Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Алгебра. Исследование при всех значениях параметра

Тема 18. Задачи с параметром

18.04 Алгебра. Исследование при всех значениях параметра

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#385

Решите уравнение

ax+ 3= 0

при всех значениях параметра $a.$

Показать ответ и решение

Уравнение можно переписать в виде

ax= −3

Рассмотрим два случая.

1) $a= 0.$

В этом случае левая часть равна 0, а правая — нет, следовательно, уравнение не имеет корней.

2) $a⁄= 0.$

Тогда $x = − 3. a$

Ответ:

$a = 0 ⇒ x∈ ∅$

$a⁄= 0 ⇒ x = − 3 a$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Не рассмотрен случай $a =0$	3

Рассмотрены случаи $a =0,$ $a⁄= 0,$ но допущена ошибка	2

Верно рассмотрен случай $a= 0$	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1296

Решите при всех значениях параметра $a$ уравнение

ax − 3 = a2 − 2x

Показать ответ и решение

Уравнение можно преобразовать к виду $(a + 2)x = a2 + 3$ . Оно является уравнением линейного типа. Нужно рассмотреть два случая:

1) Если $a + 2 = 0$ , то есть $a = − 2$ , то уравнение примет вид $0 ⋅ x = 7$ . Данное уравнение не имеет решений.

2) Если $a ⁄= − 2$ , то уравнение можно преобразовать к виду $2 a--+-3 x = a + 2$ – это и есть корень этого уравнения.

Ответ:

$a = − 2 ⇒ x ∈ ∅$ ;

$a ⁄= − 2 ⇒ x = a2a++32$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1298

Решите уравнение при всех значениях параметра $a$ :

(a2 + a)x − 2a2 = 3a

Показать ответ и решение

Данное уравнение линейного типа: $a(a + 1)x = a(2a + 3)$ .

1) Если $a = − 1$ , то уравнение примет вид $0 ⋅ x = − 1$ , что не имеет решений.

2) Если $a = 0$ , то уравнение примет вид $0 ⋅ x = 0$ . Решением будут $x ∈ ℝ$ .

3) Если $a ⁄= − 1;0$ , то корнем уравнения будет $x = a-(2a +-3)= 2a-+-3- a(a + 1) a + 1$ .

Ответ:

$a = 0 ⇒ x ∈ ℝ$ ;

$a = − 1 ⇒ x ∈ ∅$ ;

$a ⁄= − 1;0 ⇒ x = 2a+3 a+1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1299

Решите уравнение при всех значениях параметра $a$ :

x-−-a-= 0 x − 1

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно

{ x = a x ⁄= 1

Следовательно, если $a = 1$ , то уравнение не имеет решений, если $a ⁄= 1$ , то корнем уравнения является $x = a$ .

Ответ:

$a = 1 ⇒ x ∈ ∅$ ;

$a ⁄= 1 ⇒ x = a$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1708

Решите уравнение

2 ax +a = 0

при всех значениях параметра $a.$

Показать ответ и решение

Уравнение можно переписать в виде

2 ax =− a

Рассмотрим два случая.

1) $a= 0.$

В этом случае левая и правая части равны 0, следовательно, уравнение верно при любых значениях переменной $x.$

2) $a⁄= 0.$

Тогда $x = −a.$

Ответ:

$a = 0 ⇒ x∈ ℝ$

$a⁄= 0 ⇒ x = −a$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Не рассмотрен случай $a =0$	3

Рассмотрены случаи $a =0,$ $a⁄= 0,$ но допущена ошибка	2

Верно рассмотрен случай $a= 0$	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#386

Решите неравенство $π 2ax + 5 cos--≥ 0 3$ при всех значениях параметра $a$ .

Показать ответ и решение

Неравенство можно переписать в виде $5 ax ≥ − -- 4$ . Рассмотрим три случая:

1) $a = 0$ . Тогда неравенство принимает вид $0 ≥ − 5- 4$ , что верно при любых значениях переменной $x$ .

2) $a > 0$ . Тогда при делении на $a$ обеих частей неравенства знак неравенства не изменится, следовательно, $x ≥ − 5-- 4a$ .

3) $a < 0$ . Тогда при делении на $a$ обеих частей неравенства знак неравенства изменится, следовательно, $x ≤ − 5-- 4a$ .

