Тема №14. Прогрессии

02 Арифметическая прогрессия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №14. прогрессии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#24354

В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как в каждом ряду на два места больше, чем в предыдущем, мы имеем дело с арифметической прогрессией. Нам известно, что

a =20, d = 2, n= 15, a =? 1 10

Воспользуемся формулой $n$ -ого члена арифметической прогрессии:

$pict$

Ответ: 38

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#105907

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 21 место, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в одиннадцатом ряду амфитеатра?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

a =21, d = 2, n= 12, a =? 1 11

Воспользуемся формулой $n$ -ого члена арифметической прогрессии:

$pict$

Ответ: 41

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#50557

В амфитеатре 30 рядов. В первом ряду 12 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2023 г. Вариант 34

Показать ответ и решение

Так как в каждом следующем ряду на 2 места больше, чем в предыдущем, то количества мест в каждом ряду образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 2.$ По условию в первом ряду 12 мест, то есть $a1 = 12.$ Найдём количество мест в 30 ряду по формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии

an = a1+ (n− 1)⋅d.

Тогда

a30 = 12+ (30− 1)⋅2 = 70.

Найдём количество мест в амфитеатре по формуле суммы арифметической прогрессии

Sn = a1+-an⋅n. 2

Таким образом,

S = S30 = 12+-70 ⋅30 = 41 ⋅30 = 1230. 2

Ответ: 1230

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#105972

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как в каждом следующем ряду на 2 места больше, чем в предыдущем, то количества мест в каждом ряду образуют арифметическую прогрессию с разностью $d =2.$ По условию в первом ряду 18 мест, то есть $a1 = 18.$ Найдём количество мест в последнем 12 ряду по формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии

an = a1+ (n− 1)⋅d.

Тогда

a12 = 18+ (12− 1)⋅2 = 40.

Найдём количество мест в амфитеатре по формуле суммы арифметической прогрессии

Sn = a1+-an⋅n. 2

Таким образом,

S = S12 = 18+-40⋅12= 29⋅12= 348. 2

Ответ: 348

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#105974

В амфитеатре 23 ряда, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В седьмом ряду 26 мест, а в одиннадцатом ряду 34 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем, то количества мест в каждом ряду составляют арифметическую прогрессию с разностью $d.$ По условию $a7 = 26,$ $a11 = 34.$

Тогда

a7+ 4d= a11 26+ 4d= 34 4d= 8 d= 2

По формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии

a7 =a1+ 6d 26= a1+ 6⋅2 26 =a1 +12 a1 = 14

Найдём количество мест в последнем ряду:

a23 = a1+ (23− 1)d= a1+ 22d= = 14+ 22⋅2= 14+ 44= 58.

Ответ: 58

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105975

В амфитеатре 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 26 мест, а в седьмом ряду 38 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Тогда

a3+ 4d= a7 26+ 4d= 38 4d= 12 d= 3

По формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии

a3 =a1+ 2d 26= a1+ 2⋅3 26= a1+ 6 a1 = 20

Найдём количество мест в последнем ряду:

a15 = a1+ (15− 1)d= a1+ 14d= = 20+ 14⋅3= 20+ 42= 62.

Ответ: 62

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105976

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту его температура уменьшалась на $6∘C.$ Найдите температуру вещества в градусах Цельсия через 4 минуты после начала опыта, если начальная температура вещества составляла $∘ − 7 C.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $a ∘n C$ — температура реагента в $n$ -ую минуту. Тогда в момент начала эксперимента знаем, что $a1 = −7.$ Температура уменьшается равномерно на одно и то же количество градусов, значит, мы имеем арифметическую прогрессию с разностью $d =− 6.$

Нам нужно посчитать $a5,$ воспользуемся формулой для арифметической прогрессии

a5 = a1+(5− 1)⋅d= = −7 +4 ⋅(− 6)= = −7 − 24 = −31.

