Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 181#40723Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

3x √- 3x 2 x 2+cos2-+ 3sin 2-= 4sin 4

Показать ответ и решение

По формуле косинуса разности

3x- √- 3x (3x π) cos 2 + 3sin 2 = 2cos 2 − 3

По формуле косинуса двойного угла

4sin2 x− 2= −2cos x 4 2

Тогда уравнение эквивалентно

( ) ( ) cos 3x− π = − cosx= cos π− x 2 3 2 2

Значит, либо $3x− π= π− x +2πk,k∈ ℤ 2 3 2$ , либо $3x-− π= −π + x +2πk,k∈ ℤ 2 3 2$ . В первом случае $x= 2π+ πk,k ∈ℤ 3$ , а во втором $x =− 2π+ 2πk,k∈ ℤ. 3$

Ответ:

$2π +πk; − 2π+ 2πk; k∈ ℤ 3 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 182#41768Максимум баллов за задание: 7

Для каких значений $x$ выполняется неравенство

sin2x cos2x √- 2 +2 ≥2 2?

Показать ответ и решение

Оба слагаемых в левой части это положительные числа, так что можем применить неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

sin2x cos2x ∘ --2-----2-- ∘---2----2- √- 2 + 2 ≥2 2sin x⋅2cos x = 2 2sin x+cos x = 2 2

Данное неравенство выполнено для всех вещественных $x$ .

Ответ:

для любых действительных значений $x$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 183#43622Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2 2 4cosx − 4cos 3x cosx+ cos 3x= 0

Показать ответ и решение

Сделаем замену $a= cosx,b= cos3x$ и рассмотрим уравнение как квадратное относительно $a$ :

( b2) b2±√b4−-b2 4 a2− ab2+ 4- = 0 ⇐⇒ a= ----2-----

Решения есть только при $b4− b2 ≥ 0$ , но с учётом $b2 ≥ 0,b2− 1≤0$ получаем $b4− b2 ≤0$ . Решения есть только при $b2(b2 − 1)= 0$ , и это решение $a= b22$ .

При $b= cos3x =0$ получим $a= cosx= 0 ⇐⇒ x= π2 +πn,n ∈ℤ =⇒ b= 0$

При $b2 = 1$ получим $a= cosx= 12 ⇐⇒ x= ±π3 + 2πn,n∈ ℤ =⇒ cos3x= −1$

Ответ:

$π + πn,± π+ 2πn, n∈ ℤ 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 184#46598Максимум баллов за задание: 7

При каких $x$ числа $arcsin(3−x)$ и $arctg(5⋅3x− 7)$ являются величинами двух различных углов прямоугольного треугольника?

Показать ответ и решение

В условии не сказано, что даны величины именно острых углов, поэтому надо проверить три случая:

$−x π arcsin3 = 2 =⇒ x= 0$ , здесь $x 5 ⋅3 − 7= −2$ , но $arctg(−2)$ не может быть углом в прямоугольном треугольнике.
$x π arctg(5⋅3 − 7)= 2$ невозможно по определению функции арктангенса.
$arcsin3−x = α∈ (0,π2),arctg(5⋅3x− 7)= π2 − α$ . Отсюда
$√ ------- 5⋅3x− 7= tg(90∘− α)= cosα= --1− 3−2x sinα 3− x$
При $3−x = t$ имеем
$5 − 7t= ∘1-− t2$
Нужно будет учесть $5− 7t≥0.$ Пока что просто бездумно возведём в квадрат
$25− 70t+ 49t2 = 1− t2$

$25t2− 35t+ 12= 0$

${3 4} t∈ 5,5$
После проверки $5− 7t≥ 0$ остаётся только $t= 3 =⇒ x =log 5. 5 33$

Ответ:

$log 5 33$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 185#49148Максимум баллов за задание: 7

Вычислите

19 ( 3) arctg8+ arctg22 + arcctg −2

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Заметим, что зная, от какого значения у нас arctg, мы можем найти тангенс суммы, а затем взять от этого чуда арктангенс. То есть: Давайте найдем для начала тангенс суммы первых двух слагаемых. Для этого воспользуемся формулой тангенса суммы, так как мы знаем тангенс от первого слагаемого (8) и от второго (19/22)

Подсказка 2!

