Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.05 Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#757

Катеты прямоугольного треугольника относятся как $5:4,$ а его площадь равна 4,1. Найдите гипотенузу этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как катеты относятся как $5:4,$ то их можно обозначить за $4x$ и $5x.$ Тогда необходимо найти гипотенузу, по теореме Пифагора равную

∘---------- √ ---- 25x2+ 16x2 = 41x2

Так как площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению катетов, то

2 S = 0,5 ⋅5x⋅4x= 10x = 4,1

Следовательно, $x2 = 0,41.$

Значит, гипотенуза равна

∘ ------- ∘ ---------- 41⋅0,41 = 41⋅41⋅0,01 = 41⋅0,1= 4,1

Ответ: 4,1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#860

Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие — на катетах. Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна 9.

Показать ответ и решение

$PIC$

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90∘.$ Так как треугольник равнобедренный, то

∘ ∠CBA = ∠BCA = 90-= 45∘ 2

Квадрат образует с гипотенузой углы $∠GF C = 90∘,$ $∠DEF = 90∘.$

В прямоугольных треугольниках $DBE$ и $GF C$

∠BDE = 90∘− ∠DBE = 45∘ ∘ ∘ ∠F GC = 90 − ∠F CG = 45

Значит, треугольники $DBE$ и $GFC$ — равнобедренные, то есть $BE = ED,$ $FG = F C.$ Так как $ED =F G = EF$ по свойству квадрата, то

BE = FC = EF

Пусть сторона квадрата равна $a,$ тогда длину гипотенузы можно выразить через сторону квадрата:

BC = 3⋅a= 9 ⇒ a= 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#923

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 2BC,$ $∘ ∠BAC = 30 .$ Найдите $AC2- BC2 .$ Если задача допускает несколько ответов — запишите полусумму наименьшего и наибольшего из них.

Показать ответ и решение

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30∘,$ равен половине гипотенузы. В данном случае известно, что в треугольнике $ABC$ сторона, лежащая против угла в $30∘,$ равна половине другой стороны. Значит ли это, что треугольник $ABC$ обязательно прямоугольный? Подобного рода умозаключения в общем случае очень опасны, так как часто попросту неверны.

Но в данном конкретном случае нам повезло: докажем, что треугольник $ABC$ — прямоугольный. В самом деле, если опустить перпендикуляр $BH$ из точки $B$ на прямую, содержащую $AC,$ то окажется, что $BH =0,5AB = BC.$

$PIC$

Но если при этом $BH$ и $BC$ не совпадают, то $HBC$ — прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза $BC$ равна катету $BH,$ чего быть не может, следовательно, $BH$ и $BC$ совпадают и треугольник $ABC$ — прямоугольный.

По теореме Пифагора в треугольнике $ABC :$

2 AB2 = BC2 + AC2 ⇔ 4BC2 = BC2 + AC2 ⇔ AC2 = 3BC2 ⇔ AC2-= 3 BC

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1128

В треугольнике $ABC$ угол $C = 90∘,$ $AC = 24,$ $BC = 7.$ Найдите $sin ∠A.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как по определению $BC- sin ∠A = AB ,$ то нужно найти $AB.$ По теореме Пифагора

∘ ---------- ∘------- √ --- AB = AC2 + BC2 = 242+ 72 = 625 = 25

Значит,

sin ∠A = 7-= 0,28 25

Ответ: 0,28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1133

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ $CH$ — высота, $BC = 8,$ $BH = 4.$ Найдите $sin∠A.$

$PIC$

Показать ответ и решение

В треугольнике $BCH :$

sin∠BCH = BH--= 0,5 BC

По свойству прямоугольного треугольника $∠BCH = ∠BAC,$ следовательно,

sin∠A = sin ∠BAC =0,5

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1193

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ угол $A$ равен $30∘,$ $AB = 2√3.$ Найдите высоту $CH.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как катет, лежащий против угла $30∘,$ равен половине гипотенузы, то

√ - BC =0,5AB = 3

По свойству прямоугольного треугольника $∠BCH = ∠A = 30∘,$ следовательно, в треугольнике $BCH :$

√ - HB = 0,5BC = --3 2

Тогда по теореме Пифагора в треугольнике $BCH :$

∘---------- ∘ -- CH = BC2 − BH2 = 9 = 1,5 4

Ответ: 1,5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1194

В треугольнике $ABC$ $AB =BC = AC = 2√3.$ Найдите высоту $CH.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $AC =BC,$ то $CH$ также является медианой. Следовательно, имеем:

