Тема 25. Геометрическая задача повышенной сложности

25.04 Окружности

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрическая задача повышенной сложности

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#27825

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC.$ Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E.$ Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD,$ если $AD = 8,$ $BC =4.$

Показать ответ и решение

Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до пересечения в точке $S.$ Рассмотрим треугольник $ASD.$ В нем $BC$ является средней линией, так как $BC ∥AD$ и $BC = 12AD$ по условию. Тогда $SB = AB$ и $SC = CD.$

Заметим, что $SE$ и $CD$ — касательная и секущая окружности, которая проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E.$ Тогда по теореме о касательной и секущей

SE2 = SC ⋅SD = SC ⋅2SC =2SC2 ⇒ SE = SC√2-

$PIC$

Опустим высоту $EF$ из точки $E$ на прямую $CD.$ Заметим, что треугольники $ASD$ и $FSE$ подобны по двум углам: $∠EF S = ∠SAD = 90∘$ и $∠ASD$ — общий. Тогда

√ - EF-= SE- = SC--2 = 1√-- ⇒ EF = A√D-= 4√2- AD SD 2SC 2 2

Ответ:

$√ - 4 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#28216

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 12 и 45 от вершины $A.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB,$ если $√-- cos∠BAC = 415.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть окружность касается луча $AB$ в точке $K.$ По теореме о касательной и секущей

2 √ ----- √-- AK = AM ⋅AN = 12⋅45 ⇒ AK = 12⋅45= 6 15

Запишем теорему косинусов для треугольника $AMK :$

∘ -----------------------√-- MK2 = AM2 + AK2 − 2⋅AM ⋅AK cos∠KAM ⇒ MK = 122+ 12⋅45− 2⋅12⋅6√15⋅ -15= 12 4

Значит, треугольник $AMK$ — равнобедренный $(AM = MK = 12).$ Тогда $∠KAM = ∠AKM.$ $∠AKM$ — угол между касательной $AK$ и хордой $MK,$ значит, он равен половине дуги, заключённой между ними, то есть $∠AKM = ∠MNK.$ Значит, $∠KAM =∠AKM = ∠KNA,$ следовательно,

√-- cos∠KNA = cos∠KAM =cos∠BAC = -15- 4

$PIC$

Угол $KNA$ является углом треугольника, значит,

∘ ∘ 0 < ∠KNA < 180 ⇒ sin∠KNA > 0

Тогда может найти $sin∠KNA :$

∘ ------ ∘ --- 2 2 ∘ -----2------- 15 1- 1 cos ∠KNA + sin ∠KNA = 1 ⇒ sin∠KNA = 1− cos∠KNA = 1− 16 = 16 = 4

Пусть $R$ — радиус описанной окружности треугольника $KMN.$ По теореме синусов для треугольника $KMN$ :

KM KM 12 2R = sin-∠KNM-- ⇒ R = 2sin∠KNM-- = --1-= 24 2⋅4

Ответ: 24

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#42886

Четырехугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 40$ и $CD =10$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K,$ причем $∠AKB = 60∘.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.

Показать ответ и решение

Проведем $DP ∥AC.$ Тогда $∠BKA = ∠KDP = 60∘$ как соответсвенные углы, образованные параллельными прямыми $DP$ и $AC$ и секущей $BD.$

$PIC$

Рассмотрим четырехугольник $CDP A.$ Параллельные прямые $DP$ и $AC$ высекают на окружности равные дуги, следовательно, хорды, которые их стягивают, равны, то есть $AP = CD = 10.$

Так как $BDP A$ — вписанный четырехугольник, то сумма его противоположных углов равна $180∘,$ значит,

∘ ∘ ∘ ∘ ∠BDP +∠BAP = 180 ⇒ ∠BAP = 180 − 60 = 120

Рассмотрим треугольник $BAP.$ Запишем теорему косинусов для него:

BP 2 =AB2 + AP 2− 2⋅AB ⋅AP ⋅cos∠BAP 2 ∘ BP = 1600 +100− 2⋅40(⋅10 ⋅c)os120 2 1 BP = 1700 − 800⋅ −2 BP 2 = 2100 ⇒ BP = √2100-

Пусть радиус окружности равен $R.$ По теореме синусов для треугольника $BDP$

BP BP √2100 √2100 √ --- √ - sin60∘-=2R ⇒ R = 2sin60∘-= --√3- = -√---= 700 = 10 7 2⋅ 2 3

Значит, радиус окружности равен $√- 10 7.$

Ответ:

$√- 10 7$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#45346

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD,$ если $BC = 3,$ а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $94∘$ и $131∘.$

Показать ответ и решение

Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин $ABCD,$ то

AM = MB = MC = MD

Значит, около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность с центром в точке $M$ и радиусом $AM.$ Пусть $AM = r.$

Так как четырехугольник вписанный, то сумма его противоположных углов равна $∘ 180 .$

$PIC$

Найдем $∠A, ∠D$ четырехугольника $ABCD :$

∘ ∘ ∘ ∘ ∠A = 180 − ∠C = 180 − 131 = 49 ∠D = 180∘ − ∠B =180∘− 94∘ = 86∘

Так как в треугольнике $ABM$ $AM = BM,$ то он равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠ABM = ∠BAM = 49∘

Найдем $∠MBC :$

∠MBC = ∠ABC − ∠ABM = 94∘− 49∘ = 45∘

Так как в треугольнике $MBC$ $BM = MC,$ то треугольник $MBC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠MCB = ∠MBC = 45∘

В $△ MBC$ по теореме о сумме углов треугольника:

∠BMC =180∘− ∠MBC − ∠MCB = 180∘− 45∘− 45∘ = 90∘

Тогда треугольник $MBC$ — прямоугольный. По теореме Пифагора:

2 2 2 MB +MC = BC r2+ r2 = 9 √- r = 3√--= 3-2- 2 2

Найдем $AD :$

3√2 √- AD =AM + MD = 2r = 2⋅-2--= 3 2

Ответ:

$√ - 3 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#47409

Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $O$ и $Q$ — центры меньшей и большей окружности соответственно. Пусть $AC ∩ BD = E.$ Тогда, так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то $EA = EB,$ $EC = ED.$ Также $△ EAO = △EBO,$ $△ ECQ = △EDQ,$ следовательно, $\text{[math]}$ — биссектриса угла $∠E.$ Так как $△ AEB$ равнобедренный, а $EN$ — биссектриса, то $EN ⊥AB.$ Аналогично $EK ⊥ CD.$ Следовательно, $AB ∥ CD.$ Таким образом, требуется найти $NK.$

Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то $OB ⊥ BD,$ $QD ⊥ BD,$ следовательно, $OB ∥ QD.$ Проведем $OH ⊥QD,$ тогда $OH ∥BD,$ $OBDH$ — параллелограмм, следовательно, $OB = HD.$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHQ.$ В нем $HQ = 45− 36= 9$ и $OQ =45 +36 =81.$

Треугольники $OHQ$ подобен треугольнику $DKQ,$ так как $∠OQD$ — общий, $∠OHQ = ∠DKQ = 90∘.$ Тогда

OQ- HQ-- 81 -9-- DQ = KQ ⇒ 45 = KQ ⇒ KQ = 5

$△ DKQ ∼ BNO,$ так как $∘ ∠DKQ = ∠BNO = 90 ,$ $∠BON =∠DQK$ как соответственные при параллельных прямых, следовательно,

NO--= BO- ⇒ NO = 5⋅36 =4 KQ DQ 45

Тогда

NK = OQ − KQ +NO = 81− 5+ 4= 80

Ответ: 80

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел