Тема №13. Неравенства, системы неравенств

03 Квадратные неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №13. неравенства, системы неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#44272

Укажите решение неравенства $(x + 2)(x− 7)> 0.$

$1)7x$

$2)−x2$

$3)−7x2$

$4)−7x2$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Решим методом интервалов.

Найдём нули:

1.: $x+ 2= 0 ⇔ x = −2.$
2.: $x− 7= 0 ⇔ x = 7.$

$x−7+−+2$

Так как выражение должно быть больше 0, решением неравенства будут интервалы, которые отмечены на числовой прямой знаком « $+$ ». Значит, ответ 3.

Ответ: 3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#123292

Укажите решение неравенства $(x + 1)(x− 6)≤ 0.$

$1)−6x1$

$2)−6x1$

$3)6x$

$4)−x1$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Решим неравенство методом интервалов.

(x+ 1)(x − 6)≤ 0

Решим методом интервалов.

Найдём нули:

1.: $x+ 1= 0 ⇔ x = −1.$
2.: $x− 6= 0 ⇔ x = 6.$

$x−6+−+1$

Так как выражение должно быть меньше либо равно 0, решением неравенства будут интервалы, которые отмечены на числовой прямой знаком « $−$ ». Значит, ответ 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#123413

Укажите решение неравенства $(x + 1)(x− 9)> 0.$

$1)−91$

$2)−91$

$3)9$

$4)−1$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Решим неравенство методом интервалов.

(x+ 1)(x − 9)> 0

Решим методом интервалов.

Найдём нули:

1.: $x+ 1= 0 ⇔ x = −1.$
2.: $x− 9= 0 ⇔ x = 9.$

$x−6+−+1$

Так как выражение должно быть больше 0, решением неравенства будет интервал, который отмечен на числовой прямой знаком « $+$ ». Значит, ответ 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#45672

Укажите решение неравенства $(x + 2)(x− 10)> 0.$

$1) (−2;10)$

$2) (−∞; −2)∪ (10;+∞ )$

$3) (10;+ ∞)$

$4) (−2;+∞ )$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Решим неравенство методом интервалов.

(x + 2)(x− 10)> 0

Найдём нули:

$pict$

$x−1+−+20$

Тогда $x ∈(− ∞;−2)∪ (10;+ ∞)$ и ответ 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#123296

Укажите решение неравенства $(x + 3)(x− 5)≤ 0.$

$1) (−∞; −3]$

$2) [−3;5]$

$3) (−∞; 5]$

$4) (−∞; −3]∪[5;+∞ )$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Решим неравенство методом интервалов.

(x+ 3)(x − 5)≤ 0

Найдём нули:

$pict$

$x−5+−+3$

Так как выражение должно быть меньше либо равно 0, решением неравенства будут интервалы, которые отмечены на числовой прямой знаком « $−$ ». Тогда $x ∈[−3;5]$ и ответ 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#23447

Укажите решение неравенства $x2− 64< 0.$

$1) (−∞; −8)∪ (8;+∞ )$

$2) (−∞; +∞ )$

$3) (−8;8)$

$4) нет решений$

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное неравенство:

x2− 64< 0 2 2 x − 8 < 0 (x− 8)(x +8)< 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$x−8+−+8$

Таким образом, $x ∈(− 8;8).$

Ответ: 3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#61035

Укажите решение неравенства $x2− 25> 0.$

$1) (−∞; −5)∪ (5;+∞ )$

$2) (−5;5)$

$3) нет решений$

$4) (−∞; +∞ )$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой разности квадратов и разложим выражение на множители:

x2− 25 >0 ⇔ (x − 5)(x+ 5)> 0.

Решим неравенство методом интервалов.

