Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 241#127155Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары действительных чисел $(x,y),$ удовлетворяющих равенству

π ( ( 2 2)) 2 − arcsin 1 +log2 x + y = 1+ log2(xy).

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

( xy >0 ( xy > 0 |{ 2 2 ⇐⇒ |{ |( x + y > 0 2 2 |( x1,y ∈ℝ2 2 − 1≤ 1+log2(x + y)≤ 1 4 ≤ x +y ≤ 1

Заметим, что

( 2 2) [ π π ] arcsin 1+ log2(x + y )∈ −2;2 ,

тогда

π 2 2 2 − arcsin(1+log2(x + y))≥ 0

Значит, правая часть равенства также должна быть неотрицательной:

1+log2(xy)≥0

2xy ≥1

Так как $(x− y)2 = x2+ y2− 2xy ≥ 0$ при любых $x$ и $y,$

x2 +y2 ≥ 2xy

Причём равенство возможно только в случае равенства $x$ и $y.$ В данной задаче имеем:

1≥x2 +y2 ≥ 2xy ≥ 1

2 2 x +y =2xy = 1,

1- x =y = 2x

2 2 4x = 1= 4y

√2 x = y = ±-2

Ответ:

$( √2- √2) ±-2-;± -2-$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 242#127156Максимум баллов за задание: 7

Найдите произведение корней уравнения

x2+-x+-1 x2-− x+-1 x2-− 4x+-1 π−-2 sin 2x + cos 2x = x ⋅cos 4 .

Показать ответ и решение

Положим $t= x2+1-= 1(x+ 1) 2x 2 x$ . Тогда исходное уравнение примет вид

( 1) ( 1) π−-2 sin t+ 2 + cos t− 2 = 2(t− 2)cos 4 .

Заметим, что

sin(t+ 1∕2)+ cos(t− 1∕2)= sint(cos(1∕2)+ sin(1∕2))+cost(cos(1∕2)+ sin(1∕2)) = = (sin t+ cost)(cos(1∕2)+sin(1∕2))= 2cos(t− π∕4)cos(π∕4− 1∕2)

Получаем

cos(t− π∕4)= t− 2.

На отрезке [1,3] функция $cos(t− π∕4)$ убывает, ибо $3< π < 4$ . Функция же $t− 2$ на этом отрезке возрастает. Следовательно, графики этих функций имеют ровно одну общую точку при некотором $t= t0$ . Поскольку $t0 > 1$ , уравнение $x2− 2t0x+ 1= 0$ имеет два различных корня. Их произведение равно $1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 243#31392Максимум баллов за задание: 7

Решить систему уравнений

{ √2 sinx− √3cosy = 5; siny+ √2cosx = − 32. 2

Источники: Физтех - 2020, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие удачные коэффициенты собрались перед синусами и косинусами! К сожалению, синус и косинус х находятся в разных уравнениях. Давайте совместим их в одно, вычитая из первого равенства второе.

Подсказка 2

Нам хочется воспользоваться вспомогательным углом, ведь коэффициенты перед функциями от х это √2 и √2, а перед у это 1 и √3. Для того, чтобы эти коэффициенты стали синусом и косинусом известных нам углов, необходимо поделить выражение на 2!

Показать ответ и решение

Вычтем второе уравнение из первого и применим метод вспомогательного угла:

π π 2sin(x− 4)− 2sin(y+ 3)= 4

Оба слагаемых не превосходят 2, значит равенство возможно лишь в том случае, если:

{ π sin(x− 4π)= 1 sin(y+ 3)= −1

Откуда $3π 5π- x= 4 + 2πn;y = − 6 +2πk,n,k∈ℤ$ . Осталось подставить эти значения в уравнения системы и убедиться в том, что они подходят.

Ответ:

$(3π+ 2πn;− 5π+ 2πk),n,k ∈ℤ 4 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 244#32375Максимум баллов за задание: 7

Решите систему

{ − ctg xctgy− ctgy +|ctgx − ctgy− 3ctgxctgy|=0; √3−-tgx-+tgy+ tg y− 5 =0.

Источники: ПВГ - 2020, 11.4 (pvg.mk.ru))

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите на эту систему. Что в этой системе кажется наиболее инородным? Модуль. Что мы привыкли делать с ним? Раскрывать по определению(чаще всего именно так, потому что работать напрямую с модулем, зачастую, затруднительно). Сделайте тоже самое.

Подсказка 2

Если раскрыть модуль с минусом, то из первого уравнения выходит, что либо ctg(x)=0 , либо ctg(y)=1/2. Но ctg(x)!=0, так как тангенс тоже должен быть определен. Поэтому ctg(y)=1/2. Значит tg(y)=2. Подставляя это во второе уравнение найдем первую серию решений(не забывая проверить то, что модуль был раскрыт верно и ОДЗ выполнено). Теперь осталось раскрыть модуль другим способом.

