Тема 14. Задачи на прогрессии

14.02 Арифметическая прогрессия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на прогрессии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#24354

В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как в каждом ряду на два места больше, чем в предыдущей, мы имеем дело с арифметической прогрессией.

a1 = 20, d = 2, n = 15, a10 =?

Воспользуемся формулой $k$ -ого члена арифметической прогрессии:

$pict$

Ответ: 38

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#50557

В амфитеатре 30 рядов. В первом ряду 12 мест, а в каждом следующем — на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в амфитеатре?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как в каждом следующем ряду на 2 места больше, чем в предыдущем, то количество мест в каждом ряду образует арифметическую прогрессию с разностью $d = 2.$ По условию в первом ряду 12 мест, то есть $a1 = 12.$ Найдём количество мест в 30 ряду по формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии:

a30 =a1 +29 ⋅d = 12+ 29 ⋅2= 70

Найдём количество мест в амфитеатре по формуле суммы арифметической прогрессии:

S = a1+-a30⋅30= 12+-70⋅30 =82 ⋅15 = 1230 2 2

Ответ: 1230

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#55278

В амфитеатре 24 ряда, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в седьмом ряду 31 место. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем, то количества мест в каждом ряду составляют арифметическую прогрессию с разностью $d.$ По условию $a5 = 27,$ $a7 = 31.$

Тогда

a5+ 2d= a7 27+ 2d= 31 2d= 4 d= 2

По формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии

a5 =a1+ 4d 27= a1+ 4⋅2 27= a + 8 1 a1 = 19

Найдём количество мест в последнем ряду:

a24 = a1+ 23d= 19+ 23⋅2= 19+ 46= 65

Ответ: 65

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#46983

При проведении химического опыта реагент равномерно охлаждали на $5,6 ∘C$ в минуту. Найдите температуру реагента (в градусах Цельсия) спустя 5 минут после начала проведения опыта, если начальная температура составляла $∘ +6,2 C.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как реагент охлаждался равномерно, то значения температуры реагента в каждую минуту образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = −5,6.$ Так как начальная температура равна $+6,2 ∘C,$ то $a1 = 6,2.$ Необходимо найти температуру спустся 5 минут, то есть $a6.$ По формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии

a6 = a1+ 5d= 6,2− 5⋅5,6 = −21,8

Ответ: -21,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#24359

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 7 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые шесть секунд?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

В данной задаче мы имеем дело с арифметической прогрессией, начальный член $a1$ и разность $d$ которой равны 7 и 10 соответственно.

Значит, по формуле суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии

Sn = 2a1+-(n-−-1)d-⋅n 2

мы можем найти количество метров, которое камень пролетит за 6 секунд:

S = 2⋅7+-(6−-1)-⋅10-⋅6= (14 +50)⋅3 =192 м 6 2

Ответ: 192

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#24355

Известно, что на высоте 2205 м над уровнем моря атмосферное давление составляет 550 мм рт. ст. Считая, что при подъёме на каждые 10,5 м давление уменьшается примерно на 1 мм рт. ст., определите атмосферное давление на высоте 1995 м над уровнем моря.

Показать ответ и решение

Найдем разность высот:

h = 2205 − 1995 м= 210 м.

Так как при подъеме на каждые $10,5$ м давление уменьшается на 1 мм рт. ст., то при спуске на 210 м давление увеличится на

210- 10,5 мм рт. ст.= 20 мм рт. ст..

Таким образом, на высоте 1995 м над уровнем моря давление будет:

550+ 20 мм рт. ст.= 570 мм рт. ст.

Ответ: 570

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#40175

Известно, что на высоте 2205 м над уровнем моря атмосферное давление составляет 550 мм рт. ст. Считая, что при подъёме на каждые $10,5$ м давление уменьшается примерно на 1 мм рт. ст., определите атмосферное давление на высоте 2415 м над уровнем моря.

Показать ответ и решение

Найдем разность высот:

h = 2415 − 2205 м= 210 м.

Так как каждые $10,5$ м давление уменьшается на 1 мм рт. ст., то давление уменьшится на

210- 10,5 мм рт. ст.= 20 мм рт. ст..

Таким образом, на высоте 2415 м над уровнем моря давление будет:

550− 20 мм рт. ст.= 530 мм рт. ст.

Ответ: 530

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#42107

Показать ответ и решение

Найдем разность высот:

h = 2520 − 2205 м= 315 м.