Да, это будет -3/2! Теперь, зная тангенс суммы, можно выразить просто сумму! Осталось только прибавить к ней третье слагаемое :) Главное осторожно разберите области значений

Показать ответ и решение

Найдём сначала значение тангенса суммы, для этого рассмотрим сумму первых двух слагаемых

( 19) 8+ 19 3 tg arctg8+ arctg22 = 1−-1292⋅8 =− 2 22

Из области значений арктангенса $arctg8+ arctg 1292 ∈ (0;π).$

Тогда $arctg8+arctg 1922-=arctg(− 32)+ π.$

Осталось воспользоваться тем, что $arctga +arcctga= π2$ , имеем

( ) arctg8+ arctg 19-+ arcctg − 3 = arctg(− 3)+ arcctg(− 3)+ π = 3π 22 2 2 2 2

Ответ:

$3π 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 186#51601Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin3x+cos2x= cos4x− 3|sinx|.

Показать ответ и решение

Обозначим $sin x= t$ , тогда $sin3x =3t− 4t3$ , $cos2x− cos4x= 2sin3xsinx =2t(3t− 4t3).$ Исходное уравнение примет вид

4 3 2 8t + 4t− 6t − 3(t+|t|)=0

Сделаем замену $t= sinx∈ [− 1,1]$ , разберём два случая

Пусть $t≤ 0,$ тогда уравнение равносильно уравнению
$( ) t2 4t2+ 2t− 3 = 0$
Если $t= sinx = 0,$ то $x= πn,n ∈ℤ.$ Эти значения $x$ являются корнями исходного уравнения.
Решив уравнение $4t2+ 2t− 3= 0,$ найдем его корни $t1 = −-1−√13, 4$ $t2 = √13−1, 4$ где $t1 < −1,t2 > 0.$ В этом случае исходное уравнение не имеет корней.
Пусть $t> 0,$ тогда уравнение равносильно
$4t4+ 2t3 − 3t2− 3t= 0, 4t2(t− 1)+ 6t(t− 1)+ 3(t− 1)=0$
$( ) (t− 1) 4t2+ 6t+3 = 0$ Уравнение имеет единственный действительный корень $t=1$ , поскольку дискриминант квадратного трёхчлена в скобках отрицателен. Если $t= sinx= 1> 0$ то $x= π2 + 2πn,$ $n∈ ℤ$ .

Ответ:

$πn,π +2πn, n ∈ℤ 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 187#51602Максимум баллов за задание: 7

Дана функция $f(x)= sin4x-+cos4x- sin6x +cos6x$ . Найти:

1) корни уравнения $10 f(x)= -7$

2) наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)$ .

Показать ответ и решение

Используем тождества (первое равенство получается из формулы суммы кубов)

6 6 4 4 2 2 2 2 3 2 sin x +cosx = sin x+cos x− sin xcos x= 1− 3sin xcosx = 1− 4sin 2x

1 sin4x+ cos4x= (sin2x+ cos2x)2− 2sin2x cos2x= 1− 2sin22x

Далее сделаем замену $sin22x= t,$ получим

f(x)= -1− t∕2 = 2⋅-t−-2 = 2⋅ (t− 4∕3)− 2∕3 = 2 − 9⋅-1 = g(t) 1− 3t∕4 3 t− 4∕3 3 t− 4∕3 3 4 t− 4∕3

где $0 ≤t≤ 1.$ Функция $g(t)$ является возрастающей на отрезке $[0;1],$ и поэтому $gmin = g(0)= 1$ , $gmax = g(1) =2.$ Если $f(x)= 10, 7$ то $g(t)= 10, 7$ т. e. $2(t−2)= 10, 3t−4 7$ откуда $t= 3. 4$ Следовательно, $sin22x= 3 4$ или $cos4x =$ $= − 1, 2$ откуда $x =± π+ πn,n∈ ℤ 6 2$ .

Ответ:

$1)x= ±π + πn-,n ∈ℤ; 6 2$

$2)fmax = 2,fmin =1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 188#51606Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

1 π- x+ 6arccos(cos15x +2cos4xsin2x)= 12.

Показать ответ и решение

Поскольку $arccosy ∈[0,π]$ , то область значений второго слагаемого $[0,π] 6$ , откуда $x∈ [− π,-π] 12 12$ .

Преобразуем уравнение

π arccos(cos15x− sin2x+sin6x) =-2 − 6x

и возьмём косинус обеих частей

(π ) cos15x− sin2x+ sin6x= cos -2 − 6x = sin6x ⇐⇒ cos15x= sin2x, (1)