Ответ:

$5 5 a = 0 ⇒ x ∈ ℝ; a > 0 ⇒ x ≥ − ---;a < 0 ⇒ x ≤ − --- 4a 4a$ .

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#387

Решите неравенство

2 2 a(x − 6)≥ (2 − 3a )x

при всех значениях параметра $a.$

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство к виду

2 2 ax + (3a − 2)x− 6a≥ 0

Рассмотрим два случая.

1) $a= 0.$

В этом случае неравенство становится линейным и принимает вид

− 2x≥ 0 ⇒ x ≤0

2) $a⁄= 0.$

Тогда неравенство является квадратичным. Найдем дискриминант:

4 2 2 2 2 D = 9a − 12a + 4+ 24a = (3a + 2)

Так как $a2 ≥ 0,$ то $D >0$ при любых значениях параметра.

Следовательно, уравнение $ax2+ (3a2− 2)x− 6a= 0$ всегда имеет два корня:

2 x1 = −3a, x2 = a

Таким образом, неравенство примет вид

(ax− 2)(x+ 3a)≥ 0

Если $a > 0,$ то $x1 < x2$ и ветви параболы $y = (ax− 2)(x+ 3a)$ направлены вверх:

$PIC$

Значит, решением являются

[ ) x ∈ (− ∞;− 3a]∪ 2;+∞ a

Если $a < 0,$ то $x1 > x2$ и ветви параболы $y = (ax− 2)(x+ 3a)$ направлены вниз:

$PIC$

Значит, решением являются

[ ] x∈ 2a;−3a

Ответ:

$a = 0 ⇒ x≤ 0$

$[2 ) a> 0 ⇒ x ∈(− ∞;−3a]∪ a;+∞$

$[ ] 2 a< 0 ⇒ x ∈ a;−3a$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#431

Определите количество корней уравнения

2 ax + (3a+ 1)x+ 2= 0

при всех значениях параметра $a.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим два случая.

1) $a= 0.$

Тогда уравнение является линейным:

x +2 = 0 ⇒ x= − 2

То есть уравнение имеет один корень.

2) $a⁄= 0.$

Тогда уравнение является квадратным. Найдем дискриминант: $D = 9a2− 2a+ 1.$

Рассмотрим уравнение

9a2− 2a+ 1 =0

Его дискриминант $D ′ = 4− 36< 0,$ следовательно, это уравнение не имеет корней. Значит, выражение $(9a2− 2a+ 1)$ принимает значения строго одного знака: либо всегда положительно, либо отрицательно. В данном случае оно положительно при любых $a,$ в чем можно убедиться, подставив вместо $a$ любое число.

Таким образом, $2 D = 9a − 2a+ 1> 0$ при всех $a ⁄= 0.$ Значит, при этих значениях $a$ исходное уравнение имеет два корня:

√ -- x1,2 = −3a−-1±---D- 2a

Ответ:

$a = 0 ⇒ 1$ корень

$a⁄= 0 ⇒ 2$ корня

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Не рассмотрен случай $a = 0$	3

При $a⁄= 0$ верно найден дискриминант, но есть ошибка в выводах
ИЛИ	2
Выстроен верно ход решения, но допущена вычислительная ошибка

Верно рассмотрен случай $a =0$	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#432

Решить уравнение $√ ------- x + 2a ⋅ (3 − ax − x) = 0$ при всех значениях параметра $a$ .

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно системе:

( | x ≥ − 2a { [ | x = − 2a ( 3 − (a + 1)x = 0 (∗)

Рассмотрим два случая:

1) $a + 1 = 0 ⇒ a = − 1$ . В этом случае уравнение $(∗ )$ равносильно $3 = 0$ , то есть не имеет решений.

Тогда вся система равносильна ${ x ≥ 2 ⇔ x = 2 x = 2$

2) $a + 1 ⁄= 0 ⇒ a ⁄= − 1$ . В этом случае система равносильна:

( | x ≥ − 2a |{ ⌊ x1 = − 2a ||( ⌈ -3---- x2 = a + 1

Данная система будет иметь одно решение, если $x2 ≤ − 2a$ , и два решения, если $x2 > − 2a$ :

2.1) $3 a-+-1-≤ − 2a ⇒ a < − 1 ⇒$ имеем один корень $x = − 2a$ .

