Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 301#34203Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

10 10 29- 4 sin x+cos x = 16 cos 2x.

Источники: ПВг-2016, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вот наверняка у вас возникал вопрос: зачем учить формулы понижения степени? Ответ: для того, чтобы сейчас же понизить эти десятые степени! Помним, что sin¹⁰(x) = (sin²(x))⁵. Там начнет фигурировать и пятая степень двойки - на нее стоит домножить левую и правую части.

Подсказка 2

Заменим cos(2x) на t, а затем, не стесняясь, раскроем скобки с пятыми степенями. Вы же понимаете, что при раскрытии они будут почти идентичны? Только слагаемые с нечетной степенью будут отличаться знаками, следовательно, при сложении они просто пропадут!

Подсказка 3

Далее будет очень удобно сделать замену t² = p, тогда мы получим квадратное уравнение, решим его и сделаем обратную замену, таким образом постепенно и дорешаем задачу.

Показать ответ и решение

Первое решение.

По формуле понижения степени уравнение равносильно

5 5 4 (1 − cos(2x)) + (1 +cos(2x)) = 29⋅2⋅cos (2x).

После замены $cos(2x)= t$ и раскрытия скобок имеем (нечётные степени косинуса взаимноуничтожаются):

2 4 4 1+10t +5t = 29t .

Из этого квадратного относительно $t2$ уравнения получаем $t2 = 12$ или $t2 = −112$ . Отсюда $cos(2x)= ±√1 2$ , так что $x =± π8 + πk2 = π8 + π4k,k ∈ℤ$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Выразим две суммы с меньшими степенями через $cos4x$

sin4x+ cos4x= 1− 2sin2xcos2x =1 − 1 sin22x= 3+-cos4x 2 4

6 6 4 2 2 4 3 2 3cos4x+-5- sin x +cosx =sinx − sin x cos x+ cos x= 1− 4sin 2x = 8

Теперь выразим через них левую часть

sin10x+ cos10x= (sin4x +cos4x)(sin6x+ cos6x)− sin4x cos4x

( )2 sin4xcos4x = 1-sin42x= 1- 1-− cos4x = 1-(1 − 2cos4x+cos24x) 16 16 2 64

Теперь подставим всё это в изначальное равенство

3+-cos4x ⋅ 3cos4x+-5− 1−-2cos4x-+cos2-4x = 29(cos24x +2cos4x+1) 4 8 64 64

2 2 2 6cos 4x+ 28cos4x+ 30− 1+2cos4x− cos 4x= 29 cos 4x+58cos4x+29

2 24cos4x+ 28cos4x =0 ⇐⇒ cos4x =0,−7∕6

Остаётся только первый корень, который и идёт в ответ.

Ответ:

$π + πn, n ∈ℤ 8 4$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 302#43269Максимум баллов за задание: 7

Найдите все решения уравнения

2 2 π2 arcctg x= 3arctg x+ 36.

Источники: Ломоносов-2016, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним, так сказать, основное арктригонометрическое тождество (если что, это про то, что arctg(x)+arcctg(x)=π/2) :) и сделаем интересную замену t = arctg(x)/π, а потом оценим t.

Подсказка 2

Да, так как арктангенс по модулю меньше π/2, то t будет по модулю меньше 1/2. Сведём уравнение к t, решим относительно t и сделаем обратную замену с учетом его возможных значений.

Показать ответ и решение

Вспомним, что $arctgx+ arcctgx = π. 2$

Обозначим $arctgx t= π ,$ тогда $π arcctgx = 2 − πt$ и получим

(π )2 22 π2 1 2 2 1 2 2 2 − πt = 3π t+ 36 ⇐ ⇒ 4 − t+ t = 3t + 36 ⇐⇒ 2t+ t− 9 = 0

Имеем $16 25 −1±5 D =1 +-9 =-9 =⇒ t1,2 =-4-3-$ .

В силу области значений арктангенса $1 1 t∈ (− 2,2)$ и из уравнения нам подходит только $1 π 1 t= 6 ⇐⇒ arctgx= 6 ⇐ ⇒ x = √3.$

Ответ:

$√1- 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 303#46082Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2 (cosx− 3cos4x) =16+ sin 3x.