( ) ( ) ( ) sin π − 15x − sin2x= 0 ⇐⇒ 2cos π∕2− 13x sin π∕2−-17x = 0, (2) 2 2 2

Разберём два случая

$x ∈[0,1π2]$ . Посмотрим на $(1)$ уравнение. Нам требуется решить, тогда $sin 2x$ монотонно возрастает от $0$ до $12$ , при этом $15x∈ [0,54π]$ . Если убрать те значения, где косинус отрицателен, то останется только $[0,π2 ]$ , на этом отрезке функция косинуса монотонно убывает, откуда на $[0, π-] 12$ не более одного решения. Этим решением будет $π- 34$ , для которого равен нулю синус из $(2)$ .
$x ∈[− π-,0) 12$ . Аналогично отрицателен и монотонно возрастает синус из $(1)$ от $− 1 2$ до $0$ . При этом $15x∈ [− 5π-,0) 4$ , убирая те значения, где косинус неотрицателен, имеем $15x ∈[− 5π,− π) 4 2$ . Заметим, что $cos(− 5π)= − 1√-< − 1 4 2 2$ , поэтому косинус принимает значения из $1 [− 2,0)$ только на $2pi π [− 3 ,−2)$ и монотонно возрастает на этом полуинтервале, откуда снова решений не более одного и из $(2)$ , находя $0$ косинуса, имеем $-π x= −26$ .

Ответ:

$−-π, π 26 34$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 189#67504Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $f(x)= √3⋅g(x)$ для

f(x) =sinx +sin 3x +sin 5x +...+sin2021x; g(x)= cosx +cos3x+cos5x+ ...+cos2021x

Источники: Росатом-22, 10.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно как-то сжать эти выражения, то есть применить телескопическое суммирование. Для этого будет в самый раз умножить и левую, и правую часть уравнения на sin(x) (подумайте, может ли он вообще быть равен нулю), а затем применить формулы произведения синусов и синуса с косинусом.

Подсказка 2

Да, получится уравнение вида 1 - cos(2x) + cos(2x) - cos(4x) ... + cos(2020x) - cos(2022x) = √3 * sin(2022x). Телескоп сработал -> остается перенести синус с косинусом в одну часть, единичку - в другую, а затем вспомнить формулу вспомогательного угла - ведь коэффициенты 1 и √3 так и намекают на это :)

Показать ответ и решение

Такие тригонометрические телескопические суммы сворачиваются домножением и делением на $sinx$ (при этом нужно сказать, что синус ненулевой, потому что числа вида $x= πn,n ∈ℤ$ решениями уравнения не являются). После домножения получим вот что:

sinx⋅sinx+ sinx⋅sin 3x +...+ sinx ⋅sin2021x=

√- = 3(sinx⋅cosx+ sinx⋅cos3x+ ...sinx ⋅cos2021x)

Применим формулы произведения синусов

cos0x−-cos2x+-cos2x-− cos4x-+...+cos2020x−-cos2022x-= 2

√-sin2x+-sin4x−-sin2x+-...+-sin2022x-− sin-2020x = 3 2

Слагаемые удачно взаимноуничтожаются и остаётся

1− cos2022x= √3sin 2022x

√ - --3sin2022x + 1cos2022x= 1 2 2 2

( ) sin 2022x + π = 1 6 2

Откуда $x= πn-,n∈ ℤ 1011$ или $x = -π-+ -πk-,k∈ ℤ 3033 1011$ . Осталось учесть условие $sinx ⁄=0,$ так что $n ⁄=1011m,m ∈ℤ.$

Ответ:

$-πn , π + πk-, n⁄= 1011m, k,n,m ∈ ℤ 10113033 1011$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 190#67538Максимум баллов за задание: 7

Найдите значения дробей

-sin(α+-β+-γ)- A= sinα ⋅sinβ⋅sinγ

B = tgα+-tgβ-+tgγ, tgα ⋅tgβ ⋅tgγ

если числа $α,β$ и $γ$ таковы, что $A= 3B.$

Источники: Миссия выполнима - 2022, 11.3 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не совсем понятно, как работать с синусом суммы трех углов. Быть может, преобразуем при помощи формул?

Подсказка 2

Разложим синус трех слагаемых как синус суммы двух, после чего раскроем про формуле! Теперь делить почленно не составит труда - сможем найти A!

Подсказка 3

A + 1 равно сумме попарных произведений котангенсов! А как это преобразовать в выражение с тангенсами, чтобы связать с B?

Подсказка 4

Преобразуйте A как сумму обратных попарных произведений тангенсов и выразите через B.

Показать ответ и решение

sin(α +β +γ)= sin((α +β)+ γ)= sin(α +β)cosγ+ cos(α +β)sin γ =

=sin αcosβ cosγ+ cosα sinβcosγ+ cosαcosβsinγ− sinα sinβsinγ

Тогда подставим в $A$ и поделим почленно:

A =ctgβctgγ +ctgαctgγ +ctgαctgβ− 1=

= --1---+ ---1--+ ---1-- − 1 = tgα-+tgβ+-tgγ− 1= B− 1 tgβtgγ tgαtgγ tgαtgβ tgαtgβtgγ

Значит,

B − 1= 3B

1 B = −2

Откуда

A= − 3 2

Ответ:

$A = − 3,B =− 1 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 191#70773Максимум баллов за задание: 7

Углы $α$ и $β$ удовлетворяют равенствам

-1- 8- sin(2α+ 2β)= −√17;sin(2α +4β)+ sin(2α)= − 17

Найдите все возможные значения $tgα,$ если известно, что он определён и что этих значений не меньше трёх.