√- AH = 0,5AB = 3

Тогда по теореме Пифагора в треугольнике $ACH :$

∘ ---------- CH = AC2 − AH2 = 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1195

В равностороннем треугольнике $ABC$ высота $CH$ равна $2√3.$ Найдите $AB.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $AC =BC,$ то $CH$ также является медианой. Следовательно, если $AH = a,$ то $AB = AC = 2a.$ Тогда по теореме Пифагора в треугольнике $ACH :$

2 2 2 2 2 AC = AH + CH ⇒ 4a = a + 12 ⇒ a= 2 ⇒ AB =2a = 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1196

В треугольнике $ABC$ $AC =BC,$ высота $AH$ равна $4,$ угол $C$ равен $30∘.$ Найдите $BC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH.$ Катет, лежащий против угла $30∘,$ равен половине гипотенузы, следовательно, $4 =AH = 0,5AC,$ откуда

AC =BC = 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1197

В треугольнике $ABC$ стороны $√- AC = BC = 2 3,$ $∠C = 120∘.$ Найдите высоту $AH.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH.$ Так как $∠ACB = 120∘,$ то

∠ACH = 180∘− 120∘ = 60∘

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90∘,$ то

∠HAC = 90∘− 60∘ = 30∘

Катет, лежащий против угла $∘ 30 ,$ равен половине гипотенузы, следовательно, $√- HC = 0,5AC = 3.$ Тогда по теореме Пифагора

∘---------- AH = AC2 − HC2 = 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1198

В треугольнике $ABC$ $AC =BC,$ $∠C = 120∘,$ $AC = 2√3.$ Найдите $AB.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Проведем $CK ⊥ AB :$

$PIC$

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $CK$ также является медианой и биссектрисой, следовательно, $AK = 0,5AB$ и $∘ ∠ACK = 120- =60∘. 2$

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90∘,$ то

∘ ∘ ∘ ∠CAK = 90 − 60 =30

Катет, лежащий против угла $30∘,$ равен половине гипотенузы, то есть $CK = 0,5AC = √3.$ Тогда по теореме Пифагора:

∘ ---2-----2 AK = AC − CK = 3 ⇒ AB = 2AK = 6

Ответ: 6

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1973

В прямоугольном треугольнике $CAT$ из вершины $C$ прямого угла опущена высота $CH.$ Известно, что $T H = 12, CH = 5.$ Найдите $13sin∠A.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По свойству прямоугольного треугольника имеем:

△CHT ∼ △CAT, ∠HCT = ∠A

Поэтому будем искать $sin∠HCT.$

В треугольнике $HCT$ имеем:

TH sin ∠HCT = TC-

$PIC$

По теореме Пифагора в треугольнике $HCT$ найдем $TC :$

T C =∘T-H2-+-CH2-= ∘122-+-52-= 13

Тогда окончательно получаем

12 sin∠A = sin ∠HCT = 13 13sin∠A = 12

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2147

В равнобедренном треугольнике $ABC$ $AB = BC = 30,$ $AC = 48.$ Найдите расстояние между точкой пересечения медиан и точкой пересечения биссектрис.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $BK$ — медиана, высота и биссектриса. Значит, имеем:

AK = 1AC = 24 2

По теореме Пифагора в треугольнике $ABK :$

BK = ∘AB2--−-AK2-= √900−-576= 18

Пусть $M$ — точка пересечения медиан $AF$ и $BK.$ По свойству медиан точка $M$ делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда $BM = 12,$ $MK = 6.$

$PIC$

Пусть $T$ — точка пересечения биссектрис $AE$ и $BK.$ В треугольнике $ABK$ биссектриса $AT$ делит отрезок $BK$ на части, пропорциональные сторонам, образующим угол $A.$ Тогда получаем

TK- = TB- ⇒ TK- = 18−-TK- AK AB 24 30

Отсюда $TK = 8$ и искомое расстояние равно

TM = TK − KM =8 − 6= 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2148

Найдите основание равнобедренного треугольника, если угол при основании равен $30∘,$ а взятая внутри треугольника точка находится на одинаковом расстоянии, равном 3, от боковых сторон и на расстоянии $2√3-$ от основания.

