Тема №16. Окружности

04 Вписанные окружности

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №16. окружности

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#116407

Сторона равностороннего треугольника равна $√- 18 3.$ Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Проведём высоту $BH$ треугольника $ABC.$

Рассмотрим треугольник $BHC.$ Так как в равностороннем треугольнике все углы по $60∘,$ то $∠BCH =60∘,$ $sin∠BCH = BBHC-.$ Тогда

∘ √ - √3- BH = BC ⋅sin60 =18 3⋅ 2 = 27

Пусть точка $O$ — центр вписанной окружности. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника. В равностороннем треугольнике биссектрисы совпадают с медианами и высотами, поэтому точка $O$ также является точкой пересечения высот и медиан. По свойству медианы треугольника

BO 2 1 1 OH- = 1 ⇒ OH = 3BH = 3 ⋅27= 9

$OH$ — радиус окружности, поэтому радиус вписанной окружности равен 9.

Ответ: 9

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#98351

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $√ - 10 3.$ Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 3

Показать ответ и решение

В справочных материалах есть формула длины радиуса вписанной окружности правильного треугольника. Правильный треугольник и равносторонний треугольник — это одно и то же. По формуле $√- r = a-3-, 6$ где $r,$ $a$ — радиус вписанной окружности и сторона треугольника соответственно. Тогда

√- 10√3 = a-3- 6 10√3 ⋅6= a√3 10 ⋅6= a a= 60

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#116408

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $√ - 5 3.$ Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

√ - 5√3 = a--3 √- 6√ - 5 3⋅6 =a 3 5⋅6 =a a= 30

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#116409

Периметр треугольника равен 54, одна из сторон равна 15, а радиус вписанной в него окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. Периметр треугольника по условию равен 54, следовательно, полупериметр треугольника равен $54-= 27. 2$ Найдём площадь треугольника:

S = 27⋅1= 27

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#40184

Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 8,BC =12,CD = 13.$ Найдите $AD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Четырехугольник $ABCD$ – описанный около окружности. По свойству описанного четырехугольника суммы противоположных сторон равны, поэтому:

AB + CD = BC +AD AD = AB + CD − BC = 8 +13 − 12 =9

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#97936

Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 11,$ $BC = 13,$ $CD =12.$ Найдите $AD.$

$ABCD$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 1

Показать ответ и решение

У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны. Используя данный факт, имеем:

AB + CD = BC + AD,

откуда

AD = AB + CD − BC = 11+ 12− 13= 10.

Ответ: 10

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#26585

Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB = 9,$ $BC = 7,$ $CD = 11.$ Найдите $AD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как четырехугольник $ABCD$ описан около окружности, то $AB + CD =BC +AD,$ значит,

AD = AB + CD − BC = 9+ 11− 7= 13.

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#26586

Высота трапеции равна 24. Найдите радиус окружности, вписанной в эту трапецию.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь трапеции можно найти по формуле $S = pr,$ где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности.

Так как трапеция описана около окружности, то $AB +CD =AD +BC,$ откуда

p= 1(AB + BC + CD + AD )= 1(2AD + 2BC) =AD +BC. 2 2

Получаем, что

S = (AD + BC )⋅r.

С другой стороны, площадь трапеции можно найти по формуле $S = 12(AD + BC)⋅h,$ где $h$ — высота трапеции. Тогда

1 (AD + BC )⋅r = S = 2(AD +BC )⋅h 1 (AD + BC) ⋅r = 2(AD + BC)⋅h 1 r = 2h

Подставим $h = 24$ и получим $r =12.$

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#43933

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 12. Найдите высоту этой трапеции.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть точки $K$ и $M$ — точки касания $BC$ и $AD$ с окружностью. Так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то

OK ⊥BC OM ⊥ AD ⇒ OM ⊥ BC

Значит, точки $O,$ $M$ и $K$ лежат на одной прямой, так как прямые, перепендикулярные третьей прямой, параллельны. Тогда $KM$ — высота. Так как $OM$ и $OK$ — радиусы, то

KM = OM + OK = 12 + 12 = 24

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#116453

Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 18. Найдите высоту этой трапеции.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть точки $K$ и $H$ — точки касания окружности со сторонами $CD$ и $AB$ трапеции $ABCD$ соответственно. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому $OK ⊥ CD, OH ⊥AB.$ Так как $AB ∥ CD,$ то $OK ⊥ AB,$ а значит, точки $O, K, H$ лежат на одной прямой, то есть $KH$ — высота трапеции $ABCD.$

Таким образом, высота равна двум радиусам вписанной окружности, то есть $18⋅2 = 36.$

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#116459

Сторона квадрата равна 62. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Докажем, что радиус вписанной в квадрат окружности равен половине стороны квадрата.

Пусть $ABCD$ — квадрат, точка $O$ — центр вписанной в квадрат окружности, точка $K$ — точка касания окружности со стороной $BC,$ точка $L$ — точка касания окружности со стороной $AD.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OK ⊥ BC, OL ⊥ AD.$ $BC ∥AD,$ значит, $OK ⊥ AD.$ Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, тогда точки $K, O, L$ лежат на одной прямой.

$CD ⊥ AD, KL ⊥ AD,$ значит, $KL ∥ CD.$ Тогда $KCDL$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $KL = CD.$ $OK = OL$ как радиусы, поэтому

CD 62 OK = -2-= 2-= 31.

