Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 221#92061Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $4sin4 x+7cos2x= 7.$

Показать ответ и решение

Пусть $sin2 x= t$ . Тогда $cos2x= 1− t$ и $4sin4x +7cos2x = 4t2+ 7− 7t= 7.$ Значит, $t= 0$ или $t= 7 4$ . Второе невозможно, так как $2 t= sin x≤ 1$ . Значит, $2 t= sin x= 0$ и $x= πk,k ∈ℤ$

Ответ:

$πk,k∈ ℤ$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 222#92062Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 4 cos4x+ 8sin x − 2= 6cos2x − 8cos x.

Показать ответ и решение

Давайте перепишем всё через $cosx$ .

2 2 2 4 2 cos4x= 2cos 2x− 1= 2(2cosx − 1) − 1 =8 cos x− 8cos x+ 1

2 cos2x= 2cos x− 1

sin2x= 1− cos2x

Тогда

cos4x +8sin2x − 2= 8cos4 x− 8cos2x+ 1+8(1− cos2x)− 2 =

= 6cos2x − 8cos4 x= 12 cos2x− 6− 8cos4x

16cos4x − 28cos2x +13= 0

Если представить это уравнение от $t= cos2x$ .

2 16t − 28t+ 13= 0

У этого уравнения дискриминант равен $− 48<0,$ и значит, корней нет.

Ответ: решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 223#92064Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

tgx − tg2x= sinx.

Показать ответ и решение

sinx- sin2x- cosx − cos2x = sinx

Если $sinx =0$ , то $x$ подходит под условие и ОДЗ. Пусть $sinx⁄= 0.$

1 2cosx cosx − 2cos2x−-1-=1

Переобозначим $t= cosx$ и домножим на $t$ и $2t2− 1$ .

2t2− 1− 2t2− t(2t2− 1)= −(2t3− t+1)= −(t+1)(2t2− 2t+ 1)

Дискриминант меньше 0 и значит единственный корень $t= cosx= 1$ , а в этом случае $sinx= 0$ .

Ответ:

$πk,k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 224#92065Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2tgx+ tg2x+ 2tgxtg3x+tg2xtg3x= 0.

Показать ответ и решение

Разложим уравнение на скобки

(2tgx +tg2x)(tg3x+ 1)= 0

Тогда либо $tg3x +1= 0$ , либо $tgx+ tg 2x =0$ .

Если $tg3x+ 1= 0$ , то $x= − π-+ πk 12 3$ . Осталось проверить, что $tgx$ и $tg2x$ определены. Заметим, что если $x =− π-+πk 12$ , то все хорошо, если $x = 3π-+ πk 12$ , то $tg2x$ не определен, если $x = 7π-+πk 12$ , то все хорошо.
Если $2tg x+tg2x= 0$ , то $tgx+ tg2x= tgx(2+ --2--) =0 1−tg2x$ . Значит, либо $tgx= 0$ , $x =πk$ и все определено, либо $2 1− tg x= −1$ и $√ - tgx =± 2$ . В последнем варианте $√- x = ±arctg 2+ 2πn$ . Тогда $√- tgx =± 2$ , $√ - tg 2x =∓2 2$ и $∓-√2 tg3x= 5$ .

Ответ:

$−-π+ πk 12$ , $7π+ πk 12$ , $πk$ , $± arctg√2+ 2πk,k ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 225#92089Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $2cos2x+ 2sin2x= 3.$

Показать ответ и решение

Первое решение.

Заметим, что $sin2x ≥0$ , иначе левая часть уравнения не превосходит 2 . Поэтому $[ π ] x ∈ πk,2 + πk$ , где $k$ целое. Перенесем $2 2cos x$ направо, и возведем обе части в квадрат

2 4 2 4 sin 2x =4 cos x− 12 cos x+ 9 16sin2xcos2x= 4cos4x− 12cos2x+ 9 16(1− cos2x)cos2x= 4cos4x− 12cos2x+ 9

Перенесем все слагаемые направо, затем сделаем замену $t= cos2x$ . Получим квадратное уравнение

20t2− 28t+9= 0

Его корни $1 2$ и $9- 10$ . Получили уравнения $2 1 cosx = 2$ или $2 -9 cos x= 10$ . Откуда с учетом ограничений на $x$ , получаем ответ $(π ) ( 3√10- ) -4 + πk ∪ arccos-10-+πk$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Сведем уравнение к квадратному относительно тангенса:

2 2 ( 2 2 ) 2cos x+ 2sin2x= 3⇔ 2cos x+ 4sinxcosx= 3sinx +cos x ⇔ ⇔ 3sin2x − 4sin xcosx+ cos2x =0 ⇔ 3tg2x − 4tgx+ 1= 0⇔ [ tgx= 1, [ x = π+ πk ⇔ tgx= 1 ⇔ x = arc4tg 1+ πk 3 3

Ответ:

$π + πk;arccos3√10+πk;k∈ ℤ 4 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 226#34200Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

∘ ---4---------------- 8sin x− 6sin4x− 4sin2x= 2sin 2x.