Так как каждые $10,5$ м давление уменьшается на 1 мм рт. ст., то давление уменьшится на

315- 10,5 мм рт. ст.= 30 мм рт. ст..

Таким образом, на высоте 2520 м над уровнем моря давление будет:

550− 30 мм рт. ст.= 520 мм рт. ст.

Ответ: 520

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#43992

В амфитеатре 14 рядов, причем в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Показать ответ и решение

В данной задаче мы имеем дело с арифметической прогрессией, 5-й и 8-й члены которой равны 27 и 36 соответственно. Тогда мы можем найти начальный член и разность этой прогрессии. Выразим 5-й и 8-й члены прогрессии через начальный член $a1$ и разность $d :$

{ a5 = a1+ 4d a8 = a1+ 7d

Тогда

a8− a5 = (a1+ 7d)− (a1+ 4d) 36− 27= 3d 3d= 9 d= 3

Значит,

a1 = a5− 4d = 27− 4⋅3= 15

Тогда в 14-ом ряду амфитеатра ровно

a14 = a1+ 13d= 15+ 13⋅3= 15+ 39= 54

Ответ: 54

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#45673

В амфитеатре 20 рядов. В первом ряду 56 мест, а в каждом следующем — на 2 места меньше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Показать ответ и решение

Обозначим за $ak$ количество мест в $k$ -ом ряду. Так как в каждом следующем ряду на 2 места меньше, чем в предыдущем, то числа $ak$ образуют арифметическую прогрессию с $d= − 2.$ В первом ряду 56 мест, поэтому $a1 = 56.$

Найдём $a20 :$

a20 = a1+ 19d= 56− 19⋅2= 18

Найдём количество мест в амфитеатре, то есть сумму мест в 20 рядах:

S20 = a1+-a20-⋅20 = 56+-18⋅20= 740 2 2

Ответ: 740

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#45335

При проведении химического опыта реагент равномерно охлаждали на $4,3∘ C$ в минуту. Найдите температуру реагента (в градусах Цельсия) спустя 6 минут после начала проведения опыта, если начальная температура составляла $∘ +9,8 C.$

Показать ответ и решение

Пусть $an$ — температура реагента в минуту $n.$ Тогда в момент начала эксперимента знаем $a1 = 9,8.$ Температура уменьшается равномерно на одно и то же количество градусов, значит, мы имеем арифметическую прогрессию с разностью $d =− 4,3.$

Нам нужно посчитать $a7,$ воспользуемся формулой для арифметической прогрессии

a7 = a1+ (7− 1)⋅d= 9,8− 6⋅(−4,3) =9,8− 25,8= −16

Ответ: -16

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#45459

При проведении химического опыта реагент равномерно охлаждали на $7,5 ∘C$ в минуту. Найдите температуру реагента (в градусах Цельсия) спустя 6 минут после начала проведения опыта, если начальная температура составляла $∘ − 8,7 C.$

Показать ответ и решение

Обозначим за $ak$ температуру реагента в $k$ -ую минуту. Так как реагент охлаждается равномерно, то числа $ak$ образуют арифметическую прогрессию. По условию начальная температура составляла $− 8,7 ∘C,$ то есть $a1 = −8,7 ∘C.$

Найдем температуру спустя 6 минут после начала опыта, то есть $a7 :$

a7 = −8,7+ 6⋅(−7,5)= −8,7− 3⋅15= −53,7

Ответ: -53,7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#42137

Курс воздушных ванн начинают с 10 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 5 минут. В какой по счёту день продолжительность процедуры достигнет 1 часа 5 минут?

Показать ответ и решение

Первый способ

Время процедуры в каждый следующий день увеличивают на 5 минут. Тогда мы получаем арифметическую прогрессию, где $a1 =10, d= 5.$

Пусть $n$ — день, в который продолжительность процедуры достигнет 1 часа 5 минут, то есть 65 минут. Тогда $an = 65.$

Воспользуемся формулой $n$ члена арифметической прогрессии

an = a1+ d(n− 1) 65= 10+ 5(n− 1) 55= 5n− 5 60= 5n n= 12

Таким образом, ответ 12.

Второй способ

Посчитаем, сколько раз мы прибавили 5 минут к 10 минутам, чтобы получить 65 минут

65− 10= 55 55 -5 = 11

То есть мы увеличивали время на 5 минут 11 раз. В первый день процедура длилась 10 минут, а затем мы 11 раз увеличивали время на 5 минут. Тогда ответ $11+ 1 =12.$

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#43606

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 13 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?