Источники: Физтех-2022, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнем работать со вторым уравнением, как можно преобразовать сумму синусов?

Подсказка 2

Используем формулу перехода от суммы синусов к произведению, откуда выходит множитель sin(2a+2b), который мы уже знаем из условия. Тогда мы знаем как cos(2b), так и sin(2b). Как перейти к тангенсам?

Подсказка 3

Не забудьте что один косинус задаёт 2 различных синуса! Получим 2 системы уравнений, каждая из которых после раскрытия синуса суммы даёт уравнение на sin(2a) и cos(2a). После раскрытия двойного угла можно перейти к тангенсам!

Подсказка 4

Как из условия, что подходящих тангенсов не менее 3 доказать, что таким образом мы нашли все возможные значения тангенсов?

Показать ответ и решение

Преобразуя в левой части второго равенства сумму синусов в произведение, получаем

4- sin(2α +2β)cos2β = −17

Подставляем в это соотношение значение синуса из первого равенства:

⌊ 1 1 4 4 | sin2β = √17 −√17 cos2β = −17 ⇔ cos2β =√17-⇔ |⌈ 1 sin2β =− √17

Отсюда следует, что исходные равенства эквивалентны совокупности двух систем уравнений:

( ( ||| sin(2α+ 2β)=− √1- ||| sin(2α+ 2β)= − √1- |||{ 4 17 |||{ 4 17 | cos2β = √17 и | cos2β = √17 ||||| -1- ||||| -1- ( sin 2β = √17 ( sin2β =− √17

Из первой системы получаем

(| -1-- ||||| sin(2α+ 2β)= −√ 17 { cos2β = √4- ⇒ √4--sin2α+ √1- cos2α= −√-1- |||| 17 17 17 17 ||( sin2β = √1 17

Далее имеем

8sinαcosα+ (cos2α − sin2 α)=− (cos2α + sin2α)⇔ 2cosα(cosα +4sinα)= 0⇔

[ ⇔ cosα= 0 cosα= −4sinα

В первом случае $tgα$ не существует, а во втором случае $1 tgα =− 4.$

Аналогично рассматриваем вторую систему:

( |||| sin(2α+ 2β)= −√1- ||{ 4 17 4 1 1 || cos2β = √17 ⇒ √17-sin2α− √17 cos2α= −√17-⇔ ||||( -1- sin2β = −√17

⇔ 8sinαcosα− (cos2α− sin2α)=− (cos2α+ sin2α)⇔ 2sinα(4cosα +sinα)= 0⇔

[ ⇔ sinα = 0 4cosα= − sin α

Отсюда $tgα= 0$ или $tgα= −4.$

Итак, возможные значения $tgα$ — это $0,−4$ и $1 − 4.$

Ответ: -4;-0.25; 0

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 192#71439Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( ) ( 1 √3 ) 8x3+ 4x2− 18x− 9⋅arccos(x − 1)≤ arccos 4cos40∘ + 4cos50∘

Источники: ПВГ-2022, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое некрасивое выражение стоит в правой части, очень хочется от него избавиться...

Подсказка 2

Давайте приведем слагаемые в аргументе к общему знаменателю, поделим числитель и знаменатель на 2, тогда в числителе получится что-то красивое! Сворачивайте!

Подсказка 3

Знаменатель тоже можно преобразовать по тригонометрическим формулам. Ого, оказывается эта страшилка равна единице, значит арккосинус равен нулю!

Подсказка 4

Левая часть легко раскладывается на линейные множители, ну а ноль арккосинуса мы знаем (x=1). Решаем неравенство!

Подсказка 5

Не забывайте, пожалуйста, об ОДЗ! Арккосинус требует соблюдения всех условий!