Источники: Физтех - 2021, аннулированный из-за технических проблем вариант

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Стоит избавиться от корня, не забыв про одз из-за правой части) А также раскрыть после этого формулу синуса двойного угла.

Подсказка 2

Может помочь то, что теперь уравнение является однородным, а значит стоит поделить уравнение на cos^4x (не забыв проверить случай cosx = 0)

Подсказка 3

Получим в основном тангенсы, в одном месте получим 1/cos²(x), но это тоже можно превратить в tg(x), просто разделим основное тригонометрическое тождество на cos²(x). Разложив выражение на множители, выйдем на финишную прямую решения этой задачи.

Показать ответ и решение

Учтём, что $sin 2x ≥0$ и возведём в квадрат, применяя формулы двойных углов, получим

4 2 2 2 2 8sin x− 24sinxcosx(cosx − sin x)− 8sinxcosx= 16sin xcosx

Заметим, что $cosx= 0$ не является решением и поделим на $cos4x$

4 3 2 2 8tg x− 24tg x+24tg x− 8tg x⋅(1+ tg x) =16tg x

tgx⋅(tg3x+ 2tg2x− 2tgx − 4)= 0

tgx(tg x+2)(tg2x− 2)= 0

В итоге $√- tgx∈ {± 2;−2;0}$ , после проверки $sin 2x ≥0$ останутся только $0$ и $√- 2$ .

Ответ:

$πn;arctg√2+ πn; n ∈ℤ$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 227#48861Максимум баллов за задание: 7

При каких $a$ уравнение $arcsin(cosx)=cos(arcsin(x− a))$ имеет единственное решение?

Источники: Росатом - 2021, 11.5, комплект 1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно посмотрим на левую часть. С аркфункциями работать не хочется, поэтому нужно от них избавиться. Нам намного удобнее работать с выражением arccos(cos(x)). Попробуйте привести всё к нему в левой части.

Подсказка 2

Отлично! Левая часть равна π/2 - arccos(cos(x)). Теперь взглянем на правую часть. Тут также хочется избавиться от тригонометрических функций. Обозначьте arcsin(x - a) как за угол α и воспользуйтесь тем, что sin(α) = x - a.

Подсказка 3

Так, теперь мы получили, что левая часть равна √(1 - (x-a)^2). Попробуем изобразить графики полученных функций.(Заметьте, что левую часть можно рассматривать только на отрезке [-π;π], ведь у неё период 2π).

Подсказка 4

Нам нужно только одно решение. То есть можно смотреть только на a от -π до π, а потом записать ответ с периодом 2π. Теперь всего лишь осталось посмотреть, как наша полуокружность движется в зависимости от a, и найти точки, где одно пересечение.

Показать ответ и решение

Изобразим график $y = arcsincosx$ на $[−π,π]$ . Сама функция имеет период $2π$ , поэтому на остальной прямой график будет повторяться

$PIC$

Теперь посмотрим на график правой части $∘ --------2 y = cosarcsin(x− a)= 1− (x− a)$ , который будет полуокружностью

$PIC$

Например, графики будут расположены так при $a0 =− π$

$PIC$

С ростом параметра $a$ оранжевый график перемещается вправо. Достаточно рассмотреть значения $a ∈[−π,π]$ , поскольку оранжевый график может пересекать не более одного “уголка” синего графика (помним про периодичность). Остаётся найти те значения параметра, при которых изменяется количество общих точек на $[−π,π]$ .

Первое такое значение будет в момент первого пересечения при движении оранжевого графика вправо

$PIC$

Заметим, что правая точка оранжевого графика соответствует $x= a+ 1$ , откуда

a+ 1= − π ⇐⇒ a1 =− π − 1 2 2

При дальнейшем движении решение будет только одно вплоть до положения

$PIC$

когда решений становится два. Левая точка оранжевого графика соответствует $x= a− 1$ , откуда

π π a− 1= −2 ⇐⇒ a2 =− 2 +1

Дальше решения будет два вплоть до положения, когда произойдёт касание

$PIC$

Поскольку касательная имеет коэффициент наклона $− 1$ , то на полуокружности это точка $1 1 (a− √2,√2)$ (учитывая смещение на $a$ из центра координат). При этом точка касания лежит на прямой $π y =x + 2$ (левая часть уголка), откуда

1 1 π π √- √2-= a− √2 + 2 ⇐ ⇒ a3 =− 2 + 2

Далее решений не будет вплоть до касания с противоположной стороны уголка в симметричной точке $a4 =− a3 = π2 − √2$ , где решение будет одно. Далее вплоть до $a5 = −a2 = π2 − 1$ решений два. Потом от неё до $a6 = π2 + 1$ решение единственное, а после до $a7 = π$ решений нет.