Подсказка 3

Второй случай не дает ответов сразу. У нас получается выражение, где все завязано на котангенсах, но при этом, если мы планируем в явном виде подставить выражение, к примеру , tg(x) во второе уравнение, то нам надо связь из котангенсов переделать в связь на тангенсы. Как это сделать?

Подсказка 4

Для начала, можно выразить ctg(y) через ctg(x), а потом перевернуть дробь(которая будет получена при выражении ctg(y) ) и заменить ctg(x) на 1/tg(x). И получим в явном виде , выраженное через tg(x), значение tg(y) . Остается подставить это во второе уравнение и найти его корни, после чего проверить так ли мы раскрыли модуль и учесть ОДЗ.

Показать ответ и решение

Из второго уравнения на ОДЗ следует, что $− tgx= tg2y − 11tgy+ 22 (∗)$ .

Раскроем модуль одним способом:

− ctgxctgy− ctgy− (ctgx− ctgy − 3ctgxctgy)= − ctgxctg y− ctgx+ 3ctgxctgy = 0

$ctgx ⁄=0$ , поэтому $2ctgy =1$ . Значит, $tgy =2$ . Подставим это во второе уравнение:

∘ ------ 5− tgx− 3= 0

Тогда $tgx = −4$ . Осталось подстановкой проверить, что для полученного решения модуль был раскрыт верно.

Теперь раскроем модуль другим способом.

− ctgxctgy − ctgy+ (ctgx− ctgy− 3ctgx ctgy)=

=− 4ctgxctgy− 2ctgy+ ctgx =0

Домножим на $tg xtgy$ :

−4 − 2tgx+ tgy = (∗)= −4+ 2(tg2y− 11tgy +22)+tgy =

=2tg2y− 21tgy +40= (tgy − 8)(2tgy− 5)= 0

Если $tgy = 8$ , то $2 tgx= −(tg y− 11tgy+ 22)= 2$ и при подстановке это не подходит.

Если $tgy = 2.5$ , то $2 tgx= −(tgy − 11tgy+ 22)= −0.75$ и при подстановке это не подходит.

Ответ:

$(− arctan4+ πn;arctan2 +πk), n∈ ℤ,k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 245#33587Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- cos11x− cos3x− sin11x+ sin3x= 2cos14x

Источники: Физтех-2020, 11.2, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Общих множителей перед нами нет, что тогда можно сделать? Какие формулы применить? В уравнении много сумм и разностей, тогда давайте применим формулы разности синусов и косинусов.

Подсказка 2:

В левой части у обоих слагаемых появился общий множитель, это -2sin(4x). Его выносим за скобки. Что можно сделать с правой частью, чтобы она была похожа на выражение в скобках?

Подсказка 3

В левой части есть аргумент (7х), а это как раз 14х/2, поэтому применим справа формулу косинуса двойного угла. Тогда, если перенести всё в одну сторону, можно вынести sin(7x) + cos(7x) за скобки.

Подсказка 4

Остаётся два случая. В первом случае sin(7x) + cos(7x) можно разделить на cos(7x) ≠ 0. Во втором стоит воспользоваться методом вспомогательного аргумента, чтобы в правой части сделать синус разности. Останется решить уравнение вида sin(a) = sin(b) и задача убита!

Показать ответ и решение

Применим формулы разности синусов и косинусов, а также формулу косинуса двойного угла:

√- −2sin4xsin 7x − 2sin 4x cos7x= 2cos14x

−2sin4x(sin7x+ cos7x)= √2(cos27x− sin27x)

Уравнение эквивалентно совокупности

[ cos7x+ sin7x= 0, cos7x− sin7x= −√2-sin4x

[ tg7x =−1, sin(7x− π4)= sin4x

⌊ 7x =− π4 + πk,k ∈ℤ |⌈ 7x− π4 = 4x +2πk,k∈ℤ 7x− π4 = π− 4x +2πk,k∈ℤ

⌊ π πk | x = −π28 +2π7k-,k ∈ℤ ⌈ x = 12-+ 3-,k∈ ℤ x = 5π44 + 2π1k1 ,k∈ ℤ

Ответ:

$−-π+ πk; π-+ 2πk;5π + 2πk; k ∈ℤ 28 7 12 3 44 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 246#33643Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

---cos8x---- ---sin8x---- √- cos3x +sin3x + cos3x− sin3x = 2

Источники: Физтех-2020, 11.2, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте приведём всё к общему знаменателю. Тогда у нас образуется много попарных произведений, а в каких формулах они встречаются?

Подсказка 2

При помощи формул косинуса и синуса разности приходим к незамысловатому уравнению! Не забудьте про ОДЗ знаменателя ;)

Подсказка 3

У нас в аругментах есть и 5x, и 6x...давайте воспользуемся вспомогательным углом! Тогда останется лишь равенство на косинусы ;)

Показать ответ и решение

Приводя дроби в левой части уравнения к общему знаменателю и применяя формулы косинуса и синуса разности

cos8xcos3x−-cos8xsin-3x-+cos3xsin8x+-sin3xsin8x √ - cos5x+-sin5x- √ - cos23x − sin23x = 2 ⇐ ⇒ cos6x = 2.