Показать ответ и решение

Так как

1 √3- 1 √3- sin30∘⋅sin40∘+cos30∘ ⋅cos40∘ 4cos40∘ +4cos50∘ = 4cos40∘ +4sin40∘ =------2sin40∘cos40∘-------=

∘ ∘ ∘ = cos(40-− 3∘0-)=--cos(1∘0-)∘-= 1, sin80 sin(90 − 10 )

то получается неравенство

(8x3 +4x2− 18x − 9)⋅arccos(x− 1)≤0

Левая его часть определена при $|x − 1|≤ 1,$ поэтому $x∈ [0;2].$ На этом отрезке первый сомножитель

(8x3+ 4x2− 18x− 9)= (2x +1)(2x− 3)(2x+ 3)

неотрицателен при $[ ] x∈ 3;2 2$ и отрицателен при $[ ) x∈ 0;3 . 2$ Второй сомножитель всегда неотрицателен и равен нулю при $x =2.$

Поэтому $[ ] x ∈ 0;3 ∪ {2}. 2$

Ответ:

$[0;3]∪ {2} 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 193#71526Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

x√11- x√11- 5x√11 arcsin 2√21-+ arcsin4√21 = arcsin-8√21-

Источники: ОММО-2022, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь, когда в задаче мы видим тригонометрические функции, нужно сразу вспоминать про ограничения на аргументы.

Подсказка 2

Когда мы найдём ограничения на x, можно использовать стандартную идею в арктриге, давайте возьмём прямую функцию от обратных. В нашем случае, функцию синуса от правой и левой части уравнения.

Подсказка 3

В правой части всё легко и понятно, но вот с левой явные проблемы. Давайте обратим внимание на то, что слева у нас ни что иное, как синус суммы. Распишем его по формуле.

Подсказка 4

Воспользуемся тем, что cos(arcsin(t)) = √(1-t²). После чего получаем уравнение, которое при вынесении общего множителя разобьётся на два случая, когда x = 0(не забудьте проверить, что он подходит), а так же на второй случай, когда x≠0.

Подсказка 5

Во втором случае получается уравнение √(336-11x²) + √(84-11x²) = 5√21. Ограничения на x, которые мы считали в начале, тут нам помогут в утверждении, что подкоренные выражения положительные. Если несколько раз использовать тот факт, что правая и левая часть положительны и мы можем их возводить в квадрат, то дорешать уравнение не составит труда, главное, не забудьте проверить, что корни уравнения подходят.

Показать ответ и решение

Из условия на область определения арксинуса вытекает, что

8√21- 1344 |x|≤ 5√11-⇔ x2 ≤ 275

(1)

Вычисляя синус от обеих частей уравнения и учитывая, что

cosarcsint> 0

и, следовательно,

∘ ----- sin(arcsint)=t, и cos(arcsint) = 1− t2,

получаем

√-- ∘ -------- √ -- ∘------- √ -- x√11⋅ 1− 11x2-+ x√-11⋅ 1 − 11x2 = 5x√-11 2 21 16 ⋅21 4 21 4 ⋅21 8 21

Перенося все в левую часть уравнения, упрощая и вынося общим множитель за скобки, имеем

√-- x-11 (∘336-−-11x2+ ∘84−-11x2− 5√21) =0 8⋅21

Из данного уравнения следует, что или $x =0$ (который, очевидно, подходит), или $x$ является корнем уравнения

∘336−-11x2+ ∘84-− 11x2 = 5√21

Из условия $(1)$ следует, что все подкоренные выражения положительны. Поскольку обе части уравнения положительны, то их можно возвести в квадрат

∘ ------------------ 336− 11x2+ 2 (336− 11x2)(84− 11x2)+ 84− 11x2 = 525

Перенося всё кроме корня в правую часть уравнения, имеем

2∘ (336−-11x2)(84−-11x2)= 22x2+ 105

Возводя ещё раз обе части уравнения в квадрат, получаем

( 2)( 2) 4 2 4 336− 11x 84 − 11x = 484x + 4620x + 11025

или

23100x2 = 101871

Таким образом, уравнение имеет ещё два возможных корня

x =± 21 10

Проверка. Проверяем, что левая часть уравнения при данных значениях аргумента лежит в промежутке $[−π∕2;π∕2].$ Для этого вычисляем косинус левой части

( x√11 x√11) ∘ (---11x2)(----11x2)- 11x2 cos arcsin2√21 +arcsin 4√21 = 1− 4⋅21 1− 16-⋅21- − 8⋅21 =

∘ ---------------------- ( 11⋅21)( -11-⋅21-) 11⋅21 13⋅37 11⋅21 = 1− 4⋅100 1− 16⋅100 − 8⋅100 = 800 − 800 > 0

Поскольку значения косинуса положительно, а левая часть лежит в промежутке $[−π;π],$ то она лежит в промежутке $[− π∕2;π∕2].$ Значит, все найденные числа являются решением задания.

Ответ:

$0;±21 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 194#72038Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

5 8cos x− 5cosx − 2cos3x= 1

Источники: Межвед-2022, 11.4 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С косинусом 3x работать неудобно, сразу его раскроем. Теперь хочется уравнение преобразовать так, чтобы справа либо остался 0, либо так и осталась единица, но слева было произведение, которое мы можем оценить.