2.2) $--3---> − 2a ⇒ a > − 1 ⇒ a + 1$ имеем два корня $x = − 2a, x = --3--- 1 2 a + 1$ .

Ответ:

$a ∈ (− ∞; − 1) ⇒ x = − 2a;a = − 1 ⇒ x = 2;a ∈ (− 1; +∞ ) ⇒ x ∈ {− 2a; a+31-}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#433

Решить уравнение $loga+2(a2x) = logx x$ при всех значениях параметра $a.$

Показать ответ и решение

Запишем ограничения для $a :$

( |{ a > − 2 |( a ⁄= − 1 a ⁄= 0

При этих условиях исходное уравнение равносильно системе:

( ( | log (a2x ) = 1 | a2x = a + 2 ( a + 2 { a+2 { { x = ------ | x > 0 ⇒ | x > 0 ⇒ ( a2 ( x ⁄= 1 ( x ⁄= 1 x ⁄= 1

Данная система будет иметь решение, если $a-+-2- a2 ⁄= 1 ⇒ a ⁄= − 1;2.$

В противном случае система не будет иметь решений.

Ответ:

$a + 2 a ∈ (− 2;− 1) ∪ (− 1;0) ∪ (0; 2) ∪ (2;+ ∞ ) ⇒ x =------ a2$
$a ∈ (− ∞; − 2] ∪ {− 1;0;2} ⇒ x ∈ ∅$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#568

Решите уравнение

∘ -------- ∘ -------- √ -------- 3 (a + x )2 + 4 3 (a − x)2 = 5 3 a2 − x2

при всех значениях параметра $a$ .

Показать ответ и решение

Рассмотрим два случая:

1) $a = 0$ . Тогда уравнение принимает вид

√3--- √3--- √3---- √3--- x2 + 4 x2 = 5 − x2 ⇒ 10 x2 = 0 ⇒ x = 0

2) $a ⁄= 0$ . Заметим, что $x = a$ не является корнем уравнения, поэтому разделим правую и левую части уравнения на $∘ -------- 3 (a − x )2$ :

∘ ---------- ∘ ---------- ∘ --------- ∘ ---------- ( )2 ( )2 2 2 ( )2 ∘ ------ 3 -a +-x + 4 3 a −-x- − 5 3-a-−--x- = 0 ⇔ 3 a +-x- − 5 3 a-+-x-+ 4 = 0 a − x a − x (a − x)2 a − x a − x

Полученное уравнение с помощью замены $∘ -a +-x 3------ = t a − x$ сводится к квадратному уравнению $2 t − 5t + 4 = 0$ , корнями которого являются $t = 1$ и $t = 4$ . Сделаем обратную замену:

⌊∘ ------ ⌊ 3 a-+-x-= 1 a-+-x- = 1 ⌊ x = 0 || a − x |a − x |∘ ------ ⇒ |⌈a + x ⇒ ⌈ 63 ⌈ 3 a-+-x-= 4 ------ = 64 x = ---a a − x a − x 65

Ответ:

$a ∈ (− ∞; 0) ∪ (0;+∞ ) ⇒ x ∈ {0; 6635a}$

$a ∈ {0} ⇒ x ∈ {0 }$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1295

Решите уравнение

√ ----- x− a =2

при всех значениях параметра $a.$

Показать ответ и решение

Выражение под корнем должно быть неотрицательным, поэтому

x − a ≥ 0.

В правой части уравнения стоит $2> 0,$ поэтому можем возвести обе части уравнения $√ ----- x− a= 2$ в квадрат и получить

x − a = 4.

Тогда неравенство $x− a≥ 0$ выполняется при любом значении параметра $a.$

Значит, при любом значении параметра $a$ уравнение имеет единственное решение $x= 4+ a.$

Ответ:

$a ∈ℝ ⇒ x= 4+ a$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1297

Решите при всех значениях параметра $a$ уравнение

|2ax − 4| = a

Показать ответ и решение

При $a < 0$ уравнение не имеет решений, так как левая часть неотрицательна. При $a = 0$ уравнение равносильно $2 ⋅ 0 ⋅ x − 4 = 0 ⇒ 0 = 4$ и также не имеет решений.
При $a > 0$ уравнение равносильно

⌊ 4 + a [ |x = -2a--- 2ax − 4 = a ⇒ | 2ax − 4 = − a ⌈ 4 − a x = ------ 2a

следовательно, имеет два различных корня.

