Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 201#80513Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

x x 6π 4 arcsin(2 − 7)− arccos(5 − 124)= x .

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ − 1≤ 2x − 7 ≤1 x − 1≤ 5 − 124≤ 1

2≤ x≤ 3

По области значений аркфункций

4arcsin(2x − 7)− arccos(5x− 124)≤ 2π − 0,

поэтому $6πx ≤2π,$ откуда $x≥ 3.$ Но из этого промежутка в ОДЗ входит только $x= 3.$

Подстановка показывает, что $x= 3$ является решением. А других решений не может быть в силу рассуждений выше.

Ответ: 3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 202#80593Максимум баллов за задание: 7

Для каждого значения $a$ решите уравнение

2 2 2 4− sin x+ cos4x+ cos2x+ 2sin3xsin7x − cos7x− cosπa =0

Показать ответ и решение

Выделим полные квадраты:

2 2 2 (sin7x +sin 3x) + (cos3x+ cosx) +sin πa =0

Это значит, что под квадратами значения выражений равны 0. Отсюда уже выписывается ответ.

Ответ:

При $a∈ ℤ x =π∕4+ πk∕2,k∈ ℤ$ ,

при других $a$ решений нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 203#88916Максимум баллов за задание: 7

а) Решите уравнение $2cos2x− 3sin(− x)− 3= 0.$

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[ 5π ] 2-;4π .$

Источники: ЕГЭ 2022, основная волна

Подсказки к задаче

Пункт а), подсказка

Используйте нечётность синуса, для того чтобы избавиться от минуса в аргументе второго слагаемого, также воспользуйтесь ОТТ, чтобы свести данное уравнение к квадратному относительно синуса, останется лишь решить его, и пункт (а) убит!

Пункт б), подсказка

Выполните отбор корней любым удобным Вам способом (по окружности, двойным неравенством или подстановкой)

Показать ответ и решение

а) По формуле косинуса двойного угла $cos2x= 1− 2 sin2x= 2cos2x− 1.$

Отсюда $2 2 cosx =1 − sin x.$ Так как $sin(−x)= − sinx,$ то

2cos2x− 3sin(−x)− 3 =0 2 2− 2sinx +3sinx− 3= 0 2sin2x− 3sinx +1= 0

Пусть $sinx= t.$ Тогда $sin2x= t2.$ Решим уравнение относительно новой переменной:

2t2− 3t+1 =0 D = 32 − 4⋅2⋅1= 1 t1,2 = 3±-1 4 t1 = 1 1 t2 = 2

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ sinx = 1 |x = π2 + 2πk, k ∈ℤ |⌈ ⇔ ||⌈x = π6 + 2πk, k ∈ℤ sinx = 12 x = 5π-+2πk, k∈ ℤ 6

б) Проведём отбор корней на числовой окружности:

$PIC$

Ответ:

а) $π + 2πk; 6$ $5π-+ 2πk; 6$ $π+ 2πk, 2$ $k∈ℤ$

б) $5π 2 ;$ $17π 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 204#90134Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

tgxtg2x+ 3= 0.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 221, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, как можно упростить уравнение. Было бы удобно сделать замену и решить обычное, не тригонометрическое уравнение. Как это сделать?

Подсказка 2

Применим формулу тангенса двойного угла. Тогда при замене t = tg(x) и домножении левой и правой части на 1 - tg²x получим обычное квадратное уравнение.

Показать ответ и решение

Применим формулу тангенса двойного угла

-2tgx-- tgx⋅1− tg2x = −3

2 tg2x= 3tg2x− 3

√ - tgx= ± 3⁄= ±1

π x =± 3 + πn,n∈ ℤ

Ответ:

$± π + πn, n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 205#90408Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√2 √2- 1 1 sinx-+ cosx-= sin2x + cos2x-.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 224, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ ;) Перед нами выражение, в обеих частях которого стоят дроби. Это может быть не совсем удобно, а как от них избавиться?

Подсказка 2

Домножим обе части равенства на квадраты синуса и косинуса!

Подсказка 3

На что похоже выражение слева? Быть может, его можно попробовать «собрать»?

Подсказка 4

В выражении слева выносится удвоенное произведение синуса и косинуса, а выражение в скобках очень напоминает известную формулу ;)

Подсказка 5

Имеем, что sin(2x)sin(x+ pi/2)= 1. Осталось лишь понять, какие же значения может принимать каждая из скобок ;)

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ.