Ответ: -31

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#105977

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту его температура уменьшалась на $8∘C.$ Найдите температуру вещества в градусах Цельсия через 6 минут после начала опыта, если начальная температура вещества составляла $∘ − 6 C.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $a ∘n C$ — температура реагента в $n$ -ую минуту. Тогда в момент начала эксперимента знаем, что $a1 = −6.$ Температура уменьшается равномерно на одно и то же количество градусов, значит, мы имеем арифметическую прогрессию с разностью $d =− 8.$

Нам нужно посчитать $a7,$ воспользуемся формулой для арифметической прогрессии

a7 = a1+(7− 1)⋅d= = −6 +6 ⋅(− 8)= = −6 − 48 = −54.

Ответ: -54

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105982

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 27 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 6 секунд торможения?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как в каждую следующую секунду автомобиль проезжал на одно и то же количество метров меньше, чем в предыдущую, то такие расстояния образуют убывающую арифметическую прогрессию с разностью $d = −4.$ По условию $a1 = 27.$

По формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии

a6 =a1 +5d = = 27+ 5 ⋅(−4) = =27 − 20 =7.

Найдём суммарное расстояние, которое проехал автомобиль за первые 6 секунд торможения:

a1+-an S6 = 2 ⋅n= 27+-7 = 2 ⋅6= 17⋅6 = 102.

Ответ: 102

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#105983

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 21 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 7 секунд торможения?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии

a7 =a1 +6d = = 21+ 6 ⋅(−3) = =21 − 18 =3.

Найдём суммарное расстояние, которое проехал автомобиль за первые 7 секунд торможения:

a1+-an S7 = 2 ⋅n= 21+-3 = 2 ⋅7 = 12⋅7= 84.

Ответ: 84

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#105986

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 45 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 9 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По условию каждую следующую секунду автомобиль проезжал на 9 метров меньше, чем в предыдущую. Найдем эти расстояния.

За первую секунду автомобиль проехал 45 м.

За вторую секудну автомобиль проехал $45− 9= 36$ м.

За третью секунду автомобиль проехал $36 − 9= 27$ м.

За четвертую секунду автомобиль проехал $27− 9 =18$ м.

За пятую секунду автомобиль проехал $18− 9= 9$ м.

За шестую секунду автомобиль проехал $9− 9= 0$ м.

Таким образом, автомобиль остановился за первые 5 секунд. Тогда суммарно он проехал

S = 45+ 36+ 27 +18 +9 = = 45+-9⋅5 =27 ⋅5 = 135 м. 2

Ответ: 135

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#105987

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 36 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 6 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По условию каждую следующую секунду автомобиль проезжал на 6 метров меньше, чем в предыдущую. Найдем эти расстояния.

За первую секунду автомобиль проехал 36 м.

За вторую секудну автомобиль проехал $36− 6= 30$ м.

За третью секунду автомобиль проехал $30 − 6= 24$ м.

За четвертую секунду автомобиль проехал $24− 6 =18$ м.

За пятую секунду автомобиль проехал $18− 6= 12$ м.

За шестую секунду автомобиль проехал $12− 6= 6$ м.

За седьмую секунду автомобиль проехал $6− 6= 0$ м.

Таким образом, автомобиль остановился за первые 6 секунд. Тогда суммарно он проехал

S = 36+ 30+ 24 + 18 +12 +6 = = 36+-6⋅6 =21 ⋅6 = 126 м. 2

Ответ: 126

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#106170

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,2 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,6 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 7 секунд движения?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как в каждую следующую секунду поезд проезжал на одно и то же количество метров больше, чем в предыдущую, то такие расстояния образуют возрастающую арифметическую прогрессию с разностью $d = 0,6.$ По условию $a1 = 0,2.$

По формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии

a7 =a1 +6d = = 0,2+ 6⋅0,6= = 0,2+ 3,6= 3,8.

Найдём суммарное расстояние, которое проехал поезд за первые 7 секунд движения:

a1+-an S7 = 2 ⋅n= 0,2+-3,8- = 2 ⋅7= 2⋅7 =14.

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#106171

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,2 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,4 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 10 секунд движения?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии

a10 = a1+ 9d= = 0,2+ 9⋅0,4= = 0,2+ 3,6= 3,8.

Найдём суммарное расстояние, которое проехал поезд за первые 10 секунд движения:

a1+-an- S10 = 2 ⋅n= 0,2+-3,8 = 2 ⋅10= 2⋅10= 20.