Источники: Физтех-2016, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Справа какое-то большое для всяких синусов число - 16. Да и еще к нему добавляется синус в квадрате. Значит, справа число как минимум 16. Часто ли выражение слева не меньше 16?

Подсказка 2

На самом деле оно может быть только равно 16 - и только в том случае, если выражение, которое в квадрате, равно 4 или -4. И как раз коэф-ы рядом с косинусами позволяют выражению достигать 4 или -4 при граничных значениях этих косинусов. А синус справа, значит, не имеет права быть больше 0.

Показать ответ и решение

Заметим, что подкоренное выражение по модулю не больше $4$ , в то же время правая часть не меньше $16$ , откуда два случая

( cosx= 1 ( cosx= −1 |{ или |{ |( cos4x =− 1 |( cos4x= 1 sin3x =0 sin3x = 0

В первом случае $x =2πn$ из первого уравнения, потому решений нет из второго. Во втором случае из первого уравнения имеем $x =π +2πn$ , что подходит во все остальные уравнения.

Ответ:

$π +2πn,n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 304#73721Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

-x--- x2-+1- --x-- sin x2 +1 + x cosx2+ 1 > 0

Источники: Муницип - 2016, 11 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, давайте поработаем с выражением (x²+1)/x. Оно равно x + 1/x. Какие значения оно может принимать при положительных x? А при отрицательных?

Подсказка 2

Мы разобрались с этим выражением. Давайте теперь заменим его на t. Что тогда можно сказать про значение левой части, если t > 0 или t < 0?

Показать ответ и решение

Пусть $t= x2+1. x$ Заметим, что если $x> 0,$ то $t= x2+1-= x+ 1≥ 2 x x$ по неравенству о средних. Видно, что знак $t$ и знак $x$ совпадают, поэтому при отрицательных $x$ справедливо неравенство $t≤−2.$

Итак, неравенство имеет вид $1 1 sint +tcost > 0.$ При отрицательных $t$ выражение $1 t$ меньше $0$ и не меньше — $1 2.$ Значит, $1 sint <0.$ В силу чётности косинуса $1 cost$ будет положительным. Значит, слагаемое $1 tcost$ отрицательно. Таким образом, вся лева часть неравенства отрицательная, то есть $x <0$ не подходит.

Если $x> 0,$ то синус будет положительным, равно как и выражение $1 tcost,$ поэтому $x >0$ подходит.

Ясно, что $x ⁄=0$ в силу ОДЗ.

Ответ:

$x ∈(0;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 305#84840Максимум баллов за задание: 7

Найдите значение выражения

∘ ∘ ctg 50 − 4cos50

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишите котангенс по определению и превратите выражение в дробь.

Подсказка 2

Воспользуйтесь формулой двойного угла.

Подсказка 3

Можно ли как-то "уменьшить" угол в 100 градусов?

Подсказка 4

Воспользуйтесь формулами приведения.

Подсказка 5

Получаем не самые приятные углы. А какими тригонометрическими формулами мы еще не пользовались?

Подсказка 6

Нам может помочь формула разности косинусов!

Показать ответ и решение

Распишем котангенс

cos50∘− 4 cos50∘sin50∘ ------sin50∘-------

Применим формулу синуса двойного угла

cos50∘− 2sin100∘ ----sin50∘-----

Подставляя $sin100∘ = sin(90∘+ 10∘)= cos10∘$ , получим

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ cos50-− 2c∘os10 = cos50-−-cos10∘−-cos10 sin50 sin50

По формуле разности косинусов получаем

−-2sin30∘sin20∘− cos10∘ = − sin20∘+-cos10∘ sin 50∘ sin50∘

Подставляя $cos10∘ = cos(90∘− 80∘)= sin80∘$ , получим

∘ ∘ − sin20-+-sin∘80 sin50

По формуле суммы синусов получаем

− 2sin50∘cos30∘= −√3- sin50∘

Ответ:

$− √3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 306#85305Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2 (cos2x− 2cos4x) =9 +cos5x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, кажется, что если раскрыть квадрат, будет слишком тяжело дорешивать. А можно поступить хитрее?

Подсказка 2

Какие значения может принимать выражение в скобках?

Подсказка 3

3 косинуса не могут дать значения, меньшие -3 и большие 3, следовательно, квадрат не превзойдет 9.