В итоге для единственности подойдут

a ∈[a1,a2)∪(a5,a6]∪{a3,a4}

Остаётся учесть период и написать ответ.

Ответ:

$[− π− 1+ 2πk,− π + 1+2πk)∪ (π − 1+2πk,π+ 1+ 2πk]∪{− π+ √2+ 2πk,π − √2-+ 2πk} , k∈ ℤ 2 2 2 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 228#63561Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4sin2xcos3x− 2sin5x= tg2x

Источники: ДВИ - 2021, вариант 215, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раскрывать по формуле синуса суммы и косинуса суммы тройные, а уж тем более “5-рные” углы мы не хотим. А что еще можно сделать с первым слагаемым левой части?

Подсказка 2

Конечно применить формулу произведения синусов! Тогда после преобразований получим выражение только с двойными углами. А с ними уже проще работать! Но не спешите применять формулу к тангенсу, ведь слева останется еще синус, который все портит. Попробуйте сначала перейти к выражению с синусами и косинусами!

Подсказка 3

Чтобы не работать с дробями – домножаем обе части на знаменатель (не забывая выписать ограничение) и теперь уже смело можем раскрывать двойные углы. Что общего у всех слагаемых?

Подсказка 4

Есть общий множитель! Выносим его за скобку, предварительно перенеся все в одну сторону – приговор для него уже подписан. А со скобкой, возможно, еще стоит поработать! Приведите ее к выражению, в котором есть только косинусы и числа. На что похоже полученное выражение?

Подсказка 5

Конечно на квадратный трехчлен! Вот только оно относительно функции, а не просто переменной. Ищем нули известным Вам способом и получаем уже простейшие тригонометрические уравнения! Для удобства можно ввести новую переменную t = cos (x) и решать квадратное относительно t уравнение.

Показать ответ и решение

Снова вспомним формулы $2sin2xcos3x= sin5x − sinx$ , тогда получим:

2(sin5x− sinx)− 2sin5x= tg2x

Домножим на $cos2x⁄= 0$ :

− 2sinxcos2x = sin2x= 2sinxcosx

Если $sinx =0$ , то $x =πn,n ∈ℤ$ , иначе

cosx+ cos2x= 0

2cos2x+ cosx− 1= 0

cosx= −1±-3 4

Тут можно заметить, что для $cosx= −1$ верно $sinx= 0$ , поэтому достаточно добавить в ответ серию для второго решения $x =± π3 + 2πn,n ∈ℤ$ . Очевидно, все корни подходят под условие $cos2x⁄= 0$ .

Ответ:

$πn,±π + 2πn, n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 229#63562Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 ctgx− 2ctg 2x = 3cosx

Источники: ДВИ - 2021, вариант 216, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не забываем выписать ОДЗ и смотрим на косинус справа. Он явно не даст нам работать только с тангенсами и котангенсами, значит, приводим все к выражению с косинусами и синусами!

Подсказка 2

Все еще остались двойные углы – самое время от них избавиться! А заодно и дроби собрать в одну, приведя к общему знаменателю. Приводите числитель к красивому итогу и смотрите, что получилось :)

Подсказка 3

А получилось уже совсем несложное тригонометрическое уравнение! Можем ли еще сильнее упростить его, перейдя к одной тригонометрической функции?

Подсказка 4

Если домножить обе части на знаменатель, то получится заменить квадрат косинуса на выражение с квадратом синуса по ОТТ! Остается лишь решить квадратичное уравнение и добить до ответа. Для удобства можно ввести новую переменную t = sin (x) и решать квадратное относительно t уравнение.

Показать ответ и решение

Учтём, что $sin 2x ⁄=0$ — это задаёт всю ОДЗ, далее преобразуем выражение слева:

cosx 2cos2x-− 1 1− cos2x sin-x ctgx− 2ctg2x= sin x − sinxcosx = sinxcosx = cosx

В итоге

2 sinx −3 ±5 1 3cosx = cosx-⇐⇒ 2sin2x +3sinx − 2 =0 =⇒ sinx=--4-- =− 2,2

То есть $sinx = 12,x= (−1)nπ6 + πn,n ∈ℤ$ (что удовлетворяет ОДЗ).