Найдем нули:

1.: $x− 5= 0 ⇔ x = 5;$
2.: $x+ 5= 0 ⇔ x = −5.$

$x−5+−+5$

Тогда $x ∈(− ∞;−5)∪ (5;+ ∞),$ и ответ — 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#101774

Укажите решение неравенства $x2− 36> 0.$

$1) (−∞; +∞ )$

$2) (−∞; −6)∪ (6;+∞ )$

$3) (−6;6)$

$4) нет решений$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Решим неравенство:

x2− 36> 0 2 2 x − 6 > 0 (x− 6)(x +6)> 0

Все разбилось на три промежутка (кроме точек 6 и $− 6,$ в них функция равна 0): $(−∞;− 6),$ $(− 6;6),$ $(6;+∞ ).$ Возьмем по числу из каждого промежутка, чтобы узнать знак в нем. Из первого возьмем $− 100,$ получим $− 106 ⋅−94,$ что положительно, — подходит. Из второго возьмем 0, получим $− 36< 0,$ — не подходит. Из последнего возьмем 100, получим $106⋅94> 0,$ — подходит. Значит, наш ответ под номером 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#123298

Укажите решение неравенства $81x2 > 64.$

$88 1)−99$

$2)8 9$

$3)− 8 9$

$88 4)−99$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

2 2 81x > 64 ⇔ 81x − 64 > 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

(9x)2− 82 > 0 (9x− 8)(9x +8)> 0

Решим неравенство методом интервалов.

Найдём нули:

1.: $8 9x− 8= 0 ⇔ x = 9$
2.: $8 9x+ 8= 0 ⇔ x =− 9$

$x−89+−+ 89$

Нам подходят интервалы вещественной прямой под знаком « $+$ ». Тогда ответ под номером 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#123409

Укажите решение неравенства $x2 ≤ 64.$

$1)8$

$2)−88$

$3)−8$

$4)−88$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

2 2 x ≤ 64 ⇔ x − 64≤ 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

x2− 82 ≤ 0 (x− 8)(x +8)≤ 0

Решим неравенство методом интервалов.

Найдём нули:

1.: $x− 8= 0 ⇔ x = 8$
2.: $x+ 8= 0 ⇔ x = −8$

$x−8+−+8$

Нам подходят интервалы вещественной прямой под знаком « $−$ ». Тогда ответ под номером 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#42802

Укажите решение неравенства $5x− x2 ≥ 0.$

$1)05$

$2)05$

$3)5$

$4)0$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

2 5x− x ≥ 0

Домножим обе части неравенства на $− 1:$

2 x − 5x ≤ 0

Разложим на множители:

x(x− 5)≤ 0

Решая неравенство методом интервалов, получаем

x∈ [0;5]

Тогда ответом будет ось под номером 2.

Ответ: 2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#123410

Укажите решение неравенства $6x− x2 < 0.$

$1)06$

$2)06$

$3)6$

$4)0$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

2 6x− x < 0

Домножим обе части неравенства на $− 1:$

2 x − 6x > 0

Разложим на множители:

x(x− 6)> 0

Решая неравенство методом интервалов, получаем

x ∈ (− ∞;0)∪ (6;+∞ )

Тогда ответом будет ось под номером 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#38707

Укажите решение неравенства $3x− x2 ≤ 0.$

$1) (−∞; 0]∪ [3;+ ∞)$

$2) [3;+ ∞)$

$3) [0;3]$

$4) [0;+ ∞)$

Показать ответ и решение

$pict$

Таким образом, нам подходит ответ номер 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#123303

Укажите решение неравенства $4x− x2 < 0.$

$1) (−∞; 0)∪(4;+∞ )$

$2) (0;+ ∞ )$

$3) (0;4)$

$4) (4;+ ∞ )$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

2 x − 4x> 0 ⇔ x(x− 4)> 0

По методу интервалов получаем:

$x04+−+$

Нам нужны промежутки со знаком плюс, следовательно, $x∈ (−∞; 0)∪ (4;+ ∞ ).$ Следовательно, ответ 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#123411

Укажите решение неравенства $2x− x2 ≤ 0.$

$1) (−∞; 0]∪ [2;+ ∞)$

$2) [0;+ ∞)$

$3) [2;+ ∞)$

$4) [0;2]$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

2 x − 2x≥ 0 ⇔ x(x− 2)≥ 0

По методу интервалов получаем:

$x02+−+$

Нам нужны промежутки со знаком плюс, следовательно, $x∈ (−∞; 0]∪ [2;+∞ ).$ Следовательно, ответ 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#41474

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

$01$

$1) x2− 1≥ 0$

$2) x2− x ≥0$

$3) x2− 1≤ 0$

$4) x2− x ≤0$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

1. Решим первое неравенство:

x2 − 1 = (x − 1)(x+ 1)≥ 0 ⌊{ ⌊ { | x − 1≥ 0 | x ≥1 [ ||{x + 1≥ 0 ⇔ || {x ≥− 1 ⇔ x ≥ 1 |⌈ x − 1≤ 0 |⌈ x ≤1 x ≤ −1 x + 1≤ 0 x ≤− 1

То есть $x∈ (− ∞;− 1]∪ [1;+ ∞),$ этот ответ не соответствует картинке.