Подсказка 4

Поскольку правая часть уравнения не меньше 9, cos²(5x) должен обратиться в 0.

Показать ответ и решение

Заметим, что при любых $x$ выполняется неравенство

−3 ≤cos2x − 2cos4x≤ 3,

откуда следует, что левая часть уравнения не превосходит 9. В то же время, правая часть уравнения не меньше 9. Следовательно, равенство может достигаться только при одновременном выполнении условий

2 (cos2x− 2cos4x) = 9

9+ cos25x= 9,

откуда

|cos2x− 2cos4x|=3,cos5x =0

Из второго уравнения получаем

x = π-+ kπ,k∈Z 10 5

Подстановкой в первое уравнение $2$ убеждаемся, что подходит только

x= π +kπ,k∈ Z 2

Ответ:

$π + kπ,k∈ Z 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 307#91545Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√ -------- 3 3 2sinxcosx> cos x− sin x+ sinxcosx(sin x− cosx)

Источники: ПВГ - 2016, 10-11 классы, Уфа

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните формулы сокращённого умножения.

Подсказка 2

Выражение в правой части сворачивается до cos(x) - sin(x).

Подсказка 3

Что, если правая часть меньше нуля?

Подсказка 4

В противном случае, можем возвести в квадрат.

Показать ответ и решение

Правая часть неравенства по формуле разности кубов равна

2 2 (cosx − sin x)(cos x+ sinxcosx+ sin x)− sin xcosx(cosx− sinx)=

2 2 =(cosx− sin x)(cos x+ sin x)= cosx− sinx

Поэтому получаем неравенство

∘sin(2x)> cosx− sinx

Если правая часть меньше нуля, то неравенство выполнено на ОДЗ $sin(2x) ≥0.$

[ π4 + 2πk< x≤ π2 +2πk,k∈ ℤ π+ 2πk≤ x< 54π+ 2πk,k∈ ℤ

Если правая часть неотрицательна, то неравенство равносильно

sin(2x)> (cosx− sinx)2

sin(2x)> 12

[ π12 + 2πk< x≤ π4 + 2πk,k ∈ℤ 5π4 + 2πk≤ x< 117π2-+2πk,k∈ ℤ

Объединяя эти два случая, получаем ответ.

Ответ:

$(π-+ 2πk;π +2πk]∪[π+ 2πk;17π+ 2πk);k∈ ℤ 12 2 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 308#98294Максимум баллов за задание: 7

Вычислите

4 2arctg 2+arcsin5.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Складывать удвоенный арктангенс и арксинус? Ну нет, мы так не умеем. Зато мы умеем, например, с помощью формулы тангенса суммы складывать арктангенсы. Тогда давайте подумаем, как выразить арктангенс через арксинус?

Подсказка 2

Вспомним, что мы хорошо умеем связывать тангенс в квадрате и косинус в квадрате. А из этого соотношения и тангенс в квадрате и синус в квадрате. Значит, имея арксинус, мы умеем считать тангенс. А из него и арктангенс.

Подсказка 3

Пусть arcsin(4/5)=α. Тогда sin(α)=4/5. С помощью этой информации найдём tg(α) и arctg(α).

Подсказка 4

Теперь осталось подумать, как нам посчитать сумму двух арктангенсов? Давайте попробуем для начала найти тангенс исходного выражения

Подсказка 5

Если arctg(2)=β, то tg(β)=2, и тангенс исходного выражения можно переписать как tg(2β+α), что мы умеем представлять в терминах tg(α) и tg(β), а их мы знаем из условия задачи!

Подсказка 6

Вспомним формулы тангенса суммы и тангенса двойного угла. По очереди применим их. Например, можем отдельно посчитать тангенс двойного угла, а потом раскрыть тангенс суммы и туда подставить все известные нам значения.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Обозначим $arctg2$ через $α,arcsin4∕5$ через $β$ . Заметим, что $β ∈(0,π∕2)$ , a $2 2 ( 2 ) 2 2 tg β = sin β∕ 1− sin β = 4∕3$ , откуда $tgβ =4∕3$ ; также $tgα = 2,α ∈(0,π∕2)$ .