Подсказка 2

Вынесением общего множителя и использованием тригонометрических формул приходим к равенству cos(x)cos(4x)=1. Попробуем оценить левую часть.

Подсказка 3

Каждый из множителей лежит в определенном промежутке, значит можно разбить решение на два случая.

Подсказка 4

Понятно, что модуль обоих множителей должен быть равен единице. Осталось лишь работать два случая несложных систем)

Показать ответ и решение

5 8cos x− 5cosx − 2cos3x= 1

Используем формулу косинуса тройного угла $cos3x= 4cos3x− 3cosx$ получаем

8cos5x− 5cosx− 2(4cos3x− 3cosx)= 1

8cos5x − 8cos3x+ cosx= 1

Разложим нашу левую часть в произведение чисел, каждое из которых по модулю не больше 1.

cosx(8cos4x − 8cos2x+1)= 1

cosx(−8 cos2x(− cos2x+ 1)+1)= 1

По основному тригонометрическому тождеству получаем

cosx(−8cos2x sin2x+ 1)= 1

По формуле синуса двойного угла получаем

cosx(−2sin22x+ 1)=1

По формуле косинуса двойного угла получаем

cosxcos4x= 1

Так как $− 1≤ cosx ≤1$ и $− 1 ≤cos4x ≤1,$ то равенство возможно только в двух случаях

{ cosx= 1 { cosx= −1 cos4x= 1 или cos4x= −1

Рассмотрим систему

{ cosx= 1 cos4x= 1

Решим уравнение $cosx= 1.$ Получаем $x= 2πn, n∈ ℤ.$ Заметим, что эти решения также являются и решениями второго уравнения системы, поэтому для первой системы имеем $x =2πn, n ∈ℤ.$

Рассмотрим теперь вторую систему

{ cosx =− 1 cos4x= −1

Решим уравнение $cosx= −1.$ Получаем $x= π +2πn.$ Подставим эти решения во второе уравнение системы и получим $cos4(π +2πn)= cos(4π+8πn)= 1$ — противоречие. Значит, у второй системы нет решений.

Ответ:

$2πn,n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 195#74465Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

y = (arcsinx)⋅(arccosx)

Источники: БИБН-2022, 11.2 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На прямую оценить наше произведение как-то непросто. Но мы же помним, что arcsinx+arccosx=π/2. Поэтому можно избавиться от arccosx...

Подсказка 2

Давайте сделаем замену: arcsinx=t. Тогда нам необходимо найти min и max функции t(π/2-t), при -π/2≤t≤π/2. Что будет являться максимумом нашей функции?

Подсказка 3

Т.к. t(π/2-t)- это парабола с ветвями вниз, то ее максимум находится в вершине. Осталось найти минимум. Ясно, что он находится на каком то из концов отрезка [π/2;π/2]. Найдите его и завершите решение!

Показать ответ и решение

Значения $arcsinx$ и $arccosx$ при любом $x ∈[−1;1],$ как известно, связаны соотношением

π arcsinx+ arccosx = 2

Таким образом, требуется исследовать функцию

y(t)= t(π∕2− t),

где $[ π π] t= arcsin x∈ − 2;2 .$ Данная квадратичная функция с отрицательным старшим коэффициентом принимает наибольшее значение в точке $π t= 4$ (вершине параболы), равное $π2 16.$ Наименьшее значение принимается на границе промежутка $[ π π] − 2;2 ,$ а именно, в точке $π t=− 2$ и оно равно $π2 − 2$ (на другом конце промежутка, при $π t = 2,$ значение равно нулю). Соответствующие значения $x,$ в которых достигаются наибольшее и наименьшее значения функции, таковы: $√2 x= 2$ и $x =− 1.$

Ответ:

$π2,− π2 16 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 196#74590Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ sin3x+ sin4y = 1, 3 5 cos x+ cos y = 1.

Источники: Звезда - 2022 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Наши выражения как-то подозрительно напоминают основное тригонометрическое тождество. Только вот у нас sin не складывается с cos, да и степени не те... Давайте хотя бы сделаем первое условие, для этого сложим два уравнения...

Подсказка 2

Имеем, что sin³x+sin⁴x+cos³y+cos⁵y = 2. С другой стороны, 2 = sin²x+cos²x+sin²y+cos²y. Как из этого получить интересное неравенство...

Подсказка 3

Т.к. sinⁿx ≤ sin²x и cosⁿx ≤ cos²x, при n ≥ 3, то 2 = sin³x+sin⁴x+cos³y+cos⁵y ≤ sin²x+sin²x+cos²y+cos²y = 2. Значит все неравенства обращаются в равенства. Решите получившуюся систему и радуйтесь жизни!