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#24359

Камень бросают в глубокое ущелье. За первую секунду он пролетает 7 м, а за каждую следующую секунду на 10 м больше, чем за предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые 6 секунд?

Показать ответ и решение

В данной задаче мы имеем дело с арифметической прогрессией, начальный член $a1$ и разность $d$ которой равны 7 и 10 соответственно.

Значит, по формуле суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии

Sn = 2a1+-(n-−-1)d-⋅n 2

мы можем найти количество метров, которое камень пролетит за 6 секунд:

S = 2⋅7+-(6−-1)-⋅10-⋅6= (14 +50)⋅3 =192 м 6 2

Ответ: 192

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#43606

Камень бросают в глубокое ущелье. За первую секунду он пролетает 13 м, а за каждую следующую секунду на 10 м больше, чем за предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые 5 секунд?

Показать ответ и решение

Обозначим за $ak$ расстояние, которое камень пролетает за $k-ую$ секунду.

Так как за каждую следующую секунду камень пролетает на 10 метров больше, то

1.: $a1 = 13 м;$
2.: $a2 = 13+ 10 м = 23 м;$
3.: $a3 = 23+ 10 м = 33 м;$
4.: $a4 = 33+ 10 м = 43 м;$
5.: $a5 = 43+ 10 м = 53 м.$

Найдём сумму первых пяти чисел арифметической прогрессии:

S5 = a1+-a5⋅5 = 13+-53⋅5= 33⋅5 =165. 2 2

Ответ: 165

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#24355

Известно, что на высоте 2205 м над уровнем моря атмосферное давление составляет 550 мм рт. ст. Считая, что при подъёме на каждые 10,5 м давление уменьшается примерно на 1 мм рт. ст., определите атмосферное давление на высоте 1995 м над уровнем моря.

Показать ответ и решение

Найдем разность высот:

h = 2205 − 1995 м= 210 м.

Так как при подъеме на каждые $10,5$ м давление уменьшается на 1 мм рт. ст., то при спуске на 210 м давление увеличится на

210- 10,5 мм рт. ст.= 20 мм рт. ст..

Таким образом, на высоте 1995 м над уровнем моря давление будет:

550+ 20 мм рт. ст.= 570 мм рт. ст.

Ответ: 570

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#40175

Известно, что на высоте 2205 м над уровнем моря атмосферное давление составляет 550 мм рт. ст. Считая, что при подъёме на каждые $10,5$ м давление уменьшается примерно на 1 мм рт. ст., определите атмосферное давление на высоте 2415 м над уровнем моря.

Показать ответ и решение

Найдем разность высот:

h = 2415 − 2205 м= 210 м.

Так как каждые $10,5$ м давление уменьшается на 1 мм рт. ст., то давление уменьшится на

210- 10,5 мм рт. ст.= 20 мм рт. ст..

Таким образом, на высоте 2415 м над уровнем моря давление будет:

550− 20 мм рт. ст.= 530 мм рт. ст.

Ответ: 530

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#42107

Показать ответ и решение

Найдем разность высот:

h = 2520 − 2205 м= 315 м.

Так как каждые $10,5$ м давление уменьшается на 1 мм рт. ст., то давление уменьшится на

315- 10,5 мм рт. ст.= 30 мм рт. ст..

Таким образом, на высоте 2520 м над уровнем моря давление будет:

550− 30 мм рт. ст.= 520 мм рт. ст.

Ответ: 520

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#45673

В амфитеатре 20 рядов. В первом ряду 56 мест, а в каждом следующем — на 2 места меньше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Показать ответ и решение

Обозначим за $ak$ количество мест в $k$ -ом ряду. Так как в каждом следующем ряду на 2 места меньше, чем в предыдущем, то числа $ak$ образуют арифметическую прогрессию с $d= − 2.$ В первом ряду 56 мест, поэтому $a1 = 56.$

Найдём $a20 :$

a20 = a1+ 19d= 56− 19⋅2= 18

Найдём количество мест в амфитеатре, то есть сумму мест в 20 рядах:

S20 = a1+-a20-⋅20 = 56+-18⋅20= 740 2 2

Ответ: 740