Тема 13. Неравенства, системы неравенств

13.03 Квадратные неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела неравенства, системы неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#57246

Укажите множество решений неравенства $x − x2 ≥0.$

$1)1$

$2)01$

$3)0$

$4)01$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

2 x − x ≥0 ⇔ x(1 − x)≥ 0

Решим неравенство методом интервалов.

Найдём нули:

x =0 1 − x = 0 ⇔ x= 1

$x01−+−$

Тогда $x ∈(0;1),$ и ответ 4.

Ответ: 4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#38707

Укажите решение неравенства $3x− x2 ≤ 0.$

1) $(−∞; 0]∪ [3;+ ∞)$

2) $[3;+ ∞)$

3) $[0;3]$

4) $[0;+ ∞)$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$pict$

Таким образом, нам подходит ответ номер 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#50556

Укажите решение неравенства $(x + 3)(x− 6)> 0.$

1) $(6;+ ∞ )$

2) $(−3;+∞ )$

3) $(−∞; −3)∪ (6;+∞ )$

4) $(−3;6)$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Решим неравенство методом интервалов.

(x+ 3)(x − 6)> 0

Найдём нули:

1.: $x+ 3= 0 ⇔ x = −3$
2.: $x− 6= 0 ⇔ x = 6$

$x−6+−+3$

Тогда $x ∈(− ∞;−3)∪ (6;+ ∞)$ и ответ 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#52695

Укажите решение неравенства $(x + 4)(x− 8)> 0.$

$1)−x4$

$2)−8x4$

$3)8x$

$4)−8x4$

Показать ответ и решение

Решим неравенство методом интервалов.

Найдем нули:

1.: $x+ 4= 0 ⇔ x = −4;$
2.: $x− 8= 0 ⇔ x = 8$

$x−8+−+4$

Тогда $x ∈(− ∞;−4)∪ (8;+ ∞),$ и ответ 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#54951

Укажите решение неравенства $x2− 49≥ 0.$

1) $[−7;7]$

2) нет решений

3) $(−∞; −7]∪[7;+∞ )$

4) $(−∞; +∞ )$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой разности квадратов и разложим выражение на множители:

x2− 49 ≥ 0 ⇔ (x − 7)(x+ 7)≥ 0

Решим неравенство методом интервалов.

Найдем нули:

$pict$

$x−7+−+7$

Тогда $x ∈(− ∞;−7]∪ [7;+∞ ),$ и ответ 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#42850

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

$01$

1) $x2− 1≤ 0$

2) $x2− x ≥0$

3) $x2− 1≥ 0$

4) $x2− x ≤0$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Решим каждое неравенство.

1.

$x2− 1≤ 0$

x2− 1≤ 0 ⇔ (x− 1)(x + 1) ≤0

Нули: $[ x = 1 x = −1$

Решая неравенство методом интервалов, получаем

x ∈[−1;1]

2.

$2 x − x≥ 0$

x2− x ≥0 ⇔ x(x − 1)≥ 0

Нули: $[x = 0 x = 1$

Решая неравенство методом интервалов, получаем

x∈ (− ∞;0]∪ [1;+∞ )

3.

$2 x − 1≥ 0$

2 x − 1≥ 0 ⇔ (x− 1)(x + 1) ≥0

Нули: $[ x = 1 x = −1$

Решая неравенство методом интервалов, получаем

x∈ (−∞; −1]∪[1;+∞ )

4.

$x2− x≤ 0$

2 x − x ≤0 ⇔ x(x − 1)≤ 0

Нули: $[ x = 0 x = 1$

Решая неравенство методом интервалов, получаем

x∈ [0;1]

Тогда на рисунке изображено решение неравенства под номером 4.

Ответ: 4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#55277

Укажите решение неравенства $25x2 ≥ 4.$

$1)−0,04,4$

$2)−0,04,4$

$3)−0,4$

$4)0,4$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

2 2 25x ≥ 4 ⇔ 25x − 4 ≥ 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

(5x)2− 22 ≥ 0 (5x− 2)(5x +2)≥ 0

Решим неравенство методом интервалов.

Найдём нули:

1.: $2 5x− 2= 0 ⇔ x = 5$
2.: $5x+ 2= 0 ⇔ x =− 2 5$

$22 x−5+−+5$

Нам подходят интервалы вещественной прямой под знаком "+". Тогда ответ под номером 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#43930

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

$−33$

$1) x2− 9> 0$

$2) x2+ 9> 0$

$3) x2− 9< 0$

$4) x2+ 9< 0$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Решим каждое неравенство:

1.: $x2− 9> 0 ⇔ (x− 3)(x+ 3)> 0.$
Решая неравенство методом интервалов, получаем
$x∈ (−∞; −3)∪(3;+∞ )$
2.: Так как $2 x ≥ 0$ для любого $x,$ то для любого $x$ верно: $2 x + 9> 0$
Значит, решением неравенства будет вся числовая прямая.
3.: $x2− 9< 0 ⇔ (x− 3)(x+ 3)< 0.$
Решая неравенство методом интервалов, получаем
$x∈ (−3;3)$
4.: Так как $x2 ≥ 0$ для любого $x,$ то для любого $x$ будет верно $x2+ 9> 0$
Значит, неравенство $2 x + 9< 0$ не имеет решений.