Показать ответ и решение

Сложим два уравнения системы, тем самым получим новое уравнение, являющееся следствием системы.

3 4 3 5 sin x+ sin y+ cos x+ cos y = 2

Воспользуемся ОТТ:

3 4 3 5 2 2 2 2 sin x +sin y +cosx +cos y = sin x+cos x+ sin y+ cos y

sin2x(sinx − 1)+ cos2x(cosx− 1)+sin2y(sin2y− 1)+cos2y(cos2y− 1)= 0

Квадраты неотрицательные, а все скобочки $≤ 0,$ тогда, чтобы сумма была = 0, каждое слагаемое должно быть равно 0. Имеем систему:

( ||| sin2 x(sinx − 1)= 0 |{ cos2x(cosx− 1)= 0 ||| sin2 y(sin2y− 1)= 0 |( cos2y(cos2y − 1)= 0

Решим для $x :$

Из первого уравнения возможны 2 случая:

1) $sinx= 0.$ Тогда из второго $cosx= 1 =⇒ x= 2πk,k∈ ℤ$

2) $sinx= 1.$ Тогда $cosx= 0 =⇒ x = π+ 2πn,n ∈ℤ 2$

Решим для $y :$

1) $siny = 0,$ тогда $2 cos y = 1 =⇒ cosy = ±1 =⇒ y = πm,m ∈ℤ$

2) $2 sin y = 1 =⇒ sin y = ±1,$ тогда $π cosy = 0,y = 2 + πt,t∈ ℤ$

И так как мы изначально получили следствие из исходной системы, надо не забыть проверить, какие серии корней подходят, а какие нет, подставив в изначальную систему все комбинации возможных значений $sinx,cosx,siny,cosy.$

Подходят следующие варианты:

1) $π x= 2πk,y = 2 +2πt,$ $k,t∈ ℤ$

2) $π x= 2 + 2πn,y =2πm,$ $n,m ∈ ℤ$

Ответ:

$(2πk,π+ 2πt),(π +2πn,2πm),k,n,m,t∈ℤ 2 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 197#76629Максимум баллов за задание: 7

Координаты $(x;y)$ точек в квадрате ${(x;y):0≤x ≤2π,0≤ y ≤ 2π}$ удовлетворяют системе уравнений

{ sin x+siny = sin1 cosx +cosy = cos1

Сколько таких точек находится в квадрате? Найти координаты $(x;y)$ наиболее удаленной точки от центра квадрата.

Источники: Росатом-2022, региональный вариант, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, что если поскладывать и повычитать уравнения из этой системы, то они смогут свернуться по известным нам тригонометрическим формулам, возможно, только стоит домножить их предварительно на что-то.

Подсказка 2

Попробуйте домножить первое уравнение на сos(1), второе на sin(1) и вычесть, а также умножить первое на sin(1), второе на cos(1) и сложить, в первом случае так мы избавимся от противных sin(1), cos(1), а во втором заменим их на 1, поработайте с полученными уравнениями.

Подсказка 3

Мы получили sin(x-1) = sin(1-y), cos(x-1) + cos(y-1) = 1, первое легко решается и может дать нам условия на корни, которые можно использовать во втором.

Показать ответ и решение

Умножаем первое уравнение на $cos1,$ второе — на $sin 1$ и вычитаем результаты:

(sinx+ siny)cos1− (cosx+ cosy)sin1 =0

(sinx cos1− cosxsin 1)+ (sinycos1 − cosysin1)= 0

sin(x− 1)+ sin(y− 1)= 0

sin(x− 1)= sin(1− y)

[ x− 1= 1− y+2πk x− 1= π− 1+ y+2πm

Умножаем первое уравнение на $sin1,$ второе — на $cos1$ и складываем результаты:

(sinx+ siny)sin1+ (cosx+ cosy)cos1 =1

(cosxcos1+ sinxsin 1)+ (cosycos1+sinysin1)= 1

cos(x− 1)+ cos(y− 1) =1

Из последнего равенства и первого уравнения совокупности имеем

⌊ y = π+ 1+ 2πs 2cos(y− 1)= 1⇒ cos(y− 1) =cosπ ⇒ |⌈ 3 3 y = 1− π+ 2πl 3

Из первой серии условию задачи удовлетворяет только $y1 = π + 1, 3$ из второй серии — только $y2 =1 + 5π . 3$ Им соответствуют серия $x1 = 2− y1+2πk,$ содержащая единственное значение $5π x1 = 1+ 3 ,$ и серия $5π- x2 = 2− y2+ 2πk ⇒ x2 = 1− 3 + 2πl$ также содержащая единственное значение $π x2 = 1+ 3.$

Случай соответствующий второму уравнению первой совокупности не реализуется, поскольку получаем противоречие

{ cos(x− 2)= − cos(y− 2) ⇒ 0= 1 cos(x− 2)+cos(y− 2)= 1

Ответ:

$2;(1+ 5π,1+ π),(1 + π ,1+ 5π) 3 3 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 198#76647Максимум баллов за задание: 7

На плоскости отмечено множество точек $M,$ координаты $x$ и $y$ которых связаны соотношением

sin(2x +3y)= sin2x+ sin3y.