Ответ:

$a ≤ 0 ⇒ x ∈ ∅$ ;

$a > 0 ⇒ x = 4±2aa$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1303

Решите уравнение при всех значениях параметра $q$ :

(cos(πq) − 1) ⋅ x = q2 + q − 6

Показать ответ и решение

Правую часть уравнения можно переписать в виде $(q + 3 )(q − 2)$ . Уравнение линейного типа. Рассмотрим два случая: $cos(πq ) − 1 = 0$ и $cos(πq) − 1 ⁄= 0$ .

1) $cos(πq) − 1 = 0$ . Тогда $cos(πq) = 1$ , откуда $πq = 2πn, n ∈ ℤ$ . Следовательно, $q = 2n, n ∈ ℤ$ . Тогда уравнение примет вид

0 ⋅ x = (2n + 3)(2n − 2)

Данное уравнение либо имеет бесконечное множество решений ( $x ∈ ℝ$ ), либо не имеет решений. В случае бесконечного множества решений правая часть уравнения равна 0, то есть $(2n + 3)(2n − 2 ) = 0$ . Существует ли такое целое $n$ , что выполняется данное равенство? Да, только при $n = 1$ выражение $(2n + 3 )(2n − 2)$ равно нулю. При этих значениях $n$ параметр $q = 2$ .
Таким образом, при $q = 2$ решением уравнения будут $x ∈ ℝ$ .
В случае отсутствия решений правая часть не равна нулю. Очевидно, что это выполняется при всех $n ⁄= 1$ . Таким образом, при $q = 2n, n ∈ ℤ∖{1 }$ уравнение не имеет решений.

2) $cos(πq) − 1 ⁄= 0$ , то есть $q ⁄= 2n,n ∈ ℤ$ . Тогда уравнение линейное и можно выразить $x$ :

x = (q-+-3)(q-−-2) cos(πq ) − 1

Таким образом, при $q ⁄= 2n,n ∈ ℤ$ уравнение имеет единственное решение.

Ответ:

$q = 2 ⇒ x ∈ ℝ$ ;

$q = 0;− 2;±4; ±6; ±8;... ⇒ x ∈ ∅$ ;

$(q + 3)(q − 2) q ∈ ℝ ∖{0; ±2;±4; ±6; ±8; ...} ⇒ x = -------------- cos(πq) − 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1304

При всех значениях параметра $a$ решите неравенство

( 2 ) a − a x <3 − 3a

Показать ответ и решение

Данное неравенство линейного типа. Хотелось бы разделить обе части неравенства на $a2− a,$ но мы не имеем права этого делать, пока не уверены в том, что $a2− a ⁄= 0.$ К тому же при делении обеих частей неравенства на число мы обязаны учитывать знак числа, чтобы определить, менять знак неравенства или нет. Поэтому рассмотрим несколько случаев.

1) $a2− a= 0,$ откуда

a = 0, a =1

Если $a = 0,$ то неравенство примет вид $0 ⋅x < 3.$ Это верно для любого $x.$

Если $a = 1,$ то неравенство примет вид $0 ⋅x < 0.$ Это не верно ни для какого $x.$

2) $a2− a> 0,$ откуда

a ∈(−∞; 0)∪(1;+∞ )

Тогда можно разделить обе части неравенства на $a2− a,$ причем знак неравенства менять не нужно. Получим

−3(a−-1)- 3 x< a(a− 1) ⇒ x< − a

3) $2 a − a< 0,$ откуда

a ∈(0;1)

Тогда можно разделить обе части неравенства на $a2− a,$ но знак неравенства менять нужно. Получим

3 x> − a

Ответ:

$a = 0 ⇒ x∈ ℝ$

$a= 1 ⇒ x ∈∅$

$( ) 3 a∈ (0;1) ⇒ x ∈ −a;+ ∞$

$( ) a∈ (−∞; 0) ∪(1;+ ∞ ) ⇒ x∈ −∞; − 3 a$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Не рассмотрен случай $a(a− 1) =0$	3

Верно рассмотрен хотя бы один из случаев $a(a− 1)>0$ / $a(a − 1))<0,$ либо рассмотрены оба случая, но есть ошибка при решении неравенства	2

Верно рассмотрен случай $a(a − 1)= 0$	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1326

Найдите все значения параметра $p$ , при которых все решения уравнения $p (p + 2x ) = 7x + 2p + 5$ удовлетворяют неравенству $x ≥ − 3$ .

Показать ответ и решение

Уравнение можно переписать в виде $(2p − 7)x = − p2 + 2p + 5$ . Это уравнение линейного типа.

1) Если $2p − 7 = 0$ , то уравнение примет вид $0 ⋅ x = − 0,25$ . Решений у такого уравнения нет. Следовательно, это значение параметра нам не подходит, так как $x ∈ ∅$ не удовлетворяет $x ≥ − 3$ .

2) Если $2p − 7 ⁄= 0$ , то корень уравнения $2 x = − p-+-2p-+-5- 2p − 7$ . Проверим, когда он удовлетворяет условию $x ≥ − 3$ :

−-p2-+-2p-+-5 p2-−-8p-+-16- 2p − 7 ≥ − 3 ⇒ 2p − 7 ≤ 0

Решениями полученного неравенства будут $p ∈ (− ∞; 3,5) ∪ {4}$ . Заметим, что здесь уже учтено условие $p ⁄= 72$ .

Ответ:

$p ∈ (− ∞; 3,5) ∪ {4}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2203

Решите уравнение

2 ax--−-(2a-+-3-)x-+-6- a + 3x − 6 = 0

при всех значениях параметра $a$ .

Показать ответ и решение

Рассмотрим два случая:

1) $a = 0$ . Тогда уравнение примет вид:

− 3x + 6 3x − 6 ---------= 0 ⇒ -------= 0 3x − 6 3x − 6

Данное уравнение не имеет решений ни при каких значениях $x$ .

2) $a ⁄= 0$ . Тогда данное уравнение равносильно системе:

( { ax2 − (2a + 3)x + 6 = 0 ( x0 ⁄= 6 −-a- 3

Дискриминант первого уравнения $2 2 D = 4a + 12a + 9 − 24a = (2a − 3)$ . Таким образом, $D ≥ 0$ при всех $a ⁄= 0$ , значит, уравнение всегда имеет два корня (может быть, совпадающих):

3- x1 = a ; x2 = 2

Рассмотрим случаи (не забывая учесть, что $a ⁄= 0$ ):

2.1) $x1 = x2 ⇒ a = 3- 2$ . Тогда система равносильна:

( { x = 2 ⇒ x = 2 ( x0 ⁄= 3- 2

Таким образом, исходное уравнение при $3 a = -- 2$ имеет один корень $x = 2$ .

2.2) $x ⁄= x ⇒ a ∈ (− ∞; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3;+ ∞ ) 1 2 2 2$ . В этом случае система равносильна:

( 3 ||{ x1 = -- ил и x2 = 2 a || 6 − a ( x0 ⁄= --3---

Данная система будет иметь один корень, если какой-то из $x 1$ или $x 2$ совпадет с $x 0$ , и два корня, если ни один из них не совпадет с $x0$ .

2.2.1) Какой-то из $x1$ или $x2$ совпал с $x0$ .

Решая уравнение $x = x 1 0$ , получим $a = 3$ . Следовательно, при $a = 3$ уравнение имеет один корень $x = 2$ .

Решая уравнение $x2 = x0$ , получим $a = 0$ . Но в нашем случае $a ⁄= 0$ , следовательно, $x2 ⁄= x0$ .

2.2.2) Ни один из $x1$ или $x2$ не совпал с $x0$ . Значит, при $a ⁄= 3$ и $3 3 a ∈ (− ∞; 0) ∪ (0; 2) ∪ (2;+ ∞ )$ система будет иметь два корня: $x = 3-;x = 2 1 a 2$ .