Последнее уравнение эквивалентно системе

{ √- cos5x+ sin5x= 2cos6x cos6x⁄= 0

Применим формулу вспомогательного угла

( ) [ π [ π cos 5x− π = cos6x ⇐ ⇒ 5x− 4π =6x+ 2πk, ⇐⇒ x = −π4 +22ππkk, 4 5x− 4 =− 6x +2πk,k∈ ℤ x = 44 + 11 ,k∈ ℤ.

Теперь учтём условие $cos6x⁄= 0$ .

Если $x= − π +2πk 4$ , то $cos6x= cos(− 3π +12πk)= 0 2$ , т.е. условие $cos6x⁄= 0$ нарушается.

Если $x= π-+ 2πk- 44 11$ , то $cos6x =cos(3π+ 12πk) 22 11$ . Найдём те целые значения $n$ и $k$ , при которых выполняется равенство $3π 12πk π 22 + 11 = 2 +πn$ . Получаем $n−4 12k= 4+ 11n,k= n− 12$ . Поскольку $k∈ ℤ$ и $n∈ ℤ$ , отсюда следует, что $n−4 p= 12 ∈ℤ$ . Значит, $n = 12p+ 4,k= 11p+ 4$ . Полученные значения переменной $k$ необходимо исключить. Окончательно получаем $π- 2πk x = 44 + 11 ,k⁄= 11p +4,k∈ ℤ$ , $p∈ℤ$ .

Ответ:

$π(1+-8k); k⁄= 11p +4,k∈ ℤ,p ∈ℤ 44$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 247#47233Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

(-5 ) ( 10- ) arcsin 2π arccosx > arccos 3π arcsinx

Источники: Ломоносов - 2020, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим арки от сложных аргументов, при том, внутри друг друга. Что нужно сделать первым делом? Конечно, записать ОДЗ. Что можно тогда сказать, в силу ОДЗ? Какие значения принимает арксинус и арккосинус?

Подсказка 2

Верно, только положительные, поскольку иначе, в силу ОДЗ, не будет выполнено свойство, что arccos(x)+arcsin(x)=pi/2. Кстати, мы вспомнили это свойство. Видно, что аргументы арков слева и справа в неравенстве делятся на pi. Значит, если пробовать вводить замену на арксинус, то как ее стоит вводить? Не просто ведь t?

Подсказка 3

Стоит ввести замену arcsin(x)=pi*t, тогда pi сократится и получится и слева и справа выражение, зависящее только от t. При этом, и слева и справа у нас понятные функции(arccos и arcsin, которые выражаются друг через друг друга). Вот когда мы работаем с логарифмами, есть одно действие, чтобы преобразовать выражение и свести его к чему-то более понятному и без степеней(в общем то за степени и отвечает логарифм, грубо говоря). А какое действие нужно сделать здесь, чтобы избавиться от арков и перейти к аргументам?

Подсказка 4

Нужно взять синус от обеих частей. При этом, нужно учесть, что arcsin(5/4-5t/2)<=pi/2, а значит, arccos(10t/3)<=pi/2, а значит t<=3pi/20 . Тогда, после взятия синуса от обеих частей у нас выйдет неравенство 5/4-5t/2>sqrt(1-100t^2/9). Осталось учесть, что если arccos(x)<=2pi/5, по ОДЗ, то arcsin(x)>=pi/10, а также arcsin(x)<=3pi/10, решить неравенство на t, перевести его на арксинус, потом на х, и получить ответ!

Показать ответ и решение

Для начала запишем ОДЗ:

(| |x|≤1 { | 5-arccosx|≤ 1 |( 21π0 |3π arcsinx|≤ 1

Отсюда следует, что $arccosx≤ 2π,arcsinx ≤ 3π, 5 10$ поэтому $arcsin x> 0,arccosx> 0$ , ведь иначе не выполняется известное тождество $arccosx+ arcsinx = π. 2$

Обозначим $t= arcsinx (t> 0), π$ тогда $arccosx= π − πt. 2$ Неравенство из условия принимает вид

(5 5) ( 10) arcsin 4 − 2t > arccos 3 t

Если $(10 ) π arccos 3 t ≥ 2,$ то неравенство не может выполняться в силу области значений арксинуса.