Находим:

2tgα 2⋅2 4 tg(2α)= 1−-tg2α-= 1−-22-= −3 -tg(2α)+tgβ- --−-4∕3+-4∕3-- tg(2α+ β)= 1− tg(2α)tgβ = 1− (− 4∕3)⋅(4∕3) = 0

Наконец, поскольку $0< α< π∕2,0< β <π∕2$ , то $0< 2α+ β < 3π∕2$ . Значит, $2α+ β = π$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Отметим на координатной плоскости точки $O(0,0),A(3,0),B(3,4),C(− 5,10)$ , $D (− 5,0)$ . Поскольку угловой коэффициент прямой $OB$ равняется $4∕3$ , а угловой коэффициент прямой $BC$ равняется $− 3∕4$ , получаем, что $∠OBC = 90∘$ .

$PIC$

В треугольнике $OAB :∠OAB = 90∘,AB = 4,BO = 5$ ; значит, $∠AOB = arcsin4∕5$ . В треугольнике $OBC :∠OBC = 90∘,BO = 5,BC = 10$ ; значит, $∠BOC =arctg2$ . В треугольнике $∘ OCD :∠ODC = 90$ , $DO = 5,BC = 10$ ; значит, $∠COD = arctg2$ .

Таким образом,

arcsin4∕5+2arctg2 =∠AOB +∠BOC + ∠COD =∠AOD =π

Ответ:

$π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 309#101249Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 4) √-- ( √10) 5sin 2x +arcsin 5 + 10cos x− arcsin 10- = 7

В ответе укажите сумму всех решений, принадлежащих промежутку $(3π;13π) 2 6$ , при необходимости округлив результат до двух знаков после запятой.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пока что в выражении у нас присутствуют, казалось бы, никак не связанные аргументы арксинуса. Быть может, преобразуем первую скобку так, чтобы аргументы arc-функций стали одинаковыми?

Подсказка 2

Воспользуйтесь переходом от sin к cos и формулой понижения степени, чтобы прийти к √10/10 !

Подсказка 3

Отлично, теперь наше выражение приняло вид, где есть косинус от двойного угла (и от самого угла). Так решим же его при помощи несложной замены ;)

Подсказка 4

Обратите внимание на то, как связаны найденное значение косинуса и аргумент arcsin из выражения, которое мы заменяли.

Подсказка 5

(3√10/10)² + (√10/10)² = 1! Тогда x будет выражаться довольно приятно :)

Показать ответ и решение

Заметим, что

( √10) ( √10) 1 3 3 2sin arcsin -10- ⋅cos arcsin -10- =2 ⋅√10 ⋅√10-= 5,

поэтому

3 √10- arcsin 5 = 2arcsin 10 ,

так что

( ) ( ) ( ) ( √ -) sin 2x+arcsin4 =sin 2x+ π− arccos4 =sin 2x + π− arcsin3 = sin 2x+ π − 2 arcsin-10 5 2 5 2 5 2 10

Следовательно, после замены $α =x − arcsin √10 10$ уравнение из условия преобразуется в

(π ) √-- 5sin 2 − 2α + 10cosα= 7

5cos(2α)+ √10cosα − 7= 0

√-- 10cos2α+ 10cosα − 12= 0.

$4√10- cosα =− 10$ невозможно, так как $4√10 − 10 < −1,$ поэтому остаётся только решение

( √--) √ -- cos x− arcsin -10 = 3-10 10 10

3√10- x= 2πn,n∈ ℤ или x =2 arccos 10 +2πn,n∈ ℤ

При этом в указанный в условии промежуток попадает только $2π$ , так как

3√10- π 2arccos -10-> 6

( √--) sin 2arccos3-10 = 3> 1 10 5 2

По условию для записи в ответ надо округлить

2π ≈ 6,28.