Ответ:

$(−1)nπ+ πn,n∈ ℤ 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 230#77698Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

x x 2⋅cos(2⋅2021 )− 3⋅cos(2021 )+1 =0

Источники: САММАТ - 2021, 11.6 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сделаем замену t = 2021^x. Как можно преобразовать получившееся равенство? Какие известные формулы применить?

Подсказка 2

Формулу понижения степени! Справа ноль, тогда хочется попробовать как-то разложить левую часть на множители...

Подсказка 3

(cos(t) - 1)(4cos(t) + 1) = 0. Разберем случаи! Тогда решать уже будет не так сложно :) Не забываем про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $t= 2021x,t>0.$ Тогда

2 2cos(2t)− 3cos(t)+1= 0⇔ 4cos (t)− 3cos(t)− 1 =0,

(cos(t)− 1)(4cos(t)+ 1)= 0.

1) $cos(t)= 1⇒ t= 2πn,n∈ℤ,n ≥1,$ чтобы $t> 0⇒ x =log2021(2πn),n ∈ℕ.$

2) $[ t=arccos(−0,25) cos(t)= −0,25 ⇒ t=± arccos(−0,25)+2πn,n∈ ℤ n≥ 1, чтобы t>0.$

$[ x= log (arccos(− 0.25)) x= log2021(± arccos(−0.25)+ 2πn),n∈ ℕ. 2021$

Ответ:

$log (arccos(−0.25)),log (2πn),log (±arccos(−0.25)+ 2πn),n∈ ℕ 2021 2021 2021$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 231#79624Максимум баллов за задание: 7

При каких целых $n$ функция $f(x)= cosnx ⋅sin 15x- n2$ имеет период $T = 5π$ ?

Источники: Росатом - 2021, 11.2, комплект 2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нас интересуют случаи, когда период равен 5π. Как можно выразить это условие для нашей функции?

Подсказка 2

Конечно, значения функции в точках x и x+5π будут одинаковы, так что можно приравнять значения функции. Мы получили тригонометрическое уравнение, которое приводится к виду "произведение трёх множителей = 0" (обратите внимание, что значение косинуса зависит от значения аргумента, так что тут нужно отдельно разобрать два случая). Обычно после этого достаточно просто найти, когда зануляется каждый множитель, но помните, что наша задача - не найти такие x, а выяснить, при каких n выражение зануляется для любых аргументов.

Подсказка 3

Подумайте, при всех ли x значение наших тригонометрических функций может обращаться в 0? Если мы можем выразить x через n, π и k, то можем найти и отношение х к π. Что мы можем сказать о его рациональности?

Подсказка 4

Конечно, у нас получится, что х/π — рациональное число. Но мы всегда можем подобрать такой х, что х/π будет иррациональным числом (например, х=π²). То есть при некоторых х такое выражение всегда ненулевое. Тогда остаётся выяснить, для каких множителей отношение х/π может быть иррациональным, и найти, при каких целых n они могут обращаться в 0.

Показать ответ и решение

Условие задачи равносильно тому, что при всех вещественных $x$

15(x+-5π) 15x- cosn(x+ 5π)⋅sin n2 = cosnx⋅sin n2

(a) если $n$ чётно, то имеем равенство

15(x +5π) 15x cosnx⋅sin---n2---= cosnx ⋅sinn2-

( ) cosnx sin15x+275π-− sin152x = 0 n n

2cosnx⋅cos( 30x-+75π) ⋅sin 75π= 0 2n2 2n2

Найдём нули первых двух косинусов

cosnx =0 ⇔ nx= π +πk (k ∈ℤ) ⇔ x = 1-+ k 2 π 2n n

( ) cos 30x-+75π- =0 ⇔ 30x+-75π-= π+ πm (m ∈ℤ) ⇔ x= n2 + mn2-− 5 2n2 2n2 2 π 60 30 2

В обоих случаях отношение $x$ к $π$ рационально. Поэтому найдется такое значение $x,$ при котором два косинуса не обращаются в ноль (например, $2 x= π$ ). Отсюда следует, что условие задачи равносильно равенству

75π 75π 2 sin2n2 =0 ⇔ 2n2 = πt (t∈ℤ) ⇔ 75= 2n t,

которое не может быть выполнено, так как число $75$ нечетно.