Значит, радиус вписанной окружности равен 31.

Ответ: 31

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#82572

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 5.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Докажем, что сторона квадрата равна удвоенному радиусу вписанной в него окружности.

Пусть $ABCD$ — квадрат, точка $O$ — центр вписанной в квадрат окружности, точка $K$ — точка касания окружности со стороной $BC,$ точка $L$ — точка касания окружности со стороной $AD.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OK ⊥ BC,$ $OL ⊥ AD.$ $BC ∥ AD,$ значит, $OK ⊥ AD.$ Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, тогда точки $K, O, L$ лежат на одной прямой.

$CD ⊥ AD,$ $KL ⊥ AD,$ значит, $KL ∥CD.$ Тогда $KCDL$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $KL = CD.$ $OK = OL$ как радиусы, поэтому

CD =2 ⋅OK = 2⋅5= 10

Тогда площадь квадрата равна $10⋅10= 100.$

Ответ: 100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#116461

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $√ - 10 2.$ Найдите диагональ этого квадрата.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $ABCD$ — квадрат, точка $O$ — центр вписанной в квадрат окружности. Докажем, что сторона квадрата равна удвоенному радиусу вписанной окружности.

Пусть точка $K$ — точка касания окружности со стороной $BC,$ точка $L$ — точка касания окружности со стороной $AD.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OK ⊥ BC, OL ⊥ AD.$ $BC ∥AD,$ значит, $OK ⊥ AD.$ Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, тогда точки $K, O, L$ лежат на одной прямой.

$CD ⊥ AD, KL ⊥ AD,$ значит, $KL ∥ CD.$ Тогда $KCDL$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD =KL = 2OK,$ так как $OK = OL$ как радиусы. Тогда

√ - √- CD = 2⋅10 2= 20 2.

Рассмотрим треугольник $ABC.$ В квадрате все стороны равны, поэтому $√ - AB = BC =20 2.$ По теореме Пифагора

2 2 2 ( √-)2 ( √-)2 AC = AB + BC = 20 2 + 20 2 = = 202⋅2+ 202 ⋅2= 202⋅4 ⇒ AC = 20⋅2= 40.

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#42109

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 15. Найдите высоту этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис.

Так как треугольник равнобедренный, то каждая биссектриса являются медианой и высотой. Значит, точка пересечения биссектрис в равностороннем треугольнике — точка пересечения медиан и высот.

Обозначим точку пересечения биссектрис, медиан и высота за $O, AH$ — высота, биссектриса и медиана.

$PIC$

По свойству медиан треугольника медианы точкой пересечения делятся в отношении $2:1,$ считая от вершины. Значит,

AO 2 OH- = 1

$OH$ — радиус, поэтому

OH =r

Найдем $AO :$

AO = 2⋅OH = 2r

Найдем $AH :$

AH = AO + OH = 2r+ r =3r =3 ⋅15 = 45

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#57248

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис.

Так как треугольник равносторонний, то каждая биссектриса являeтся медианой и высотой. Значит, точка пересечения биссектрис в равностороннем треугольнике — точка пересечения медиан и высот.

Обозначим точку пересечения биссектрис, медиан и высот за $O, AH$ — высота, биссектриса и медиана.

$PIC$

AO 2 OH- = 1

$OH$ — радиус, поэтому $OH = r,$ $AO = 2OH = 2r.$

Найдем $AH :$

AH = AO +OH = 2r+ r = 3r = 3⋅6= 18

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#48491

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $√- 42 2.$ Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $ABCD$ — квадрат. $∠ADC$ — вписанный и равен $90∘.$ Тогда $AC$ — диаметр. По условию радиус окружности, описанной около квадрата, равен $√ - 42 2.$ Значит,

AC = 2 ⋅42√2-= 84√2

Рассмотрим треугольник $ACD.$ Пусть $AD = x.$ Так как все стороны квадрата равны, то $CD = AD = x.$ По теореме Пифагора

AC2 = CD2 + AD2 = x2+ x2 = 2x2 ⇒ ∘ ---- ∘ (--√-)- AC2- -84-2-2 ⇒ x= 2 = 2 =84

Докажем, что радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны.

Пусть точка $O$ — центр вписанной в квадрат окружности, точка $K$ — точка касания окружности со стороной $BC,$ точка $L$ — точка касания окружности со стороной $AD.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OK ⊥ BC, OL ⊥ AD.$ $BC ∥AD,$ значит, $OK ⊥ AD.$ Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, тогда точки $K, O, L$ лежат на одной прямой.

$CD ⊥ AD, KL ⊥ AD,$ значит, $KL ∥ CD.$ Тогда $KCDL$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $KL = CD.$ $OK = OL$ как радиусы, значит,

OK =OL = CD-= 84 = 42 2 2

Ответ: 42

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#42451

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $√ - 7 2.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $√- r = 7 2.$ Требуется найти $R.$

Знаем, что $r$ равен половине стороны квадрата, следовательно, сторона квадрата равна $√ - 14 2.$

Радиус $R$ описанной около квадрата окружности равен половине диагонали квадрата и, так как диагональ квадрата равна стороне квадрата, умноженной на $√ - 2,$ имеем

( ) R = 1 14√2-⋅√2- = 14. 2

Ответ: 14