Ответ: 6,28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 310#101253Максимум баллов за задание: 7

Известно, что единственным решением уравнения

π (-x) 4 =arcctg2+ arcctg5+ arcctg13 +arcctg34+arcctg89+ arcctg 14

является натуральное число. Найдите его.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в следующем виде:

-x arcctg1− arcctg2− arcctg5− arcctg13− arcctg34 − arcctg89= arcctg14

Так как арккотангенс — убывающая функция, оба числа положительны и не превосходят $π,$ то $0 <arcctgx− arcctgy <π,$ если $x <y.$

Поэтому последовательно воспользуемся формулой

1+ xy arcctgx− arcctgy =arcctgy-− x

Тогда

arcctg1 − arcctg2= arcctg 1+1-⋅2-= arcctg3 2− 1

1+3-⋅5- arcctg3 − arcctg5= arcctg 5− 3 = arcctg8

arcctg8− arcctg13 =arcctg21

arcctg21 − arcctg34= arcctg55

arcctg55− arcctg89 =arcctg144

Таким образом, получаем

x- arcctg144= arcctg 14

Тогда

-x 14 =144

x =2016

Ответ:

2016

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 311#31197Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ 2cosx +cos2 y− cos2xsin2y = 1; 4cosx − 2cos2x− sin3y = 3.

Источники: ПВГ-2015, 11.5 (см.pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Пока выглядит страшно. Давайте попробуем сделать выражение покрасивее и одно, а не два. Домножим первое уравнение на 2, вычтем его из второго.

Подсказка 2.

Пока выглядит страшно до сих пор, вспоминаем, что мы знаем про косинусы и синусы в квадрате - тригонометрическое тождество. В этой задаче оно нам пригодится в таком виде = (1- cos²(x)) = sin²(x). Давайте используя это преобразуем 2sin²(y)cos^2(x), ведь его трудно оценивать.

Подсказка 3.

А теперь наша цель все же сделать оценку! Для этого давайте перенесем направо что-то, чтобы правая часть точно была неотрицательной. Например, sin³(y). Если все правильно, у нас получится такое:
−2cos²(y) − 2cos² (x)cos²(y) = 1+ sin³y. Попробуйте теперь оценить это выражение относительно нуля!

Показать ответ и решение

Первое решение.

При $t= cosx$ второе уравнение приобретает вид

2 3 4t− 2t = 3+ sin y

Правая часть этого уравнения не меньше двух, а левая не больше двух, так как $4t− 2t2 = 2− 2(1− t)2,$ поэтому равенство может достигаться только при $3 +sin3y =2,2− 2(1− t)2 = 2$ , что эквивалентно системе

{ cosx =1 sin3y = −1

равносильной

{ x= 2πn,n ∈ℤ y = − π +2πk,k∈ℤ 2

При подстановке убеждаемся, что эти значения $x$ и $y$ удовлетворяют ещё и первому уравнению системы.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Домножим на 2 первое уравнение системы:

{ 4cosx +2cos2 y− 2cos2xsin2y = 2; 4cosx − 2cos2 x− sin3y = 3.

Вычтем первое уравнение из второго

−2cos2x− sin3y− 2cos2y+ 2cos2x sin2y = 1

Применим основное тригонометрическое тождество

−2cos2x− 2cos2y +2cos2x(1− cos2y)= 1+sin3 y

В итоге так как получается, что

0≥ −2cos2y − 2cos2 xcos2y = 1+ sin3y ≥ 0,

то должно выполняться

0= −2cos2y − 2cos2 xcos2y = 1+ sin3y = 0,

что равносильно

{ cosy = 0 1+ sin3y = 0

Подставляя в исходную систему $π y =− 2 + 2πk∈ℤ,$ находим $x =2πn,n∈ ℤ.$

Ответ:

$(2πn,− π +2πk);n,k ∈ℤ 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 312#31592Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

1|| 1|| 2 2||cos2x+ 2||= sin x+ sinxsin5x.

Показать ответ и решение

2 sin x+sin xsin5x= sinx(sinx+ sin5x)= 2sinxsin3xcos2x= cos2x(cos2x− cos4x)

Пусть $t=cos2x$ .

2 |2t+1|= 4t(t− 2t +1)= −4t(2t+ 1)(t− 1)

Тогда либо $2t+ 1= 0$ , $t=cos2x= − 1 2$ и $x = 1 (± 2π+ 2πk) 2 3$ , либо $− 4t(t− 1)=±1$ .

Если $4t2− 4t− 1= 0$ , то $t= 1±√2 >− 1 2 2$ . Значит

2t+ 1= |2t+1|= −4t(2t+ 1)(t− 1)

1 =− 4t(t− 1)

4t2− 4t+1 =0

Противоречие.