Нам могут подойти только $10t π 10t π 3π arccos-3 ≤ 2 ⇐⇒ -3 ≤ 2 ⇐⇒ t≤ 20.$

Возьмём синус обеих частей полученного выше неравенства. На промежутке $[π2;π2]$ синус является монотонно возрастающей функцией, поэтому знак неравенства не изменится:

∘-------- 5− 5t> 1 − 100t2 4 2 9

При $5 − 5t< 0 4 2$ решений нет, иначе при $t≤ 1 2$ возведём в квадрат

( 2) ( 100-2) 25 1− 4t+ 4t > 16 1− 9 t

3 3 9 t∈ [− 10,10]∖{50}

arcsinx∈ [− 3π-,3π-]∖ {9π-} 10 10 50

Остаётся учесть, что $arcsinx,arccosx> 0,$ а из условия $arccosx ≤ 2π5-$ следует $arcsinx≥ π10.$

Ответ:

$[sin π-,sin9π)∪(sin9π,sin3π] 10 50 50 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 248#63998Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin xcos3x= sin3xcos5x

Источники: ДВИ - 2020, вариант 206, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть произведения синусов на косинусы. Давайте применим соответствующую формулу!

Подсказка 2

Супер! Теперь уничтожаем одинаковые слагаемые и смотрим, как расправиться с остальными. Обратите внимание на то, что один из полученных углов вдвое больше другого!

Подсказка 3

После того, как воспользуетесь формулой синуса двойного угла, получаем почти что обычное уравнение, которое мы прекрасно умеем решать! Выносим общий множитель за скобки и уничтожаем задачу!

Показать ответ и решение

sinxcos3x= sin3xcos5x⇐⇒ sin4x− sin2x= sin8x− sin2x

sin4x(cos4x − 1∕2)= 0⇐⇒ x =kπ∕4,x= ±π∕12 +kπ∕2,k ∈ℤ

Ответ:

$πk∕4,± π∕12+ πk∕2,k ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 249#67503Максимум баллов за задание: 7

Найдите минимальное значение выражения $cos(x+y),$ если известно, что $cosx+ cosy = 1. 3$

Источники: Ломоносов-2020, отборочный тур (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Поработаем с тем, что нам дано - применим формулу суммы косинусов, а затем сделаем оценку половинного искомого угла (зная, что -1 <= cos((x-y)/2) <= 1).

Подсказка 2

Применим формулу косинуса двойного угла к cos(x+y). Тогда в нем как раз будет фигурировать уже полученное нами выражение половинного угла, которое мы оценили. Значит, мы уже почти получили ответ, осталось только найти значения, при которых соблюдается оценка.

Показать ответ и решение

Распишем сумму косинусов

x+-y x− y 1 2cos 2 ⋅cos 2 = 3

Далее воспользуемся оценкой $|| x− y|| |cos-2-|≤1$ , откуда

|| x+ y|| 1 1 ||cos-2--||= -||--x−y||≥ 6 6|cos 2 |

Далее воспользуемся формулой косинуса двойного угла

|| x+y ||2 17 cos(x+ y) =2||cos -2--||− 1≥ −18

Здесь равенство достигается при $cos x−y2-= 1,x− y = 4πn,n∈ℤ$ .

Ответ:

$− 17 18$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 250#70335Максимум баллов за задание: 7

Для чисел $x,y,z,t$ из интервала $(0;π ) 2$ выполняется равенство

cos2x+ cos2y +cos2z +cos2t =4(cosxcosycoszcost− sin xsinysinz sint)

Докажите, что сумма некоторых двух из чисел $x,y,z,t$ равна сумме двух остальных.

Источники: Миссия выполнима - 2020, 11 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно как-то связать обе части, в идеале все разложить на множители ;) Но пока что части похожими совсем не выглядят. Какие преобразования существует для произведения двух косинусов (синусов)?

Подсказка 2

Произведение косинусов можно расписать в сумму косинусов суммы! А произведение косинусов можно расписать в разность косинусов суммы) Также подумаем, как левую часть привести к похожему виду)

Подсказка 3

Распишите левую часть уравнение по формуле суммы косинусов!

Подсказка 4

Отлично, теперь в обеих частях у нас есть cos(x+y), cos(x-y), cos(z+t), cos(z-t). Разумно попробовать разложить всё на множители!

Подсказка 5

Супер, получим совокупность равенств косинусов! Осталось лишь вспомнить условие задачи ;)

Показать доказательство

Воспользуемся формулами произведения косинусов и произведения синусов

4cosxcosycoszcost= (2cosxcosy)(2cosz cost)=

= (cos(x− y)+ cos(x+ y))⋅(cos(z − t)+cos(z+ t));

4sinxsin ysinzsint= (2sinxsiny)(2sinzsint)=

= (cos(x− y)− cos(x+ y))⋅(cos(z − t)− cos(z+ t));

Вычитая второе из первого, получаем

4(cosxcosycoszcost− sinxsinysinzsint)= 2cos(x− y)⋅(z+ t)+ 2cos(x+ y)⋅cos(z− t)

Тогда исходное равенство примет вид

2cos(x+ y)⋅cos(x− y)+ 2cos(z +t)⋅cos(z − t)= 2cos(x − y)⋅cos(z+ t)+ 2cos(x+ y)⋅cos(z− t)