(b) если $n$ нечётно, то имеем равенство

15(x+ 5π) 15x − cosnx ⋅sin ---n2---= cosnx ⋅sin n2-

( ) cosnx sin15x+275π-+ sin152x = 0 n n

2cosnx⋅sin( 30x+-75π)⋅cos75π= 0 2n2 2n2

Найдём нули первых двух множителей

π x 1 k cosnx =0 ⇔ nx= 2 +πk (k ∈ℤ) ⇔ π = 2n-+ n

( ) 2 sin 30x+2n275π- = 0 ⇔ 30x2+n725π-=πm (m ∈ℤ) ⇔ xπ = n3m0-− 52

В обоих случаях отношение $x$ к $π$ рационально. Поэтому найдется такое значение $x,$ при котором два косинуса не обращаются в ноль (например, $x= π2$ ). Отсюда следует, что условие задачи равносильно равенству

75π- 75π π 2 2 cos 2n2 = 0 ⇔ 2n2 = 2 + πt (t∈ℤ) ⇔ 75 =2n t+2n

75 n2 = 2t+ 1

Так как $75 n2$ — целое, то $n2 = 25$ или $n2 =1,$ отсюда

n ∈{−5;−1;1;5}

Ответ:

$±1, ±5$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 232#90014Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin3x−-sinx- √- ( 2 ) 2⋅cos3x+ cosx = 3⋅ 1− tg x .

Источники: ДВИ - 2021, вариант 213, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, а как можно преобразовать числитель и знаменатель? Какие формулы можно применить?

Подсказка 2

Распишем числитель и знаменатель по формулам преобразования суммы триг. функций в произведение. Чему тогда равна левая часть после преобразований?

Подсказка 3

Получаем, что 2*tg(x) = √3 * (1 - tg²(x)). Несложно заметить, что это квадратное уравнение относительно tg(x). Решаем его и не забываем про ОДЗ ;)

Показать ответ и решение

Преобразуем разность синусов и сумму косинусов в произведения:

2cos2xsinx √ - 2 2⋅2cos2x cosx = 3(1− tgx)

Запишем ОДЗ:

( π πk ||{ x⁄= 4 +-2 cos3x+ cosx ⁄=0;cosx ⁄=0 ⇐ ⇒ || π ( x⁄= 2 +πk, k ∈ℤ

Тогда получаем следующее:

√- √ - √- 2tgx= 3(1 − tg2x) ⇐ ⇒ 3tg2x +2tgx− 3 =0

⌊ √- ⌊ 2π tgx= −√-3 | x= 3-+ πk ⌈ tgx= -3- ⇐⇒ |⌈ π 3 x= 6 + πk,

Объединяя решения и пересекая их с ОДЗ, получаем:

x = π+ πk, k∈ℤ 6 2

Ответ:

$π + πk, k∈ ℤ 6 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 233#90862Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

-sin2x- |cos2x| ≤ 2|sinx|− |cos2x|.

Источники: Росатом - 2021, 11.2, комплект 1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Записав ограничение на cos2x, сразу же домножим на |cos2x| и перенесём всё в левую часть. Теперь выражение в левой части выгладит довольно знакомым. Что же это?

Подсказка 2

Верно! Это же полный квадрат. А значит, мы получаем, что (|sinx|-|cos2x|)² <= 0. Тогда во что переходит наше неравенство?

Подсказка 3

Да, точно! В равенство. Теперь мы имеем уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. А его мы уже с лёгкостью можем решить, перезаписав в виде f(x) = ±g(x).

Показать ответ и решение

ОДЗ: $cos2x ⁄=0$

Домножим на положительное число $|cos2x|$ .

2 2 2 sinx − 2|sinx||cos2x|+ cos 2x= (|sin x|− |cos2x|) ≤ 0

Значит, $|sin x|= |cos2x|$ . Значит, либо $sinx =1− 2sin2x$ , либо $sin x= 1− 2 sin2x$ . Из квадратных уравнений мы получаем, что $sinx= ±1 ± √5 2 2$ .

Так как $|sinx|≤ 1$ , то $sinx$ либо $1− √5 2 2$ , либо $− 1 + √5. 2 2$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 234#90864Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что число $x = − sin π 1 18$ является корнем кубического уравнения $8x3− 6x− 1= 0$ . Найдите два других его корня.

Источники: Росатом - 2021, 11.2, комплект 4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что похож sin(pi/18)? На разделенный на три аргумент sin(pi/6), чье значение нам известно. Также, мы знаем корнем какого уравнения у нас является -sin(pi/18) - кубическое уравнение. В какой формуле у нас связаны кубическим уравнение угол и утроенный угол?

Подсказка 2

Собственно, в выражении тройного угла. Тогда выходит, что у нас sin(-pi/6) = 3 * x_1 - 4 * x_1^3, где x_1 = -sin(pi/18). Значит, 3 * x_1 - 4 * x_1^3 = -1/2. Откуда и следует требуемое. Теперь давайте поймем, как нам получить еще два корня. Правда ли, что нам подойдут все корни, которые по модулю 2pi, после умножения на 3, будут равны -pi/6?