Если $4t2− 4t+1= 0$ , то $1 t= 2$ и оно подходит. Значит, $1 ( π ) x =2 ± 3 + 2πk$ .

Ответ:

$1 (± π+ 2πk),k ∈ℤ 2 3$ , $1(±2π+ 2πn),n ∈ℤ 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 313#32377Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

cos4x-− 6cos2-2x-+8cos2-x √6x−-x2−-5 = 0.

Источники: ПВГ-2015, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что аргументы косинусов в числителе являются степенями двойки. Это значит, что через какой-то из косинусов можно выразить все остальное. Подумайте, через какой из косинусов это удобнее всего выражать и сделайте это(очевидный плюс того, чтобы выразить все через что-то одно - это то, что потом можно будет сделать замену и это станет обычным уравнением).

Подсказка 2

Действительно, все можно выразить либо через cos^2(x), либо(что почти тоже самое из-за формулы двойного угла) через cos(2x). Поскольку квадратное уравнение решать легче, чем биквадратное, то выразим все через cos(2x) и получим, что выражение сверху это -4cos^2(2x)+4cos(2x)+3=0. Осталось найти корни этого и выбрать из них только те, что подходят под ОДЗ.

Показать ответ и решение

Преобразуем числитель

2 2 2 2 cos4x− 6cos2x+ 8cosx =2cos 2x − 1 − 6cos2x +4cos2x +4 =0

Решая квадратное уравнение, получаем $cos2x = 3,− 1 2 2$ , то есть $x = ±π +πn 3$ .

Осталось учесть ОДЗ: $x∈ (1,5)$ , отсюда из положительных корней подходят только первые $3$ : $π,2π,4π 3 3 3$ .

Ответ:

${π;2π;4π} 3 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 314#46081Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

|cosx|−-cos3x- 2-- cosxsin2x = √3.

Источники: Физтех-2015, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Много косинусов возникло - давайте разделим на cos(x)^3, предварительно раскрыв модуль, и числитель, и знаменатель.

Подсказка 2

При делении на cos(x)^3 в знаменателе получаем 2tg(x) -> все нужно свести к одной переменной, тангенсу. Получив решения для cos(x)>0 или <0, не забываем отобрать нужные!

Показать ответ и решение

Пусть $cosx> 0$ , поделим числитель и знаменатель на $cos3x$

-12-− 4+ -32- 2 2 1 π cos-x2tgx-cos-x= √3- ⇐⇒ 2tgx= √3- ⇐ ⇒ tgx =√3- ⇐⇒ x= 6 +πn

Из этих корней остаются только $x = π6 + 2πn$ , при $cosx< 0$ действуем аналогично

−-co1s2x-− 4-+co3s2x-= √2 ⇐ ⇒ tg2x− 1= √2-tgx ⇐ ⇒ tgx =√3,− 1√-- ⇐⇒ x = π + πn 2tgx 3 3 3 3 2

Из этих корней остаются $2π 5π x= − 3 +2πn,6 + 2πn$ . Остаётся заметить, что все полученные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

$π + 2πn,5π+ 2πn,− 2π+ 2πn, n∈ ℤ 6 6 3$

Критерии оценки

Разобран только один из двух случаев раскрытия модуля — 3 балла.

Разобраны оба случая раскрытия модуля — 7 баллов.

Не сделан (неверно сделан) отбор корней — (−1) балл за каждый случай.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 315#49147Максимум баллов за задание: 7

Для $x= π- 2n$ найдите значение суммы

2 2 2 2 cos (x)+ cos (2x)+ cos (3x)+ ...+ cos (nx).

Источники: ОММО-2015, номер 6, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Тут нам не очень удобно работать, так как в формуле квадраты косинусов. Давайте воспользуемся формулой cos^2(x) = (1+cos(2x))/2 и приведем все слагаемые к бесквадратному виду.

Подсказка 2!

Теперь нам нужно посчитать сумму (1 + cos(2x) + 1 + cos(4x) + ....... + 1 + cos(2nx))/2. То есть это n/2 + сумма косинусов /2. Давайте добавим и вычтем cos(0) для удобства. Теперь нам нужно просто посчитать сумму косинусов от 0 до 2nx!