Так как на рисунке $x∈ (− ∞;− 3)∪(3;+∞ ),$ то ответ 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#41474

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

$01$

1) $x2− 1≥ 0$

2) $x2− x ≥0$

3) $x2− 1≤ 0$

4) $x2− x ≤0$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

1. Решим первое неравенство:

x2 − 1 = (x − 1)(x+ 1)≥ 0 ⌊{ ⌊ { | x − 1≥ 0 | x ≥1 [ ||{x + 1≥ 0 ⇔ || {x ≥− 1 ⇔ x ≥ 1 |⌈ x − 1≤ 0 |⌈ x ≤1 x ≤ −1 x + 1≤ 0 x ≤− 1

То есть $x∈ (− ∞;− 1]∪ [1;+ ∞),$ этот ответ не соответствует картинке.

2. Решим второе неравенство:

x2− x= x(x− 1)≥ 0 ⌊{ ⌊{ | x− 1≥ 0 | x ≥ 1 [ |||{ x≥ 0 ⇔ |||{x ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 ⌈ x− 1≤ 0 ⌈ x ≤ 1 x ≤ 0 x≤ 0 x ≤ 0

То есть $x∈ (− ∞;0]∪ [1;+∞ ),$ именно эти промежутки нарисованы на картинке.

Таким образом, ответ 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#42106

Укажите неравенство, которое не имеет решений.

$1) x2+ 78> 0$

$2) x2+ 78< 0$

$2 3) x − 78> 0$

$2 4) x − 78< 0$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

1.

$2 x + 78 > 0.$

Так как для любого $x$ верно, что $x2 ≥0,$ то для любого $x$ верно

2 x +78 > 0,

то есть решением этого неравенства будет $x ∈ ℝ.$

2.

$x2+ 78 < 0.$

У такого неравенства не будет решений, так как для любого $x$ верно

x2+ 78> 0

3.

$x2− 78 > 0.$

( √--)( √--) x2 − 78 >0 ⇔ x− 78 x + 78 > 0

Решая неравенство методом интервалов, получаем:

( √ -) (√ -- ) x∈ −∞; − 78 ∪ 78;+ ∞

4.

$x2− 78 < 0.$

( √--)( √--) x2 − 78 <0 ⇔ x− 78 x + 78 < 0

Решая неравенство методом интервалов, получаем:

( √-- √--) x ∈ − 78; 78

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#37285

Укажите неравенство, которое не имеет решений.

1) $x2− 3x− 11< 0$

2) $x2− 3x+ 11< 0$

3) $2 x − 3x+ 11> 0$

4) $2 x − 3x− 11> 0$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим многочлен $x2 − 3x − 11.$ Его дискриминант равен $D = 32+ 4⋅11= 53.$ Следовательно, многочлен имеет два нуля $x1$ и $x2,$ значит, неравенства 1) и 4) имеют решения.

Рассмотрим многочлен $2 x − 3x+ 11.$ Его дискриминант $2 D = 3 − 4 ⋅11 < 0.$ Следовательно, график $2 y = x − 3x+ 11$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх и которая не пересекает ось абсцисс. Тогда неравенство 2) не имеет решений.

Ответ: 2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#23446

Укажите неравенство, которое не имеет решений.

1) $x2+ 6x− 33> 0$

2) $x2+ 6x+ 33> 0$

3) $2 x + 6x− 33< 0$

4) $2 x + 6x+ 33< 0$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

2 2 2 x +6x +33 = x +2 ⋅3x + 9+ 24= (x + 3)+ 24

Так как $(x+ 3)2 ≥ 0,$ $24> 0,$ то $(x+ 3)2+ 24 > 0$ при любых значениях $x,$ а значит $(x + 3)2+ 24< 0$ не имеет решений.