Подсказка 3

Да, это правда. Ну тогда, нам надо найти такие корни. Значит, нам надо найти корни вида sin(pi * k / 18), которые после умножения на 3 дадут требуемое условие. Нетрудно понять(к примеру, перебором), что это корни sin(11pi/18) и sin(23pi/18).

Показать ответ и решение

Вспомним, что $sin3x =3sin x− 4 sin3x$ . Значит,

1 π 3 − 2 = sin− 6 = 3x1− 4x1

8x31− 6x1− 1= 0

По аналогии, если $11π- x2 = sin18$ , то

1 11π 3 −2 = sin-6-= 3x1− 4x1

8x31− 6x1− 1= 0

и если $23π- 5π x3 = sin 18 = sin18$ , то

− 1 = sin23π= 3x1− 4x31 2 6

8x31− 6x1− 1= 0

Значит, у нас есть корни

x1 = − sin π-= sin− π 18 8

x2 = sin11π 18

23π 5π x3 = sin 18 = − sin18

Ответ:

$sin11π-,sin 23π- 18 18$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 235#90865Максимум баллов за задание: 7

Вычислите

π- 2π- 2π- 3π kπ- (k-+1)π 2019π- 2020π tg 43 ⋅tg 43 + tg 43 ⋅tg 43 + ...+ tg 43 ⋅tg 43 + ...+ tg 43 ⋅tg 43 .

Источники: ОММО - 2021, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выражение с 2019-ю слагаемыми! Очевидно, что вручную такое не посчитать. У нас есть длинный ряд с похожими слагаемыми, что вспоминается в первую очередь, когда видим нечто подобное?

Подсказка 2

Телескопические суммы! Правда было бы славно, если бы большинство слагаемых взаимно уничтожилось? Но знаем ли мы какую-нибудь формулу для произведения тангенсов, чтобы они преобразовалось в разности? Может видели как фрагмент где-нибудь…

Подсказка 3

Тангенс разности! Осталось только выразить произведение оттуда и посчитать значение выражения!

Показать ответ и решение

Вспомним формулу

tgα− tgβ tg(α− β)= tgα-tgβ-+1-

tgαtgβ = tgα−-tgβ− 1 tg(α− β)

Значит

kπ (k+ 1)π tg (k+413)π-− tg k4π3 tg 43 ⋅tg-43-- = ----tg π43----− 1

tg π-⋅tg 2π-+ tg 2π-⋅tg 3π+ ...+ tg 2019π⋅tg 2020π-= 43 43 43 43 43 43

( 2π π ) ( 3π 2π ) ( 2020π 2019π ) =-tg43 −-tg43-+-tg43 −-tg-43-+...+-tg--43-−-tg--43-- − 2019= tg π43

tg 2020π− tg π tg(47π− π)− tg π = ---43tg π--43− 2019= ------tg43 π-----43− 2019 =−2021 43 43

Ответ: -2021

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 236#94203Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ |sinx|+1 =tgy |siny|+1 =tgx

Источники: САММАТ - 2021, 11.9 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Удобно ли нам рассматривать все пары (x,y), где оба числа действительные? Или же можно как-то ограничить это множество аргументов? Конечно, можно, ведь tg и sin — периодические функции. На каком тогда промежутке было бы удобно рассматривать наши функции и что тогда будет давать некоторая пара (x₀, y₀), которая является решением на нём?

Подсказка 2

Понятно, что удобно было бы рассматривать это на промежутке [-π/2, π/2], так как это и есть период tg и sin. При этом, решение на таком промежутке дает множество решений вида (x₀+πn, y₀+πm). Что делать дальше? Может быть, ещё ограничить множество, на котором мы рассматриваем, с учётом того, как выглядит система? У нас ведь слева выражение ≥ 1.

Подсказка 3

Так как слева у нас выражение ≥ 1, то tg(x) ≥ 1, а значит мы можем рассматривать выражение на [π/4, π/2]. Что на этом промежутке можно сказать про функции sin(x) и tg(x)? А что нам это может дать? Как мы преобразуем систему, чтобы использовать это знание о функциях на новом промежутке?

Подсказка 4

Эти функции — строго возрастающие на данном промежутке, а значит, если мы сложим оба равенства, то получим, что f(x) = f(y), где f(x) = sin(x)+tg(x), при этом в силу строгого возрастания, x = y (в рамках этого промежутка). Значит, наша система свелась к тому, чтобы найти решение уравнения sin(x)+1 = tg(x) ⇔ sin(x)*cos(x) = sin(x)-cos(x). Заметим, что выражения sin(x)-cos(x) и sin(x)*cos(x) связаны очень хорошими преобразованиями из одного в другое и выражаются друг через друга крайне понятно. Выразите и решите!