Показать ответ и решение

Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ точка $P$ находится на равном расстоянии от сторон $AB$ и $BC.$ Значит, точка $P$ лежит на биссектрисе $BH,$ а так как $AB = BC,$ то $BH$ также является медианой и высотой по свойству равнобедренного треугольника.

Так как $BH$ — биссектриса, то $∠ABH = 120∘= 60∘. 2$ Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90∘,$ то $∘ ∠BP K = ∠BAH = 30 .$

$PIC$

Пусть $BK = a.$ Так как катет, лежащий против угла в $30∘,$ равен половине гипотенузы, то $BP = 2a.$

В треугольнике $BP K$ по теореме Пифагора

2 2 2 2 2 √ - BK + KP = BP ⇒ a + 9= 4a ⇒ a= 3

Тогда

√- BP = 2 3 BH = BP + PH = 4√3

В прямоугольном треугольнике $ABH$ $∠BAH = 30∘,$ следовательно, $√- AB = 2BH = 8 3.$ Теперь найдем $AH$ по теореме Пифагора:

∘ --√--2---√--2 AH = (8 3) − (4 3) = 12⇒ AC = 12⋅2= 24

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2472

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ $CH = 4$ — высота, $BC =√17.$ Найдите $tg∠A.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По теореме Пифагора в треугольнике $BCH :$

∘ --2-----2- √ ------ BH = BC − HC = 17− 16= 1

Следовательно,

BH tg ∠BCH = CH--=0,25

По свойству прямоугольного треугольника $∠BCH = ∠BAC,$ следовательно,

tg∠A = tg∠BCH = 0,25

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2532

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ $CH$ — высота, угол $A$ равен $30∘.$ Найдите $AH,$ если $AB = 2.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как катет, лежащий против угла $30∘,$ равен половине гипотенузы, то

BC = 1AB = 1 2

Тогда по теореме Пифагора в треугольнике $ABC :$

AC = ∘AB2-−-BC2-= √3

В прямоугольном треугольнике $AHC :$

1 √3 HC = 2AC = 2--

Тогда по теореме Пифагора

∘ ----- ∘ ---2-----2 3 AH = AC − HC = 3− 4 = 1,5

Ответ: 1,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2533

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ $CH$ — высота, угол $A$ равен $30∘.$ Найдите $BH,$ если $AB = 4.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как катет, лежащий напротив угла $30∘,$ равен половине гипотенузы, то

BC = 1AB = 2 2

По свойству прямоугольного треугольника получаем

∠BCH = ∠A = 30∘

Cледовательно, в треугольнике $BCH$ имеем:

BH = 1BC = 1 2

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2534

В треугольнике $ABC$ $AC =BC = 4,$ $∠C = 30∘.$ Найдите высоту $AH.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH.$ Катет, лежащий напротив угла $30∘,$ равен половине гипотенузы. Следовательно, в треугольнике $ACH$ имеем:

AH =0,5AC = 2

Замечание.

Условие $BC = 4$ в данной задаче является лишним.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2535

В треугольнике $ABC$ $AC =BC,$ $∠C = 120∘,$ $AB = 2√3.$ Найдите $AC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB.$

Так как $∠C = 120∘$ и $AC = CB,$ то

180∘ − 120∘ ∠A = ∠B = ----2-----=30∘

Катет, лежащий напротив угла $30∘,$ равен половине гипотенузы. Следовательно, в прямоугольном треугольнике $AHB :$

HA = 1AB = √3 2

$PIC$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH.$ Так как $∠ACB =120∘,$ то

∘ ∘ ∘ ∠ACH = 180 − 120 = 60

Так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90∘,$ то

∘ ∘ ∘ ∠HAC = 90 − 60 = 30

Следовательно, $HC = 0,5AC.$ Тогда по теореме Пифагора в треугольнике $AHC :$

AC2 = HC2 + HA2 AC2 = AC2- +3 ⇒ AC = 2 4

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#44446

Найдите проведенную к гипотенузе высоту прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4.

Показать ответ и решение

Пусть дан $△ABC$ с $∠A = 90∘,$ катетами $AB = 3$ и $AC = 4$ и проведена высота $AH ⊥ BC.$

Тогда имеем:

$pict$

$PIC$

По теореме Пифагора в треугольнике $ABC :$

∘ ---------- ∘ ------ BC = AB2 +AC2 = 32+ 42 = 5

Следовательно, искомая высота равна

3⋅4- 12- AH = 5 = 5 = 2,4

Ответ: 2,4

Предыдущий раздел

Следующий раздел