{ sinx ⁄=0 πk cosx ⁄=0 ⇐⇒ x ⁄= 2-,k ∈ℤ

Домножим равенство на $sin2x⋅cos2x:$

√2sin xcos2x+ √2sin2cosx= cos2x+ sin2x

√- √ - 2sin xcosx(-2-cosx+ --2sinx)= 1 2 2

π sin2x⋅sin(x + 4)= 1

Синус принимает значения из $[−1;1],$ поэтому равенство достигается только при

⌊ { | sin2x= 1 || { sin(x+ π4) =1 |⌈ sin2x= −1 sin(x+ π4) =−1

⌊ { π | 2x= 2 +2πk,k∈ ℤ || { x + π4 = π2 + 2πn,n ∈ℤ |⌈ 2x= − π2 + 2πk,k∈ ℤ x + π4 = − π2 +2πn,n∈ ℤ

⌊ { π | x = 4π + πk,k ∈ℤ ||| { x = 4 +π 2πn,n ∈ℤ ⌈ x =− 4 +π πk,k∈ℤ πk =− 2 + 2πn,n ∈ℤ

Решение первой системы: $π x= 4 +2πn,$ что удовлетворяет ОДЗ.

Вторая система не имеет решений для целых $k,n.$

Ответ:

$x = π+ 2πn (n∈ ℤ) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 206#90854Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $sinx= x2+ x+ 1$ .

Показать ответ и решение

В силу ограниченности синуса:

2 x +x +1 =sin x≤ 1⇒ x∈ [−1,0]

Затем:

2 ( 1)2 3 3 x +x +1 = x + 2 + 4 ≥ 4

Однако при $x∈ [−1,0] sinx ≤0 <3∕4≤ x2+x +1$ , откуда и получаем ответ.

Ответ: Решений нет

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 207#91338Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что при всех $x,0 <x <π∕3$ , справедливо неравенство

sin 2x +cosx> 1

Показать доказательство

Так как $0< x< π∕3$ , то $cosx ≥ 1 2$ и тогда

sin 2x +cosx= 2sinxcosx+ cosx≥ sinx +cosx> 1

Последнее неравенство получается возведением неравенства в квадрат.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 208#91382Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

2 2 2 sin x+ sin 2x+ sin 3x= 2.

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой $sin2t= 1−cos2t 2$ , преобразуем уравнение к виду $cos6x +cos4x +cos2x= −1$ . Сложим в нём первый и третий косинусы: $2cos2xcos4x+ cos4x =−1$ и сделаем замену $cos2x= t$ . Получим уравнение $3 2 2t +t − t=0$ , из которого $−-1 t1 = 0,t2 = −1,t3 = 2 .$ Отсюда находим три серии решений: $π πn x1 = 4 + 2$ , $π π x2 = 2 +πn,x3 = ±6 +πn.$ Отбор корней тут не нужен.

Ответ:

$π + πn,π+ πn,± π+ πn,n∈ ℤ 4 2 2 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 209#91391Максимум баллов за задание: 7

Представьте в виде обыкновенной дроби значение выражения

( 3 49π 49π- 3 49π 49π) 49π- sin 48 cos16 + cos 48 sin 16 cos 12

Показать ответ и решение

Обозначим $α= 49π= π+ -π. 48 48$ Тогда данное выражение равно

(sin3α cos3α+ cos3αsin 3α)cos4α= ( 3 ( 3 ) 3 ( 3 )) = (sin α⋅ 4cos α− 3cosα +co)s α⋅3 sinα− 4sin α cos4α = = −3sin3αcosα+ 3cos3αsinα cos4α = = 3sinα cosα⋅(cos2α − sin2α)cos4α= 3 3 = 2sin2αcos2αcos4α= 4sin4α cos4α = 3 3 ( 8π) 3 π 3- = 8sin8α= 8sin 8π+ 48 = 8 ⋅sin6 = 16

Ответ:

$-3 16$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 210#91678Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ ||cos(3x + π)||= −√2-cosy cos2y+ 2s4in2x+ 3 =2sin32x 4

Показать ответ и решение

Возводя в квадрат обе части первого уравнения и вычитая из полученного уравнения второе, придем к уравнению

2( π ) 1 2 cos 3x +4 = 4 − 2sin2xcos 2x,

которое сводится к уравнению $1 sin2x= − 2$ , являющемуся следствием исходной системы. Тогда из второго уравнения исходной системы получим $cos2y = 0$ , откуда $1 cosy = −√2$ , так как $cosy ≤ 0$ в силу первого уравнения системы. Итак, $1 sin2x =− 2$ и $1 cosy = −√2-.$