Подсказка 5

Если sin(x)-cos(x) = t, то t² = 1-2sin(x)*cos(x) = 1-2t. Остается найти t, приравнять это значение к sinx - cosx, а потом найти x, а значит и y. Но вот вопрос - какое тогда множество решений у нас будет?

Показать ответ и решение

Функции $|sinx|$ и $tgx$ - периодические функции периода $π$ . Поэтому $x =x ,y = y 0 0$ является решением системы лишь тогда, когда $x =x0+ nπ,y = y0+$ $m π$ будет решением системы при всех $n,m ∈ℤ$ . Следовательно, систему уравнений достаточно решить при условии, что $x,y ∈ (− π∕2;π∕2)$ .

Пусть $x,y ∈ (−π∕2;π∕2)$ . Так как $tgx≥ 1,tgy ≥1$ , то $x,y ∈ [π∕4;π∕2)$ . В этом случае система записывается как

{ sinx+ 1= tgy, siny+ 1=tgx.

На промежутке $[π∕4;π∕2)$ функции $sinx$ и $tgx$ строго возрастающие. Из равенства

sinx+ tg x= siny+ tgy

следует, что $y = x$ . Поэтому решение системы (1) сводится к решению уравнения

sinx +1 =tgx

на промежутке $[π∕4;π∕2)$ . Уравнение представляется как

sinx cosx= sinx − cosx.

Положим $z = sinx − cosx$ . Тогда

1 − z2 = 2z

и, значит, $√ - z =− 1+ 2$ . Решив уравнение

√- sinx− cosx =− 1+ 2,

находим, что $π 2−-√2 x= 4 +arcsin 2$ . Поэтому решениями заданной системы будут $x=$ $π 2−√2 π 2−√2- 4 + arcsin 2 + nπ,y = 4 + arcsin 2 + mπ$ , где $n,m ∈ℤ$ .

Ответ:

$(π +arcsin 2−√2+ nπ;π+ arcsin2−√2 +m π), n,m ∈ ℤ 4 2 4 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 237#94773Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 3sin x− 3cosx− 6 sinx+ 2sin2x+ 3= 0.

Источники: Бельчонок - 2021, 11.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнении встречаются как sin(x), так и cos(x), поэтому не получается так просто свести всё к одной переменной... Формулки тоже особо не применить тут, разве что синус двойного расписать. Тогда как тут можно попробовать решить, какие методы остаются?

Подсказка 2

Ага, остаётся метод оценки и разложение на множители. И если немного подумать, можно понять, что оценка тут ни к чему не приводит, тогда остаётся раскладывать на множители!

Подсказка 3

Тут можно воспользоваться методом неопределённых коэффициентов. Мы хотим получить sin²(x), тогда можем поставить в обе скобки sin(x) с коэффами A и B перед ними, при этом B сразу выражается через А. 3 можно расписывать по-разному, применяя основное тригонометрическое тождество, рассмотрите несколько способов.

Подсказка 4

Ура, разложили на множители! Остаётся решить парочку несложных уравнений (помните же про метод вспомогательного угла?) и записать ответ!

Интересный способ решения!

Угадывать разложение на множители, конечно, весело, но есть ещё один способ решения! Можно записать левую часть как стандартный тригонометрический многочлен (погуглите) и выразить скобку с sin(2x) и cos(2x) через скобку с sin(x) и cos(x) (вам может помочь возведение в квадрат). Тогда можно будет ввести замену и решить уравнение!

Показать ответ и решение

Запишем левую часть уравнения как стандартный тригонометрический многочлен:

(4sin2x− 3cos2x)− 6(2sinx +cosx)+9= 0

Обозначим линейную часть (без коэффициента -6 ) через $y$ :

y = 2sin x+cosx

и посчитаем величину $y2$ (при этом запишем её как стандартный тригонометрический многочлен):

y2 =4sin2 x+4sinxcosx +cos2x = 41− cos2x+ 2sin2x+ 1+-cos2x = 1(4sin 2x − 3cos2x)+ 5 2 2 2 2

Видно, что квадратный блок исходного уравнения может быть выражен через квадрат линейного блока:

2 4sin2x− 3cos2x= 2y − 5

Поэтому наше уравнение можно решать с помощью новой неизвестной $y = 2sinx +cosx$ :

y2− 3y +2 =0⇔ y = 1 или y = 2

Возвращаясь к основной неизвестной $x$ , мы получим совокупность из двух уравнений:

[ 2sinx+ cosx =1 2sinx+ cosx =2

⌊ 1- 1- ⌈ cos(x− arccos √15)= √25 cos(x− arccos √5)= √5

⌊ ⌈ x− arccos√15-= ±arccos√15 +2πk,k∈ℤ x− arccos√15-)=± arccos 2√5 + 2πk,k∈ ℤ

⌊ x = π2 + 2πk,k ∈ℤ ||| x = 2πk,k∈ ℤ |⌈ x = 2arccos√15-+2πk,k∈ ℤ x = − π2 + 2arccos√15 + 2πk,k ∈ℤ

Ответ:

$π + 2πk,2πk,2arccos√1 +2πk,− π +2arccos√1 +2πk, k∈ ℤ 2 5 2 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 238#95853Максимум баллов за задание: 7

Известно, что число $cos6∘$ является корнем уравнения

5 3 √- 32t − 40t + 10t− 3= 0.

Найдите остальные четыре корня этого уравнения.

(Ответы в задаче должны быть компактными выражениями, не содержащими знаков суммирования, многоточий и т.п.)

Источники: Межвед - 2021, 11.7 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте искать решение в виде t = cos(x). Подставим его в уравнение и попробуем преобразовать левую часть. Какими формулами можно воспользоваться, чтобы уменьшить показатели степени?

Подсказка 2

Вынесем 2cos(x) за скобки и с помощью формул понижения степени преобразуем левую часть уравнения.

Подсказка 3

После того, как мы понизим все степени до первой, можно будет преобразовать разность косинусов и раскрыть скобки!

Подсказка 4

-4sin(3x)sin(2x) + 2cos(x) = -2(cos(x) - cos(5x)) + 2cos(x). Какой вывод можно сделать из данной цепочки неравенств? Вспоминаем условие!

Подсказка 5

Найдите cos(5x), используя цепочку преобразований и правую часть!

Показать ответ и решение

Будем искать решение в виде $t= cosφ$ (на это намекнули в условии задачи). Получаем уравнение

5 3 √- 32cosφ − 40cos φ+ 10cosφ= 3.

Преобразуем его левую часть:

2 cosφ(16cos4φ − 20cos2φ +5)= [формулы понижения] = ( 2 ) = 2cosφ(4(1+cos2φ)− 10− 1)0cos2φ+ 5 = = 2cosφ 4cos22φ − 2cos2φ− 1 =2cosφ(2(1+ cos4φ)− 2cos2φ− 1) == 2cosφ(−4sin 3φ sinφ+ 1)= −4sin3φsin 2φ +2 cosφ = = −2(cosφ− cos5φ)+ 2cosφ =2cos5φ.

В итоге получили

- √3- cos5φ = 2

π 2πn φ =± 30 +-5-,n∈ ℤ

Поскольку у первоначального уравнения ровно пять действительных корней (по условию), то, чтобы их предъявить, достаточно взять какие-нибудь пять значений $φ$ , косинусы которых различны. Например,

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ φ∈ {6,78,150,222,294}

Ответ:

Остальные четыре корня имеют вид $t= cosφ$ , где $φ ∈{78∘,150∘,222∘,294∘}.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 239#95855Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее натуральное значение $n$ , удовлетворяющее уравнению

∘ ∘ sinn =sin(2021n)

Источники: Звезда - 2021, 11.1 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем перенести всё в левую часть и записать разность синусов по формуле.

Подсказка 2

Отлично! Из двух полученных уравнений мы получаем значения n, для которых выполнено равенство. Теперь нужно поставить условие на то, чтобы эти значения были натуральными, и найти минимум из них.

Показать ответ и решение

По формуле разности синусов уравнение равносильно совокупности

[ sin(2021n−n)∘ = 0 cos(20212n+n)∘ = 0 2

[ (1010n)∘ = 180∘⋅k,k∈ ℤ (1011n)∘ =90∘+ 180∘⋅m,m ∈ ℤ

[ 101n= 18k,k ∈ℤ 337n= 30(2m + 1),m ∈ℤ

Так как $101$ и $337$ — простые числа, то в первом уравнении наименьшее натуральное $n = 18,$ а во втором — $n= 30.$

Ответ:

$18$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 240#101250Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( x+-2020-) arctg 1− 2020x − arctgx= arctg2020.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать выражение и избавиться от arctg в одной из частей. Что для этого нужно сделать с обеими частями?

Подсказка 2

Перенесите arctg(x) вправо и воспользуйтесь тем, что tg(arctg(x)) = x.

Подсказка 3

После того, как мы возьмем тангенс от обеих частей и преобразуем их, мы придем к интересному выводу об x ;) Однако не забудьте о том, что изначально правая часть была равна арктангенсу некоторого числа!

Показать ответ и решение

Запишем уравнение в виде