Подсказка 3!

Чтобы посчитать, нужно вспомнить, что 2nx = Pi по условию! Попробуйте как-то сгруппировать слагаемые :)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Воспользуемся тождеством $2 1+cos2t cos t= 2 .$

Тогда по условию нам надо посчитать

n+ cos2x+ cos4x+ ...+ cos2(n− 1)x+ cos2nx n− 1 S -----------------2------------------= -2--+ 2,

где $S = cos0x+ cos2x+ cos4x+ ...+ cos2(n− 1)x+ cos2nx.$

По условию $2nx= π,$ так что для любого $t$ выполнено $cos(2nx− t)= cos(π− t)= − cost.$ Появляется идея: разбить слагаемые-косинусы на пары по аргументам $t< − >2nx− t,$ потому что сумма косинусов у каждой такой пары равна нулю.

В сумме $S$ количество слагаемых $n+ 1$ . Если $n$ нечётно, то все слагаемые разбиваются на пары с нулевой суммой за счёт сказанного выше. Если $n$ чётно, то паре не найдётся слагаемому $cos(nx)$ , но оно равно нулю.

В итоге $S = 0$ для любого $n,$ так что ответ $n−21.$

Второе решение.

Заметим, что

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos2 kπ + cos2 (n-− k)π =cos2 kπ +cos2 π− kπ = cos2 kπ + sin2 kπ = 1. 2n 2n 2n 2 2n 2n 2n

Если $n$ нечетно, разобьем все слагаемые, кроме $cos2(nx)$ , на пары, что сумма чисел в паре равна 1 . Отсюда разбитые на пары слагаемые дают сумму $n−1 2$ , а $cos2(nx)= cos2(π)= 0 2$ . Если же $n$ четно, то без пары остаются и $cos2(nx)= cos2(π) =0 2$ , и $cos2(π)= 1 4 2$ . И в том, и в другом случае полная сумма равна $n−-1. 2$

Ответ:

$n−1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 316#63560Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

√-- √ ------------ 24cosx = 11cosx− cos2x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами квадратные корни. Было бы здорово от них избавиться. А всегда ли мы можем это сделать?

Подсказка 2

Обе части должны быть неотрицательными! Так что выписываем такое ограничение (можем воспользоваться тем, что в равенстве мы можем записать ограничение только для одной части равенства) и возводим в квадрат. А на что похоже полученное выражение?

Подсказка 3

Конечно, на квадратное уравнение! Вот только оно относительно функции, а не просто переменной. Решаем известным Вам способом и получаем уже простейшие тригонометрические уравнения! Для удобства можно ввести новую переменную t = cos (x) и решать квадратное относительно t уравнение.

Показать ответ и решение

Запомним, что $cosx ≥0$ и возведём в квадрат, тогда:

2 2 2 24cosx = 11cosx− 2cos x+ 1⇐ ⇒ 26 cos x− 11 cosx− 1= 0

Откуда $cosx = 11±15= 1,−-1 52 2 13$ . В силу $cosx ≥0$ имеем $x= ±π +2πn,n∈ ℤ. 3$

Ответ:

$± π + 2πn,n∈ ℤ 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 317#70299Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

|sinx|−-sin3x- √ - cosx cos2x =2 3

Источники: Физтех - 2015, 10 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала стоит раскрыть модуль.

Подсказка 2

Было бы удобно преобразовывать получившиеся выражения на ОДЗ.

Подсказка 3

Воспользуйтесь формулой произведения синусов.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $cosx cos2x⁄= 0$

Рассмотрим два случая раскрытия модуля и преобразуем на ОДЗ:

− sinx− sin3x √- 2sin2xcosx √- sin2xcosx √ - sin x< 0:--cosxcos2x--= 2 3 ⇔ −-cosxcos2x-= 2 3 ⇔ cosx-cos2x = − 3⇔ ⇔ sin2xcosx-= −√3 ⇔ sin2x-= −√3⇔ tg2x= −√3 cosxcos2x cos2x

sinx−-sin3x- √ - 2sin-xcos2x √ - sinx-cos2x √- sinx ≥0 : cosxcos2x =2 3⇔ − cosxcos2x =2 3⇔ cosxcos2x =− 3⇔ ⇔ sinx-=− √3⇔ tgx= −√3- cosx