Ответ:

$((−1)k+1 π-+ πk;± 3π+2πn) ,k ∈ℤ,n∈ ℤ 12 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 211#91914Максимум баллов за задание: 7

Доказать, что

π 4 1 2 − arcsin 5 = 2arctg3

Показать доказательство

Пусть $α =arcsin4,β = arctg 1. 5 3$

Заметим, что $π 0< α< 2$ , откуда $π −2 < −α< 0$ и $π π 0< 2 − α < 2.$ Далее, так как $π 0 <β < 4$ , то $π 0< 2β < 2.$

Итак, углы $π 2 − α$ и $β$ заключены между 0 и $π 2.$ Поэтому для доказательства равенства $π 2 − α= 2β$ достаточно показать, что какая-нибудь тригонометрическая функция (например, тангенс) каждого из этих углов имеет одно и то же значение. Докажем, что

(π ) tg2β =tg 2 − α

Так как $tgβ = 13$ , то

tg2β = 12−-tgtβg2-β = 34.

Пользуясь формулой $tg(π2 − α)= ctgα$ и учитывая, что $sinα = 45$ и $0<α < π2$ , находим $cosα= 35$ и $ctgα= 34.$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 212#91927Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 1 2 2 cos2x+ 4sin 4x +1= sin4xcos2x+ sin x.

Показать ответ и решение

Уравнение можно записать в виде

( 1 )2 cos2x− 2sin 4x +cos2 x= 0

и поэтому оно равносильно системе

{ cosx= 0 cos2x = 12sin4x

Уравнение $cosx= 0$ имеет корни $x= π2 +πk$ , которые не являются корнями второго уравнения системы. Поэтому исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 213#92001Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

3sinxcosx+ sinx= 1+ cosx

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=sinx− cosx$ . Заметим, что $3 sinxcosx = 3(1− t2) 2$ . Перепишем уравнение

3 2 2(1− t)+ t= 1

3t2− 2t− 1 =0

Его корни $1$ и $− 1 3$ . В первом случае $sinx= 1$ или $cosx= −1$ , откуда

π x= 2 +2πk

x= π+ 2πk.

Нам осталось решить уравнение $sin x− cosx= − 1 3$ . Откуда легко заметить, что $x$ лежит в первой или третьей четверти. Возведем последнее уравнение в квадрат.

1 − 2sin xcosx = 1 9

sin2x= 8 9

Откуда $x= π− 1arcsin8+ πk 2 2 9$ или $x= 1arcsin 8+ πk 2 9$ . Легко проверить, что среди полученных коней нам подходят только $x = 1arcsin8 +2πk 2 9$ и $x= 3π− 1 arcsin8+ 2πk. 2 2 9$

Ответ:

$π + 2πk 2$ , $π +2πk$ , $1arcsin8+ 2πk 2 9$ , $3π− 1arcsin 8+ 2πk,k∈ ℤ 2 2 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 214#92009Максимум баллов за задание: 7

Найти все значения $c$ , при которых уравнение $4sinx+ 9cosx= c$ имеет решение.

Показать ответ и решение

Обозначим за $x= tanx 2$ . Выразим синус и косинус через тангенс половинного угла. Получим уравнение

--8x-- 9−-9x2 9+-8x− 9x2 x2+ 1 + x2 +1 = x2+ 1 =c

Домножив на знаменатель, получаем уравнение относительно $x$ .

(9+ c)x2− 8x+ (c− 9)= 0

Если старший член не равен 0, оно имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен, а значит, $2 64− 4c +4⋅81≥ 0$ . Откуда $2 c ≤97$ . Поскольку уравнение $x tan 2 = d$ имеет решение при любом вещественном $d$ , все $c$ , удовлетворяющие полученному условию, нам подходят.

Если же старший член равен 0, то также несложно видеть, что уравнение имеет решение.

Осталось рассмотреть случай, когда мы не можем сделать такую замену. Это значит, что $x cos2 = 0$ . Но тогда $cosx= −1,sinx= 0$ . То есть в этом случае $c=− 9$ , такое число уже входит в полученный отрезок.

Ответ:

$[−√97;√97]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 215#92012Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin3x 2cos3x sin x − cosx = 5|sinx|

Показать ответ и решение

ОДЗ: $sinx ⁄=0$ , $cosx⁄= 0$ .