Сгруппируем

(cos(x+ y)− cos(z+ t))⋅(cos(x− y)− cos(z− t))= 0

[ cos(x+y)= cos(z+ t) cos(x− y)= cos(z− t)

Так как $x,y,z,t$ из интервала $(0;π), 2$ числа $x +y,z+ t$ из интервала $(0;π),$ на этом интервале косинус каждое значение принимает по одному разу, поэтому если равны косинусы, то равны и аргументы.

cos(x+ y)= cos(z +t) ⇐ ⇒ x +y =z +t

Так как $x− y,z− t∈ (− π;π), 2 2$ возможны два случая:

[ x− y = z− t [ x+ t=z +y cos(x − y)= cos(z− t) ⇐⇒ x− y = −(z− t) ⇐⇒ x+ z = y+ t

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 251#79748Максимум баллов за задание: 7

Известно, что для некоторых $x$ и $y$ суммы $sinx+ cosy$ и $sin y+cosx$ — положительные рациональные числа. Докажите, что найдутся такие натуральные числа $m$ и $n,$ что $m sinx +n cosx$ — натуральное число.

Источники: Всеросс., 2020, РЭ, 11.8(см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Пусть $sinx+ cosy = a$ и $sin y+cosx= b.$ Тогда $cosy =a − sin x$ и $siny = b− cosx.$ Возведём эти равенства в квадрат и сложим их. Тогда в силу основного тригонометрического тождества получим: $2 2 1= a +b − 2a sinx− 2bcosx+ 1,$ то есть $2 2 2asinx +2bcosx= a +b .$ Пусть $N$ — НОК знаменателей чисел $a$ и $b;$ тогда, умножив полученное равенство на $2 N ,$ получим требуемое.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 252#80580Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

4sin(3x)+ 13cos(3x)= 8sin(x)+11cos(x).

Источники: ОММО - 2020, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнении есть косинус и синус тройного угла, так давайте раскроем их по формуле и преобразуем выражение!

Подсказка 2

Смотрите, после переноса всего в одну часть так и просится некоторая замена, но корень из-за косинуса тащить не хочется...что будем с ним делать?

Подсказка 3

Слагаемое с косинусом можно перенести в другую часть и возвести всё в квадрат, чтобы уравнение красиво записать через t = sin(x)². Теперь нужно решить кубическое уравнение ;)

Подсказка 4

К сожалению, корни тут угадать не так просто, поэтому давайте попробуем разложить выражение на скобки!

Подсказка 5

(37t - 1)(20t² - 20t + 1) = 0. Осталось лишь понять, каким же должен быть синус у рассматриваемого в условии решения!

Показать ответ и решение

По формулам синуса и косинуса тройного угла

2 2 4sin(x)(3− 4sin x)+ 13cos(x)(1− 4sin x)=8sin(x)+ 11 cos(x).

2 2 sin(x)(4− 16sin x)+ cos(x)(2− 52 sin x) =0

sin(x)(2 − 8sin2x)= cos(x)(26sin2x− 1)

Возведем все в квадрат и переобозначим $t=sin2x$ .

t(2 − 8t)2 = (1− t)(26t− 1)2

740t3 − 760t2+ 57t− 1= (37t− 1)(20t2− 20t+1)

У этого уравнения корни $137$ , $12 − √15$ и $12 + 1√5$ . Предположим, что наибольший отрицательный корень находится в четвертой четверти. Тогда синус должен быть тоже как можно больше, то есть $sint= −√137$ . Тогда $t=arcsin−√137-$ . Осталось проверить, что он нам подходит. Так как $t$ лежит в четвертой четверти, то $cost>0$ и $cost= √637$ .

( ) 4sin(x)(3− 4sin2x)+13cos(x)(1− 4sin2x)= √1- −12+ 16+ 78 − 312 = 37 37 37

= 58 = 8sin(x)+ 11cos(x). 37

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 253#92476Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму всех целых $n∘ ∈ [−1945∘;2020∘],$ для которых выполняется неравенство

∘ 1 ∘ tgn < 2 < tg(n +1).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хотелось бы найти подходящее n из промежутка (0°,45°). Как это сделать? На самом деле, некоторым подбором… Сначала можно определить n с точностью в +-5 градусов, взять середину отрезка и так далее. Для каждого рассматривамого n пытаемся тангенс сравнить с 1/2.

Подсказка 2

В процессе, конечно же, хочется от тангенса переходить с синусу или косинусу, потому что они устроены более понятным для нас образом, для них неравенства легче применять. Для этого можно возводить наши неравенства в квадрат и квадрат косинуса выражать через квадрат синуса, например. Также полезно будет использовать формулы косинуса двойного угла.

Подсказка 3

Когда мы наконец справились и подобрали такое n, осталось найти сумму всех n+180k из указанного в условии задачи диапазона. Здесь можно воспользоваться тем, что эти числа образуют арифметическую прогрессию!