$( ⌊||| sinx< 0 ||{ tg2x= −√3 ||||||( ||(cosxcos2x ⁄=0 |||||| sinx≥ 0 ||{ tgx =− √3 ⌈|||( cosxcos2x ⁄=0$ $⇔$ $⌊ π |x =− 6 + 2πk,k ∈ℤ |||x = 4π+ 2πk,k∈ ℤ |⌈ 3 x = 2π+ 2πk,k∈ ℤ 3$

Ответ:

${− π+ 2πk,4π-+2πk,2π+ 2πk,k ∈ℤ} 6 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 318#80514Максимум баллов за задание: 7

Найдите главный (наименьший положительный) период функции

−5 y = (arcsin(sin(arccos(cos3x)))) .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хотим найти период, попробуйте отталкиваться от cos(3x).

Подсказка 2

Что, если подставить x + π/3?

Показать ответ и решение

Заметим, что

( π) −5 −5 y x+ 3 = arcsin(sin(arccos(cos3x+ π)))) = arcsin(sin(arccos(− cos3x)))) =

= arcsin(sin(π− arccos(cos3x))))−5 = arcsin(sin(arccos(cos3x)))−5

если заменить $x$ на $π x+ 3$ , то ничего не изменится. Значит, период $π- a= 3n$ . Если $n ≥2$ , то $π a≤ 6$ и $−5 −5 y(a)=(arcsin(sin(arccos(cos3a)))) = (3a) = y(0)= 0$ . Значит, $π a= 3$ .

Ответ:

$π 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 319#85309Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ 2sinx +sin2y − sin2xcos2y = 1; 2cos2x +4sin x− cos3y = 5.

Источники: ПВГ - 2015, Брянск, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие свойства чаще всего приходят на ум при взгляде на синусы и косинусы?

Подсказка 2

Четность/нечётность, даже ОТТ, но может быть, есть что-то более простое, но не всегда очевидно?

Подсказка 3

Конечно, ограниченность в промежутке от -1 до 1! Посмотрите внимательно, может быть, ее удастся как-то применить?

Подсказка 4

Сверху у на 1, а снизу число 5. С каким числом будет проще работать через ограниченность значений? Или, как вариант, можно смотреть на то, где выражения попроще для анализа.

Подсказка 5

Во втором уравнении и слагаемые попроще, и присутствует число большое 5. Можно ли его как-то преобразовать для анализа?

Подсказка 6

Тут есть целых два слагаемых, зависящих от х. Может быть, можно как-то связать их?

Подсказка 7

Есть синус в первой и косинус в квадрате, можно ли как-то свести все к одинаковой тригонометрической функции?

Подсказка 8

ОТТ — наш лучший друг. Можно ли теперь как-то еще преобразовать наше выражение, чтобы количество частей с х максимально сократилось?

Подсказка 9

Обратите внимание: есть sin²(x) и sin(x). Точно не выйдет их как-то объединить?

Подсказка 10

Сумму выражений от двух переменных анализировать неприятно, что можно сделать, чтобы сократить количество переменных в выражении слева?

Подсказка 11

Слева получилось выражение с квадратом от синуса х, а справа — куб косинуса у. Какие значения могут принимать выражения слева и справа?

Подсказка 12

Какие значения должны принимать выражения слева и справа, чтобы вышло их приравнять хоть при каких-то х и у?

Подсказка 13

Слева будет максимальное значение, а справа — минимальное. Осталось найти синус х и косинус у!

Подсказка 14

Зная синус и косинус, находим х и у. Нужно ли решать первое уравнение системы?

Подсказка 15

Не забывайте, что определить, подходит что-то или нет, можно через подстановку значений.

Показать ответ и решение

Преобразуем второе уравнение системы

2 3 2− 2sin x+ 4sinx= 5+ cos y

2 3 2(− (sinx − 1) + 2)= 5+ cos y

Квадратичная функция $y = 2(− (t− 1)2+ 2)$ принимает в точке $t= 1$ наибольшее значение, равное $4$ . То есть левая часть неравенства не превосходит $4$ , а правая часть $5+cos3 y ≥5 − 1 =4$ . Значит равенство возможно только в случае