен ия| в руб. | |----|--п-роценто-в---|----проц-ентов-----|---------------------| | | | | | | | | 32-- | 1- 32-- | |1 | A | A + 700A | 6A + 700A | | | | | | |----|----------------|-------------------|---------------------| | | 5 | 5 32 5 | 1 32 5 | |2 | -A | -A + ----⋅--A | -A + ----⋅ -A | | | 6 | 6 700 6 | 6 700 6 | |----|----------------|-------------------|---------------------| | | | | | |... | ... | ... | ... | | | | | | |----|----------------|-------------------|---------------------| | | | | | |6 | 1A | 1A + 32--⋅ 1-A | 1A + -32-⋅ 1A | | | 6 | 6 700 6 | 6 700 6 | -----------------------------------------------------------------

Найдем сумму, которую составит переплата в этом случае:

-32-A + -32- ⋅ 5A + ⋅⋅⋅ +-32-⋅ 1A = 0,16A , то ест ь 16% от сто имост и м аш ины 700 700 6 700 6

Второй банк (заметим, что $12,-5 = 1- 100 8$ ):

|----|----------------|-------------------|---------------------| |Год | Дол г в р уб. | Д олг в руб. |Еж егод ная вы плата | | |до на числени я |посл е на числен ия| в руб. | | | п роценто в | проц ентов | | |----|----------------|-------------------|---------------------| | | | | | |1 | A | A + 1A | 1A + 1A | | | | 8 | 5 8 | |----|----------------|-------------------|---------------------| | | | | | | | 4 | 4 1 4 | 1 1 4 | |2 | -A | -A + --⋅--A | --A + --⋅--A | | | 5 | 5 8 5 | 5 8 5 | |----|----------------|-------------------|---------------------| | | | | | |... | ... | ... | ... | |----|----------------|-------------------|---------------------| | | | | | | | 1 | 1 1 1 | 1 1 1 | |5 | -A | -A + --⋅--A | --A + --⋅--A | | | 5 | 5 8 5 | 5 8 5 | -----------------------------------------------------------------

Найдем сумму, которую составит переплата в этом случае:

1 1 4 1 1 -A + --⋅--A + ⋅⋅⋅ + -⋅ -A = 0,375A , то есть 37,5% от стоим ости маш ин ы 8 8 5 8 5

Таким образом, Константину выгоднее взять кредит в первом банке и выгода при этом составит $37,5% − 16% = 21, 5%$ .

Ответ:

$21,5%$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1935

Банк может выдать кредит своим клиентам на 6 лет под $10%$ годовых, учитывая, что кредит будет выплачиваться ежегодными платежами (после начисления процентов), уменьшающими долг на одну и ту же сумму. Сколько процентов от суммы кредита переплатит клиент, если возьмет в банке такой кредит?

Показать ответ и решение

Фраза “кредит будет выплачиваться ежегодными платежами, уменьшающими долг на одну и ту же сумму” означает, что долг будет выплачиваться дифференцированными платежами.

Пусть $A$ рублей составляет сумма кредита. Составим таблицу:

|-----|------------------|------------------|-------------| |Год | Дол г п осле | С ум ма |Д ол г п осле| |-----|-нач-ислени-я-%---|----п-латеж-а-----|--плат-ежа---| | | | | | | | | 1- | 5- | |1 | A + 0,1 ⋅ A | 0,1 ⋅ A + 6 ⋅ A | 6 ⋅ A | | | | | | |-----|------------------|------------------|-------------| | |5 5 | 5 1 | 4 | |2 |--⋅ A + 0,1 ⋅-⋅ A |0,1 ⋅--⋅ A + --⋅ A| --⋅ A | | |6 6 | 6 6 | 6 | |-----|------------------|------------------|-------------| | | | | | | |4- 4- | 4- 1- | 3- | |3 |6 ⋅ A + 0,1 ⋅6 ⋅ A|0,1 ⋅6 ⋅ A + 6 ⋅ A| 6 ⋅ A | ----------------------------------------------------------| | | | | | | |3 3 | 3 1 | 2 | |4 |--⋅ A + 0,1 ⋅-⋅ A |0,1 ⋅--⋅ A + --⋅ A| --⋅ A | | |6 6 | 6 6 | 6 | |-----|------------------|------------------|-------------| | | | | | | |2- 2- | 2- 1- | 1- | |5 |6 ⋅ A + 0,1 ⋅6 ⋅ A|0,1 ⋅6 ⋅ A + 6 ⋅ A| 6 ⋅ A | |-----|------------------|------------------|-------------| | | | | | | |1 1 | 1 1 | | |6 |--⋅ A + 0,1 ⋅-⋅ A |0,1 ⋅--⋅ A + --⋅ A| 0 | | |6 6 | 6 6 | | ----------------------------------------------------------|

Таким образом, переплата по кредиту равна:

( ( ) ) R = 0,1 ⋅ A 1 + 5-+ 4-+ 3+ 2-+ 1- + 6 ⋅ 1-⋅ A − A = 0,1 ⋅ A ⋅ 3,5 6 6 6 6 6 6

Тогда процент, который составит переплата от кредита, равен:

R 0,35A --⋅ 100% = -------⋅ 100% = 35% A A

Ответ:

$35%$

Предыдущий раздел

Следующий раздел