Тема 16. Окружность

16.04 Описанная и вписанная окружности

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела окружность

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#42497

Угол $A$ четырёхугольника $ABCD,$ вписанного в окружность, равен $37∘.$ Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Сумма противоположных углов вписанного в окружность четыругольника равна $180∘.$ То есть

∠A +∠C = 180∘ ∠C =180∘− ∠A = 180∘− 37∘ =143∘

Ответ: 143

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#45676

Угол $A$ четырёхугольника $ABCD,$ вписанного в окружность, равен $33∘.$ Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$ABCD$ — вписанный четырёхугольник. По свойству вписанного четырёхугольника

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠A +∠C =180 ⇒ ∠C = 180 − ∠A = 180 − 33 = 147

Ответ: 147

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#61037

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC,$ вписанной в окружность, равен $83∘.$ Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

По свойству трапеции

∘ ∘ ∘ ∘ ∠A + ∠B = 180 ⇒ ∠B = 180 − 83 = 97 .

Ответ: 97

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#54954

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC,$ вписанной в окружность, равен $77∘.$ Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

По свойству вписанного четырёхугольника

∘ ∘ ∘ ∘ ∠A + ∠C = 180 ⇒ ∠C = 180 − 77 = 103

Ответ: 103

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#82571

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $√- 15 2.$ Найдите длину стороны этого квадрата.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $ABCD$ — квадрат. $∠ADC$ — вписанный и равен $90∘.$ Тогда $AC$ — диаметр. По условию радиус окружности равен $√ - 15 2,$ тогда

AC = 2 ⋅15√2-= 30√2

Рассмотрим треугольник $ACD.$ Пусть $AD = x.$ Так как все стороны квадрата равны, то $CD = AD = x.$ По теореме Пифагора

AC2 = AD2 + CD2 = x2+ x2 = 2x2 ⇒ ∘------- ∘-AC2 (30√2-)2 ∘ 302⋅2- ⇒ x = -2--= ---2---= --2--= 30

Значит, сторона квадрата равна 30.

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#82572

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 5.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Докажем, что сторона квадрата равна удвоенному радиусу вписанной в него окружности.

Пусть $ABCD$ — квадрат, точка $O$ — центр вписанной в квадрат окружности, точка $K$ — точка касания окружности со стороной $BC,$ точка $L$ — точка касания окружности со стороной $AD.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OK ⊥ BC,$ $OL ⊥ AD.$ $BC ∥ AD,$ значит, $OK ⊥ AD.$ Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, тогда точки $K, O, L$ лежат на одной прямой.

$CD ⊥ AD,$ $KL ⊥ AD,$ значит, $KL ∥CD.$ Тогда $KCDL$ @— параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $KL = CD.$ $OK = OL$ как радиусы, поэтому

CD =2 ⋅OK = 2⋅5= 10

Тогда площадь квадрата равна $10⋅10= 100.$

Ответ: 100

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#26586

Высота трапеции равна 24. Найдите радиус окружности, вписанной в эту трапецию.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь трапеции можно найти по формуле $S = pr$ , где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности.

Так как трапеция описана около окружности, то $AB + CD = AD + BC$ , откуда

p = 1(AB + BC + CD + AD ) = 1(2AD + 2BC ) = AD + BC 2 2

Получаем, что

S = (AD +BC )⋅r

С другой стороны, площадь трапеции можно найти по формуле $S = 1(AD + BC )⋅h 2$ , где $h$ — высота трапеции. Тогда

1 1 (AD + BC )⋅r = 2(AD + BC )⋅h ⇒ r = 2h

Подставим $h = 24$ и получим $r = 12$

Ответ: $12$

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#40184

Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 8,BC =12,CD = 13.$ Найдите $AD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Четырехугольник $ABCD$ – описанный около окружности. По свойству описанного четырехугольника суммы противоположных сторон равны, поэтому:

AB + CD = BC +AD AD = AB + CD − BC = 8+ 13− 12 см =9 см

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#42336

Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 22. Найдите высоту этой трапеции.

$PIC$

Показать ответ и решение

Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен половине высоты трапеции, значит, высота трапеции равна $2⋅22 =44.$

Ответ: 44

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#42451

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $√ - 7 2.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $√- r = 7 2$ . Требуется найти $R.$ Знаем, что $r$ равен половине стороны квадрата, следовательно, сторона квадрата равна $√- 14 2$ . Радиус $R$ описанной около квадрата окружности равен половине диагонали квадрата и, так как диагональ квадрата равна стороне квадрата, умноженной на $√- 2$ , имеем $1( √- √-) R = 2 14 2 ⋅ 2 = 14$ .

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#48491

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $√- 42 2.$ Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $ABCD$ — квадрат. $∠ADC$ — вписанный и равен $90∘.$ Тогда $AC$ — диаметр. По условию радиус окружности, описанной около квадрата, равен $√ - 42 2.$ Значит,

AC = 2 ⋅42√2-= 84√2

Рассмотрим треугольник $ACD.$ Пусть $AD = x.$ Так как все стороны квадрата равны, то $CD = AD = x.$ По теореме Пифагора

AC2 = CD2 + AD2 = x2+ x2 = 2x2 ⇒ ∘ ---- ∘ (--√-)- AC2- -84-2-2 ⇒ x= 2 = 2 =84

Докажем, что радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны.

Пусть точка $O$ — центр вписанной в квадрат окружности, точка $K$ — точка касания окружности со стороной $BC,$ точка $L$ — точка касания окружности со стороной $AD.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OK ⊥ BC, OL ⊥ AD.$ $BC ∥AD,$ значит, $OK ⊥ AD.$ Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, тогда точки $K, O, L$ лежат на одной прямой.

$CD ⊥ AD, KL ⊥ AD,$ значит, $KL ∥ CD.$ Тогда $KCDL$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $KL = CD.$ $OK = OL$ как радиусы, значит,

OK =OL = CD-= 84 = 42 2 2

Ответ: 42

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#48496

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 16. Найдите высоту этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как треугольник $ABC$ — равносторонний, то все углы по $60∘.$ Пусть $R$ — радиус описанной окружности. По теореме синусов

AB ∘ √3 √- sin∠BCA--= 2R ⇒ AB = 2R ⋅sin 60 =2 ⋅16⋅-2-= 16 3

Проведём высоту $BH$ треугольника $ABC.$ В треугольнике $BCH$ $BH sin∠BCH = BC-.$ Тогда

∘ √- √3 BH = BC sin60 = 16 3 ⋅-2-= 8⋅3= 24

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#57248

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис.

Так как треугольник равносторонний, то каждая биссектриса являeтся медианой и высотой. Значит, точка пересечения биссектрис в равностороннем треугольнике — точка пересечения медиан и высот.

Обозначим точку пересечения биссектрис, медиан и высот за $O, AH$ — высота, биссектриса и медиана.