Круг радиуса $R,$ расположенный на той же плоскости, не пересекается с множеством $M.$ Какие значения может принимать радиус такого круга?

Источники: Росатом-2022, московский вариант, 11.5 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не очень удобно работать с синусами от разных аргументов. Может, попытаться расписать сумму синусов?

Подсказка 2

Что будет, если посмотреть на левую часть как синус двойного угла?

Подсказка 3

Получилось, что нужно разобрать 3 случая, и нарисовать их, для того чтобы понять, какие радиусы нам подходят

Показать ответ и решение

В левой части равенства применим формулу синуса двойного угла, а в правой части применим формулу суммы синусов:

2x+ 3y 2x+ 3y 2x+ 3y 2x − 3y 2sin---2--cos--2---= 2sin--2---cos--2---

2x+ 3y( 2x+ 3y 2x− 3y) 2sin---2-- cos--2---− cos---2-- =0

−4sin 2x-+3ysin3ysinx =0 2 2

Случай 1: $sin2x+3y-= 0⇒ 2x+ 3y =2πk,k∈ ℤ (1) 2$

Случай 2: $sin3y= 0⇒ y = 2πk,k∈ ℤ (2) 2 3$

Семейство горизонтальных прямых на плоскости с уравнениями $(2)$ принадлежат множеству $M.$

Случай 3:

$sinx= 0,y− любое ⇒ x= πk,k ∈ℤ.(3)$

Семейство вертикальных прямых на плоскости с уравнениями $(3)$ принадлежат множеству $M.$ Семейство прямых разбивает плоскость на равные прямоугольные треугольники с катетами $π$ и $2π: 3$

$PIC$

Радиус круга, вписанного $△ABC,$ равен $5−√613π.$ Если радиус круга, не имеющего с $M$ общих точек, имеет радиус $R ≥ 5−√613π,$ то его центр принадлежит одному из треугольников разбиения, а окружность его границы имеет общие точки со сторонами треугольника. Таким образом, радиус такой окружности меньше радиуса вписанной окружности.

Ответ:

$( 5− √13 ) 0;--6---π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 199#80057Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее натуральное число $n,$ при котором выполняется равенство

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ sin(n +80 )+sin(n − 40 )+sin(n + 70)− cos25 = 0.

Показать ответ и решение

n∘-+80∘+-n∘− 40∘ n∘+-80∘-− n∘+-40∘ ∘ ∘ ∘ 2sin 2 cos 2 + sin(n +70 )− cos25 =0

2sin(n∘+ 20∘)⋅cos60∘+ sin(n∘+ 70∘)− cos25∘ = 0

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ sin(n +20 )+ sin(n + 70)− cos25 = 0

n∘+-20∘+n∘-+70∘ n∘+-70∘−-n∘−-20∘- ∘ 2sin 2 cos 2 − cos25 = 0

2sin(n∘ +45∘)cos25∘− cos25∘ =0

(2sin(n∘ +45∘)− 1)cos25∘ = 0

1 sin(n∘+45∘)= 2

[ n∘+ 45∘ = 30∘+ 360∘⋅a n∘+ 45∘ = 150∘+360∘⋅b; a,b∈ ℤ

[ n∘+ 45∘ = 30∘+ 360∘⋅a n∘+ 45∘ = 150∘+360∘⋅b; a,b∈ ℤ

Из первого $n ≥345$ , из второго $n ≥105$ .

Ответ: 105

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 200#80512Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

7 2arccosx =arccos3x

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x∈ [− 3,3] 7 7$

7 2arccosx= arccos 3x∈ [0,π]

Тогда $[ π] arccosx ∈ 0,2$ . Значит, $3 x∈[0,7]$ . Тогда обе части лежат в интервале $[0,π]$ , значит, можно применить к обеим частям $cos$ и получится равносильное условие

7 2x2 − 1= 3x

6x2− 7a− 3= 0

(2x− 3)(3x +1)= 0

Но нам не подходит ни один из корней.

Ответ: нет корней

Следующая подтема