Показать ответ и решение

Обозначим за $ak$ расстояние, которое камень пролетает за $k-ую$ секунду.

Так как за каждую следующую секунду камень пролетает на 10 метров больше, то

1.: $a1 = 13$ м;
2.: $a2 = 13+ 10 м = 23$ м;
3.: $a3 = 23+ 10 м = 33$ м;
4.: $a4 = 33+ 10 м = 43$ м;
5.: $a5 = 43+ 10 м = 53$ м.

Найдём сумму первых пяти чисел арифметической прогрессии:

S1−5 = a1+-a5 ⋅5 = 13+-53⋅5= 33⋅5 = 165 2 2

Ответ: 165

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#24358

В течение 20 банковских дней акции компании дорожали ежедневно на одну и ту же сумму. Сколько стоила акция компании в последний день этого периода, если в 9-й день акция стоила 555 рублей, а в 13-й день — 631 рубль?

Показать ответ и решение

В этой задаче мы имеем дело с арифметической прогрессией. Запишем известные нам данные:

a9 = 555,a13 = 631

Запишем формулу для $a13$ через $a9$ :

a = a + (13− 9)⋅d ⇔ 631 = 555 + 4d ⇔ 76 = 4d ⇔ d = 19 13 9

Нам нужно найти $a20$ , запишем его через $a13$ :

a = a +(20 − 13) ⋅19 = 631+ 7⋅19 = 764 20 13

Ответ: 764

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#43931

В течение 20 банковских дней акции компании дорожали ежедневно на одну и ту же сумму. Сколько стоила акция компании в последний день этого периода, если в 9-й день акция стоила 999 рублей, а в 13-й день — 1063 рубля?

Показать ответ и решение

Так как акции компании дорожали на одну и ту же сумму, то стоимости акций образуют арифметическую прогрессию.

Обозначим за $ak$ стоимость акции в $k$ -ый день, за $d$ — разность арифметической прогрессии. В 9-ый день акция стоила 999 рублей, в 13-ый — 1063 рубля, поэтому $a9 = 999, a13 = 1063.$

Воспользуемся формулой $n$ -го члена арифметической прогрессии:

a9 =a1+ 8d a13 =a1 +12d ⇒ ⇒ a13− a9 = a1+ 12d− a1− 8d= 4d ⇒ a13− a9 1063 − 999 64 ⇒ d = --4----= ---4-----= 4-= 16

Найдём стоимость акции в 20-ый день:

a20 = a1+ 19d= a9+ 11d = 999 + 11 ⋅16 = 1175

Ответ: 1175

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#28204

К концу 2007 года в городе проживало 42900 человек. Каждый год число жителей города возрастало на одну и ту же величину. В конце 2018 года в городе проживало 51810 человек. Какова была численность населения этого города к концу 2015 года?

Показать ответ и решение

За 11 лет численность города увеличилась на $51810 − 42900= 8910$ человек. Значит, за год численность увеличивалась на $8910 :11= 810$ человек. Тогда в конце 2015 года в городе проживало

42900+ 810 ⋅(2015− 2007) =42900+ 810⋅8= 49380 человек

Ответ: 49380

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#54952

К концу 2009 года в городе проживало 53100 человек. Каждый год число жителей города возрастало на одну и ту же величину. В конце 2018 года в городе проживало 60390 человек. Какова была численность населения этого города к концу 2015 года?

Показать ответ и решение

Так как число жителей города возрастало на одну и ту же величину, то количество жителей в каждый год образуют арифметическую прогрессию с разностью $d.$ Пусть $a1$ — число жителей к концу 2009 года. По условию $a1 = 53100.$ К концу 2018 года численность населения стала 60390 человек, то есть $a10 = 60390.$ Нужно найти количество жителей к концу 2015 года, то есть $a7.$

По формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии

a10 =a1 +(n− 1)d a10 = a1+ 9d 53100+ 9d= 60390 9d =7290 d =810

Найдём $a : 7$

a7 = a1+ 6d= 53100 + 6⋅810 = 53100+ 4860= 57960

Ответ: 57960

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#43691

Грузовик перевозит партию щебня массой 221 тонна, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 5 тонн щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено в последний день, если вся работа была выполнена за 13 дней.

Показать ответ и решение

По условию массы, перевезенные грузовиком за 13 дней, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a1 =5.$ При этом в прогрессии ровно 13 членов, а их сумма равна $S13 = 221.$