2. Решим второе неравенство:

x2− x= x(x− 1)≥ 0 ⌊{ ⌊{ | x− 1≥ 0 | x ≥ 1 [ |||{ x≥ 0 ⇔ |||{x ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 ⌈ x− 1≤ 0 ⌈ x ≤ 1 x ≤ 0 x≤ 0 x ≤ 0

То есть $x∈ (− ∞;0]∪ [1;+∞ ),$ именно эти промежутки нарисованы на картинке.

Таким образом, ответ 2.

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#123304

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

$07$

$1) x2− 7x< 0$

$2) x2− 49> 0$

$3) x2− 7x> 0$

$4) x2− 49< 0$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Решим каждое неравенство.

1.

$x2− 7x < 0$

x2− 7x< 0 ⇔ x(x− 7)< 0

Нули: $[ x = 0 x = 7$

Решая неравенство методом интервалов, получаем

x∈ (0;7)

2.

$2 x − 49 > 0$

x2− 72 > 0 ⇔ (x − 7)(x+ 7)> 0

Нули: $[x = −7 x = 7$

Решая неравенство методом интервалов, получаем

x∈ (−∞; −7)∪(7;+∞ )

3.

$2 x − 7x > 0$

2 x − 7x> 0 ⇔ x(x− 7)> 0

Нули: $[ x = 0 x = 7$

Решая неравенство методом интервалов, получаем

x ∈ (− ∞;0)∪ (7;+∞ )

4.

$x2− 49 < 0$

2 2 x − 7 < 0 ⇔ (x − 7)(x+ 7)< 0

Нули: $[ x = −7 x = 7$

Решая неравенство методом интервалов, получаем

x∈ (−7;7)

Тогда на рисунке изображено решение неравенства под номером 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#46321

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

$−88$

$1) x2+ 64≥ 0$

$2) x2− 64≤ 0$

$3) x2− 64≥ 0$

$4) x2+ 64≤ 0$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Решим каждое из неравенств

1.: $x2+ 64 ≥ 0.$ Заметим, что $x2 ≥ 0$ при любом $x,$ значит, $x2+64 > 0.$ Таким образом, решением неравенства $x2+ 64≥ 0$ является $x ∈ℝ.$
2.: $2 x − 64 ≤ 0.$ Преобразуем левую часть и получим $(x − 8)(x+ 8)≤ 0 ⇒ −8 ≤x ≤ 8$
3.: $x2− 64 ≥ 0.$ Преобразуем левую часть и получим $[ (x − 8)(x+ 8)≥ 0 ⇒ x≤ −8 x≥ 8$
4.: $x2+ 64 ≤ 0.$ Заметим, что $x2 ≥ 0$ при любом $x,$ значит, $x2+64 > 0.$ Таким образом, решением неравенства $x2+ 64 ≤ 0$ является пустое множество, то есть $x∈ ∅.$

Значит, ответ — 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#99070

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

$−66$

$1) x2− 36> 0$

$2) x2+ 36> 0$

$3) x2− 36< 0$

$4) x2+ 36< 0$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

x2− 36> 0 (x− 6)(x +6)> 0

Нули:

x =6 x = −6

Имеем следующие знаки выражения:

$−6x—++6$

А значит, решение уравнения: $x∈ (−∞; −6)∪ (6;∞ )$

2) Заметим, что $2 x +36 >0$ при любом $x,$ так как $2 x ≥ 0.$ Поэтому решение уравнения $x ∈(−∞; ∞ ).$ Аналогичным образом, уравнение под номером 4 не имеет корней.