Ответ:

$a = 0 ⇒ x ∈ ∅$

$a ∈ {32;3} ⇒ x = 2$

$a ∈ (− ∞; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3;3) ∪ (3;+ ∞ ) ⇒ x ∈ {3;2} 2 2 a$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2564

Решите уравнение

a-− 5-= 1 ax+ 6

при всех значениях параметра $a.$

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

{ ax-− a-+-11 = 0 ⇔ ax = a− 11 ax +6 ax ⁄= −6

1) Если $a= 0,$ то система равносильна

{ 0 = −11 0 ⁄= −6

Данная система не имеет решений.

2) Если $a⁄= 0,$ то система равносильна

(| a−-11 {x = a |(x ⁄= − 6 a

Если $a = 5,$ то есть когда $a-−-11 6 a = −a ,$ то система не имеет решений.

Если $a ⁄= 5,$ то система имеет решение $x= a−-11. a$

Ответ:

$a = 0,a =5 ⇒ x∈ ∅$

$a−-11 a⁄= 0,a⁄= 5 ⇒ x = a$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Не рассмотрен случай $a = 0$ или $a= 5$	3

Рассмотрены случаи $a = 0,$ $a ⁄= 0,$ $a= 5,$ но либо допущена вычислительная ошибка, либо не учтена ОДЗ	2

Верно рассмотрен случай $a =0$	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2637

Решите при всех значениях параметра $a$ уравнениие $(2a − 1)x2 + 3ax + 5a − 1 = 0$ .

Показать ответ и решение

Нужно определить, при каких $a$ данное уравнение не имеет решений, имеет одно решение, два решения и т.д., и какие.

Данное уравнение квадратного типа при всех $a$ таких, что $2a − 1 ⁄= 0$ (ведь по определению уравнение $2 Ax + Bx + C = 0$ квадратное, если $A ⁄= 0$ ). Следовательно, нам нужно рассмотреть два случая, в каждом из которых мы определенным образом будем решать уравнение.

1) Пусть $2a − 1 = 0$ , то есть $a = 0,5$ . Тогда уравнение принимает вид $1,5x + 1,5 = 0$ . Решением данного уравнения будет $x = − 1$ . Следовательно, при $a = 0,5$ уравнение имеет единственное решение $x = − 1$ .

2) Пусть $2a − 1 ⁄= 0$ , то есть $a ⁄= 0,5$ . Тогда уравнение квадратное. Квадратное уравнение может иметь 0, 1 или 2 корня в зависимости от дискриминанта (меньше 0, равен 0 или больше 0 соответственно).

Найдем дискриминант: $D = (3a)2 − 4(2a − 1)(5a − 1) = − 31a2 + 28a − 4$ .

2.1) Итак, если $D < 0$ , то уравнение не имеет решений:

( √ -) ( √ -) − 31a2 + 28a − 4 < 0 ⇒ 31 a − 14-+-6--2- a − 14 −-6--2- > 0 31 31

Решением данного неравенства будут $( √ -) ( √- ) a ∈ − ∞; 14−-6-2 ∪ 14+6-2;+ ∞ 31 31$ . При этих значениях $a$ уравнение не имеет решений.

2.2) Если $D = 0$ , то есть $√- a = 14±361-2$ , то уравнение имеет единственный корень. Для квадратного уравнения $Ax2 + Bx + C = 0$ с $D = 0$ корень можно искать по формуле абсциссы вершины:

− B − 3a x0 = ---- ⇒ x0 = ---------- (в наш ем сл учае) 2A 2(2a − 1)

При $14+6√2 a = 31$ получаем

√-- − 3-(14-+-6-2-) x0 = √ -- 2(12 2 − 3)

При $14−6√2 a = 31$ получаем

√ -- x0 = 3(14 −√-6--2)- 2(12 2 + 3)

2.3) Если $D > 0$ , то есть $( √- √-) a ∈ 14−-6-2; 14+6-2 31 31$ , то уравнение имеет два решения:

√----------------- − 3a ± − 31a2 + 28a − 4 x = ------------------------- 2(2a − 1)

Учитывая, что $a ⁄= 0,5$ , то получаем $( 14−-6√2- ) ( 14+6-√2) a ∈ 31 ;0,5 ∪ 0,5; 31$ .

Важно не забыть, что случай 2.2 рассматривается при $a ⁄= 0,5$ , то есть в подслучаях 2.1, 2.2, 2.3 мы должны исключить это значение параметра, если оно входит в какой-то промежуток.