То есть $x2+ 6x + 33 < 0$ не имеет решений.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#46321

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

$−88$

1) $x2+ 64≥ 0$

2) $x2− 64≤ 0$

3) $x2− 64≥ 0$

4) $x2+ 64≤ 0$

Показать ответ и решение

Решим каждое из неравенств

1.: $x2+ 64 ≥ 0.$ Заметим, что $x2 ≥ 0$ при любом $x,$ значит, $x2+64 > 0.$ Таким образом, решением неравенства $x2+ 64≥ 0$ является $x ∈ℝ.$
2.: $2 x − 64 ≤ 0.$ Преобразуем левую часть и получим $(x − 8)(x+ 8)≤ 0 ⇒ −8 ≤x ≤ 8$
3.: $x2− 64 ≥ 0.$ Преобразуем левую часть и получим $[ (x − 8)(x+ 8)≥ 0 ⇒ x≤ −8 x≥ 8$
4.: $x2+ 64 ≤ 0.$ Заметим, что $x2 ≥ 0$ при любом $x,$ значит, $x2+64 > 0.$ Таким образом, решением неравенства $x2+ 64 ≤ 0$ является пустое множество, то есть $x∈ ∅.$

Значит, ответ — 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#42802

Укажите решение неравенства $5x− x2 ≥ 0.$

$1)05x$

$2)05x$

$3)5x$

$4)0x$

Показать ответ и решение

2 5x− x ≥ 0

Домножим обе части неравенства на $− 1:$

2 x − 5x ≤ 0

Разложим на множители:

x(x− 5)≤ 0

Решая неравенство методом интервалов, получаем

x∈ [0;5]

Тогда ответом будет ось под номером 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#44272

Укажите решение неравенства $(x + 2)(x− 7)> 0.$

$1)7x$

$2)−x2$

$3)−7x2$

$4)−7x2$

Показать ответ и решение

Решим методом интервалов.

Найдём нули:

1.: $x+ 2= 0 ⇔ x = −2.$
2.: $x− 7= 0 ⇔ x = 7.$

$x−7+−+2$

Так как выражение должно быть больше 0, решением неравенства будут интервалы, которые отмечены на числовой прямой знаком « $+$ ». Значит, ответ 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#23447

Решите неравенство $x2− 64< 0.$

1) $(−∞; −8)∪ (8;+∞ )$

2) $(−∞; +∞ )$

3) $(−8;8)$

4) нет решений

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное неравенство:

2 2 2 x − 64< 0 ⇔ x − 8 < 0 ⇔ (x− 8)(x + 8) <0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$x−8+−+8$

Таким образом, $x ∈(− 8;8).$

Ответ: 3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#23445

Укажите неравенство, которое не имеет решений.

1) $x2− 15< 0$

2) $x2+ 15< 0$

3) $x2+ 15> 0$

4) $x2− 15> 0$

Показать ответ и решение

Так как $2 x ≥0,$ а $15> 0,$ то $2 x + 15> 0$ при любых значениях $x,$ следовательно, неравенство $2 x + 15< 0$ не имеет решений.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#45333

Укажите неравенство, которое не имеет решений.

1) $x2+ 64< 0$

2) $x2+ 64> 0$

3) $2 x − 64> 0$

4) $2 x − 64< 0$

Показать ответ и решение

Заметим, что $x2 ≥ 0.$

Рассмотрим первое неравенство. В нем оба слагаемых неотрицательны: $x2 ≥ 0,$ $64 >0.$ Сумма двух неотрицательных слагаемых не может быть отрицательной, следовательно, первое неравенство не имеет решений.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#42874

Укажите неравенство, которое не имеет решений.

1) $x2+ 6x− 51> 0$

2) $x2+ 6x− 51< 0$

3) $2 x + 6x+ 51> 0$

4) $2 x + 6x+ 51< 0$

Показать ответ и решение

Решим каждое неравенство методом интервалов:

1.

$2 x + 6x − 51> 0$

Найдём нули:

x2+ 6x− 51= 0 D = 36 +4 ⋅51> 0

Так как $D > 0,$ то у уравнения $x2+ 6x − 51 = 0$ два корня.

$PICT$

Так как выражение должно быть больше 0, решением неравенства будут интервалы, которые отмечены на числовой прямой знаком « $+$ ».

2.

$2 x + 6x − 51< 0$

Найдём нули:

x2+ 6x− 51= 0 D = 36 +4 ⋅51> 0

Так как $D > 0,$ то у уравнения $x2+ 6x − 51 = 0$ два корня.

$PICT$

Так как выражение должно быть меньше 0, решением неравенства будет интервал, который отмечен на числовой прямой знаком « $−$ ».

3.

$x2+ 6x + 51> 0$ Найдём нули:

x2+ 6x+ 51= 0 D = 36 − 4 ⋅51< 0

Так как $D < 0,$ то у уравнения $x2+ 6x + 51 = 0$ нет корней.

$PICT$

Так как выражение должно быть больше 0, решением неравенства будет вся числовая прямая.

4.

$2 x + 6x + 51< 0$ Найдём нули:

x2+ 6x+ 51= 0 D = 36 − 4 ⋅51< 0

Так как $D < 0,$ то у уравнения $x2+ 6x + 51 = 0$ нет корней.

$PICT$

Так как выражение должно быть меньше 0, решением неравенства должны быть промежутки, которые отмечены на числовой прямой знаком « $−$ ». Таких нет, поэтому данное неравенство не имеет решений.