Показать ответ и решение

Для начала докажем, что $tg26∘ < 1. 2$ Это эквивалентно неравенству

∘ ∘ 2sin26 < cos26

Возведем неравенство в квадрат:

4sin226∘ < cos226∘

Из основного тригонометрического тождества имеем: $cos226∘ =1− sin226∘.$ Тогда после подстановки в неравенство получаем:

sin226∘ < 1 5

По формуле косинуса двойного угла получаем $cos52∘ = 1− 2sin226∘.$ Выразим из этого равенства квадрат синуса и подставим в неравенство:

∘ 3 cos52 > 5

Снова возведем в квадрат:

2 ∘ 9- cos 52 > 25

Снова по формуле косинуса двойного угла получаем $∘ 2 ∘ cos104 = 2cos 52 − 1.$ После подстановки в неравенство получаем

7 cos104∘ > −25

По формуле приведения имеем $cos104∘ =cos(90∘+ 14∘)= − sin 14∘.$ Тогда наше неравенство эквивалентно

sin14∘ <-7 25

Это верно, поскольку

sin14∘ <sin 15∘ = sin π 12

Теперь применим оценку $sinx <x$ для углов из промежутка $(0;π). 2$ Тогда имеем

sin π-< π-< 7- 12 12 25

Таким образом, действительно, $tg 26∘ < 1. 2$ Теперь докажем, что $tg27∘ > 12.$ Начало доказательства аналогично предыдущему случаю

4sin227∘ > cos227∘

sin227∘ > 1 5

cos254∘ < 3 5

Теперь по формуле приведения $cos54∘ = cos(90∘ − 36∘)=sin36∘.$ Подставляем полученное в наше неравенство и возводим в квадрат

sin236∘ <-9 25

Использовав формулу косинуса двойного угла, получаем $cos72∘ = 1− 2sin236∘.$ Подставляем в неравенство и получаем:

cos72∘ >-7 25

По формуле приведения $cos72∘ = sin18∘,$ поэтому остается доказать, что $sin18∘ > 7-. 25$ Найдем $sin 18∘.$ Для этого используем равенство $cos54∘ =sin 36∘,$ которое следует из формулы приведения. По формуле косинуса тройного угла получаем $cos54∘ = 4cos318∘ − 3cos18∘.$ По формуле синуса двойного угла $sin36∘ = 2sin18∘cos18∘.$ Таким образом, получаем равенство

3 ∘ ∘ ∘ ∘ 4cos 18 − 3cos18 =2 sin18cos18

Разделим обе части на $cos18∘.$ Пусть $sin18∘ =x.$ Тогда $cos218∘ =1 − x2.$ Получаем следующее уравнение

4(1− x2)− 3 =2x

4x2+ 2x− 1= 0

Оно имеет корни $−2± √20 −1± √5 x= ---8----= --4---.$ Так как $sin18∘ > 0,$ то имеем

√- sin 18∘ =x = -5−-1> 1,2-> 7- 4 4 25

Таким образом, неравенство $tgn∘ < 12 < tg(n+ 1)∘$ выполняется при $n= 26+ 180k.$ Найдем решения неравенства

−1945≤ 26 +180k≤ 2020

−1971≤180k≤ 1994

Так как $n$ — целое число, имеем $− 10≤ k≤ 11.$ Тогда сумма всех целых $n$ равна

−1774+-2006- 2 ⋅22 =2552

Ответ:

2552

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 254#98293Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство:

tgarccosx ≤sin arctg x.

Источники: Ломоносов - 2020, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте преобразуем левую и правую часть, чтобы это были выражения, которые мы бы могли выразить через х без тригонометрических функций, пользуясь тем, что tg(x) = sin(x)/cos(x).

Подсказка 2

Получили неравенство √(1 - x²)/x ≤ x/√(1 + x²).

Подсказка 3

Лучше всего здесь, чтобы не думать над знаком икса, привести всё к общему знаменателю, после чего избавиться от иррациональности в числителе и получить стандартное неравенство. Важно не забыть ОДЗ корня и ОДЗ тангенсов в условии!

Показать ответ и решение

В силу тождеств

sinarccosx √1-− x2 tgarccosx = cosarccosx =---x--; sinarctgx =tgarctgx⋅cosarctgx = √-x--- 1+ x2

неравенство принимает вид

√1−-x2 x √1-− x4− x2 --x---≤ √1-+x2 ⇔ --x√1-+-x2-≤ 0 ⇔ (| ( 1)( 1) ⇔ -(-1-− 2x4-)-≤ 0 ⇔ { -x−4√2--x+√42--≥ 0, x √1−-x4+ x2 |( −1≤ x≤x1.