Разложим синус и косинус тройного угла по формуле.

2 2 3− 4sin x− 2(4cosx − 3)= 5|sinx|

Пусть $t =|sinx|$ . Тогда $3− 4t2− 2(1− 4t2)= 5t$ или $4t2− 5t+1 =(t− 1)(4t− 1)= 0$ . Если $t=1$ , то $cosx= ±√1-−-t2 = 0$ ?! Значит, $t= 1 4$ и $sinx= ±1. 4$

Ответ:

$±arcsin 1+ πn,n ∈ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 216#92024Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2(3π ) √ - 2 sin 2 + x = 3cosx.

Показать ответ и решение

Заметим, что

2( 3π- ) 2 sin 2 + x = cos x

Поэтому уравнение можно переписать в виде

√- 2cos2x− 3cosx= 0

( √-) 2cosx cosx− -3- = 0 2

Значит, либо $cosx =0$ откуда $x = π+ πk,k ∈ℤ 2$ , либо $cosx= √3 2$ , откуда $x= ± π+ 2πk,k∈ ℤ 6$ .

Ответ:

$π + πk,± π+ 2πk,k∈ ℤ 2 6$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 217#92039Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 1 cosx −2 sin2x+ cosx =sinx.

Показать ответ и решение

Перенесём все члены в левую часть, преобразуем и разложим левую часть на множители:

2 cos x− sinxcosx +cosx− sinx= 0

cosx(cosx+ 1)− sinx(cosx +1)= 0

(cosx +1)(cosx− sinx)= 0

1 случай. Если $cosx= −1$ , то $x =π +2πk,k∈ℤ.$

2 случай. Если $cosx⁄= −1$ , то $cosx− sinx= 0.$ При $cosx =0$ решений нет. Разделим обе части уравнения на $cosx.$ Получаем $1− tgx= 0⇔ tgx= 1$ . Тогда $x= π4 +πk,k∈ ℤ$

Ответ:

$π +2πk,π+ πk;k∈ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 218#92047Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

1 cosxcos2x cos4xcos8x = 8cos15x.

Показать ответ и решение

Предположим, что $sinx =0$ . Тогда $x =πk$ . Отсюда $cosxcos2xcos4xcos8x = ±1= 1cos15x.= ±1 8 8$ ?!

Значит, $x⁄= πk$ и можно домножить все на $8sinx$ и это будет равносильный переход.

16sinxcos2xcos4xcos8x= 8sin2xcos2xcos4xcos8x= 4sin 4xcos4xcos8x =

=2sin 8x cos8x= sin16x= 2cos15xsinx = sin(−14x)+ sin16x

Тогда $sin14x= 0$ . Значит, $x= π1k4,k∈ℤ$ , кроме $x= πn,n ∈ℤ$ .

Ответ:

$πk,k∈ ℤ,k⁄ ..14 14 .$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 219#92058Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( π) ( π) 6sin 2x − 6 + 5sin x− 3 +1 =0.

Показать ответ и решение

Пользуясь формулой приведения $sinα =cos(π− α) 2$ , получаем:

( π ) (π π) ( 2π ) ( 2π) sin 2x − 6 = cos 2 − 2x + 6 = cos 3 − 2x = cos 2x − 3

Уравнение принимает вид

( ) ( ) 6cos 2x − 2π- + 5sin x− π +1 =0 3 3

Делаем замену $t= sin(x− π3)$ :

[ ( 2) 2 t= 1 6 1− 2t +5t+ 1= 0 ⇔ 12t − 5t− 7= 0 ⇔ t= −172

Дальнейшее очевидно.

Ответ:

$5π +2πn,π+ (−1)n+1arcsin 7-+ πn,n ∈ℤ 6 3 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 220#92060Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $sinx− 2sin24x= 1.$

Показать ответ и решение

Заметим, что $sin2 ≥ 0$ и $sinx≤ 0$ . Значит $sinx − 2sin24x ≤1$ . Раз в последнем неравенстве достигается равенство, то и в предыдущих оно должно достигаться. Значит $sinx= 1$ и $sin4x= 0$ . Из первого равенства следует, что $π x= 2 +2πk$ и такие $x$ подходят, так как $( (π )) sin 4 2 + 2πk = 0.$

Ответ:

$π + 2πk,k∈ ℤ 2$

Следующая подтема