По методу интервалов

[ ) [ ] x ∈ − 1√-;0 ∪ 1√-;1 42 42

Ответ:

$[− 1√-;0)∪[-1√-;1] 42 42$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 255#98813Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму всех действительных корней уравнения

( ( 2 )) sin π x − x +1 = sin(π(x− 1)),

принадлежащих отрезку $[0;2].$

Источники: Ломоносов - 2020

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какая связь на аргументы синусов следует, если синусы от таких аргументов равны? Составьте совокупность и решите!

Подсказка 2

Мы получаем, что x = 1 +- sqrt(2k - 1), либо x = +- sqrt(2n + 1). Осталось заключить эти выражения на отрезок из условия и получить ответ на задачу!

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно совокупности

[ π(x2− x+ 1) =π(x− 1)+2πk, ( 2 ) k,n∈ ℤ π x − x+ 1 =π − (x− 1)π +2πn,

Преобразуя совокупность, получим

[ x2− x+ 1= (x − 1)+ 2k, x2− x+ 1= 1− (x − 1)+ 2n

[ (x− 1)2 =2k− 1, x2 =2n+ 1

[ √----- x= 1±√--2k− 1, x= ± 2n +1

Если $√ ----- 0≤ 1± 2k− 1 ≤2$ , то

√----- − 1≤ ± 2k− 1≤ 1

0 ≤2k− 1≤ 1

k= 1

тогда $x= 0$ или $x= 2$ .

Если $√----- 0≤ 2n+ 1≤ 2$ , то

0≤ 2n+ 1≤ 4,

то есть $n =0$ или $n =1$ ; тогда $x= 1$ или $√- x = 3$ .

Ответ:

$3+ √3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 256#103394Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

9x 9x 2sin-8 cos-8 +cosx= 2.

Источники: Бельчонок - 2020, 11.1 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что намекает удвоенное произведение? По какой формуле его можно преобразовать?

Подсказка 2

Воспользуемся формулой синуса двойного угла! Теперь перед нами сумма синуса и косинуса, которая должна быть равна двум. Часто ли такое бывает?

Подсказка 3

И синус, и косинус должен равняться единице! Тогда решим систему уравнений, а затем подумаем, как выразить друг через друга целые переменные в них.

Показать ответ и решение

Запишем уравнение как

9x sin 4 +cosx= 2,

оно эквивалентно системе

{ 9x sin4 = 1 cosx= 1

Уравнения этой системы имеют решения:

{ x= 2π∕9+ 8kπ∕9 x= 2mπ

где $m, n$ — целые.

Приравнивая выражения для $x$ , получаем уравнение

9m =1+ 4k.

Поскольку $9m =8m + m,$ то $m − 1= 4n,$ тогда

m = 4n +1,k= 9(4n-+1)−-1= 9n+ 2. 4

Подставляя значение $m$ в решение второго уравнения, получаем

x =2(4n+ 1)π = 2π+ 8nπ,n = 0,±1,±2,...

Ответ:

$x =2π+ 8πn,n= 0,±1,±2,...$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 257#108445Максимум баллов за задание: 7

Докажите неравенство

α- (π ) sin αcos 2 ≤ sin 4 + α

для всех $[ π] α ∈ 0,2$ .

Источники: БИБН-2020, 11.2 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для удобства сведём всё к синусам и косинусам от α.

Подсказка 2

Для этого воспользуйтесь формулами синуса суммы и косинуса двойного угла.

Подсказка 3

Теперь в неравенстве есть корень, с которым неудобно работать. Чтобы сделать неравенство более приятным, попробуйте как-то применить идею домножения на сопряжённое.

Показать доказательство

В правой части по формуле синуса суммы имеем

(π ) √2 sin 4 +α = 2-(cosα+ sinα).

К левой части применим формулу косинуса двойного угла

√------- cosα-= -1+√-cosα- 2 2

(здесь мы учли, что $cosα≥ 0 2$ при $α ∈[0,π ] 2$ ). Тогда исходное неравенство запишется в виде

sinα√1-+cosα≤ cosα +sin α⇔ sinα(√1-+cosα− 1) ≤cosα.

Домножив это неравенство на положительное число $√1-+cosα+ 1$ , получим равносильное неравенство

sinα cosα≤ (√1+-cosα-+1)cosα.

При $α = π2$ последнее неравенство верно (оно принимает вид $0 =0$ ), а при $[ α ∈ 0,π2$ ) поделим его на $cosα >0$ и получим равносильное неравенство

sin α≤ √1+-cosα-+1,

которое очевидно (т.к. $sinα ≤1$ ).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 258#126018Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение $sin(x(η(x)− η(x − 7π))= 1+cosx$ , где ${ 1,x≥ 0 η(x)= 0,x< 0$ — функция Хэвисайда.

Источники: Росатом - 2020, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте, на какие интервалы следует разбить множество значений x, чтобы решить задачу?

Подсказка 2

Действительно, при x∈[0;7π) выражение слева примет значение: sin(x), а при x∈(-∞;0)∪[7π;+∞) примет значение: sin(0)

Подсказка 3

Решите уравнения на полученных интервалах!

Показать ответ и решение

Выражение ${ 1,x ∈[0;7π) η(x)− η(x− 7π)= 0,x ∈(−∞,0)∪ [7;+∞)$

Случай $1.$ $x ∈[0;7π).$ Уравнение принимает вид:

sinx= 1+ cosx

Поделив на $√- 2$ и применив метод введения вспомогательного аргумента, получим:

( ) sin x− π = 1√-- 4 2

Решим это уравнение:

⌊ x − π = π +2πk,k∈ ℤ || 4 4 ⌈ x − π = 3π+ 2πm,m ∈ℤ 4 4

⌊ x= π +2πk,k∈ℤ ⌈ 2 x= π+ 2πm,m ∈ℤ

С учётом $x∈ [0;7π),$ имеем:

⌊ π | x= 2 +2πk,k= 0,1,2,3 ⌈ x= π+ 2πm,m =0,1,2

Случай $2.$ $x ∈(−∞; 0)∪ [7;+∞ ).$ Уравнение принимает вид:

1+ cosx =0

cosx= −1

Решим это уравнение:

x =π +2πm,m ∈ ℤ

C учётом $x∈ (− ∞;0)∪[7;+ ∞),$ имеем:

x= π+ 2πm,m =− 1,−2,−3,...,3,4...

Объединяя решения, полученные в рассмотренных выше случаях, решения, находим ответ:

x = π+ 2πk,k =0,1,2,3 2

x= π(2m + 1),m ∈ℤ

Ответ:

$π + 2πk, 2$ где $k ∈{0;1;2;3};$ $π(2m+ 1),$ где $m ∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 259#126020Максимум баллов за задание: 7

Найти наименьшее положительное значение выражения $x+ y$ для всех пар чисел $(x;y),$ удовлетворяющих уравнению $(sinx+ cosy)(cosx− siny)= 1+ sin(x− y)cos(x+ y).$

Источники: Росатом - 2020, 11.5 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим на данное нам уравнение. В левой части равенства хочется раскрыть скобки и применить тригонометрические формулы. Сделаем это! Раскроем скобки и сделаем преобразования, вспомнив формулу косинуса суммы, разности синусов.

Подсказка 2

Теперь подставим в исходное уравнение то, что получилось в левой части в результате преобразований. Ага! Часть выражения сократилась, и осталось совсем несложное уравнение! Решим его и найдём наименьшее возможное значение x + y.

Показать ответ и решение

Преобразуем левую часть уравнения:

(sinx+ cosy)(cosx− siny)=

1 = sinx cosx+ cosy cosx− sinxsin y− cosysiny = cos(x+ y)+ 2(sin 2x − sin2y)=

= cos(x +y)+ sin(x − y)cos(x+ y)

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

cos(x+ y)+sin(x− y)cos(x+ y)= 1+ sin(x− y)cos(x+y)

Отсюда получаем, что $cos(x+ y)=1.$ Решая это уравнение, находим

x+ y = 2πk , k∈ ℤ

Следовательно, наименьшим, положительным значением для $x+ y$ является $2π.$

Ответ:

$2π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 260#126026Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ sin7x+ sin4x= 1 sin27x+ sin24x =1

Источники: Бельчонок - 2020, 11.1 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во втором уравнении мы видим квадраты синусов. Что можно сделать с квадратами, если мы получим квадраты синусов из первого уравнения?

Подсказка 2

Хотя бы один из двух синусов равен 0, тогда чему равен синус другого угла?

Подсказка 3

Решите две системы уравнений в целых числах.

Подсказка 4

Одна из систем не имеет решений, почему?

Подсказка 5

Вторая система дает решение: x=-π/2+2πn. Проверьте, везде ли переходы были равносильными?

Показать ответ и решение

Возведём первое уравнение в квадрат и вычтем из второго, получим $− 2 sin7xsin4x= 0,$ значит, система распадётся на две:

⌊ { sin7x= 0 || || { sin4x= 1 |⌈ sin7x= 1 sin4x= 0

Решения уравнения первой системы:

( mπ ||{ x= -7- | π kπ , где m,k∈ ℤ |( x= 8 +-2

Приравнивая выражения для $x,$ получаем уравнение $8m = 7+ 28k,$ у которого нет решений в целых числах, так как слева чётное число, а справа нечётное.

Решения уравнения второй системы:

( m π ||{ x= -4- | π 2kπ , где m, k∈ℤ |( x= 14 +-7-

Приравнивая выражения для $x,$ получаем уравнение $7m= 2+ 8k.$ Поскольку $2+ 8k= 7k+ k+2,$ то $k +2 =7n,$ тогда $k =7n− 2,m= 2-+8(7n-− 2) =8n− 2. 7$ Подставляя значение $n$ в решение второго уравнения, получаем