Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 321#31194Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2(2013x) 2 2( 2015x) sin 2 ⋅cos (2014x)⋅sin 2 = 1

Источники: ПВГ-2014, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Так, у нас есть произведение трех множителей, которое равно 1. Вспоминаем важную особенность cos²(x) и sin²(x), они всегда ≤ 1. Какие выводы можем сделать?

Подсказка 2.

Такие: значит все наши три слагаемых = 1. Осталось решить систему! А затем найти пересечения решений, посмотрим, как тут не запутаться.

Подсказка 3.

Мы получим, чему должны быть равны 2015x/2, 2014x, 2013x/2. Но во всех трех этих сериях будут разные константы n, m, k при 2П. Тогда заметим, что 2015x/2 - 2013x/2 = x! Вычитаем, получаем
формулу для x. Осталось только подставить ее в оставшиеся уравнения и разобраться, какие должны быть константы n, k, m.

Показать ответ и решение

Так как

(| sin2(2013x)≤ 1 { cos2(20214x)≤ 1 |( 2(2015x) sin 2 ≤ 1

то $sin2(2013x)⋅cos2(2014x)⋅sin2(2015x)= 1 2 2$ , а равенство возможно тогда и только тогда, когда

(| sin2(2013x)= 1 { cos2(20214x)= 1 |( sin2(2015x)= 1 2

Первое решение.

Система равносильна

(|{ 20132x= π2 + πk,k∈ ℤ 2014x =πm,m ∈ ℤ |( 2015x= π + πn,n ∈ℤ 2 2

Тогда $x = 20125x− 20123x= π(n − k).$

Подставляя в первое, имеем $2013(n− k)= 1+2k$ , откуда $n− k$ должно быть нечётным, то есть $n− k= 2t+ 1$ при $t∈ℤ.$ Подставляем: $x= π(n− k) =π +2πt,t∈ ℤ.$

Других решений быть не может. Осталось проверить, что $x = π+ 2πt$ подходит под все три условия системы и записать ответ.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

По формуле синуса суммы

( ) ( ) 1= sin2 2015x- = sin2 2013x-+ x = 2 2

( ( 2013x) (2013x) )2 = sin 2 cosx+ cos 2 sinx =

по основному тригонометрическому тождеству в силу первого условия системы

( ( ) )2 = sin 2013x-cosx+ 0 = cos2x 2

Поэтому достаточно рассмотреть два случая:

1) При $cosx= 1 ⇐⇒ x= 2πn,n ∈ℤ$ неверно, что $sin2(2013x)= 1 2$ , ведь этот синус равен нулю.

2) При $cosx= −1 ⇐⇒ x= π+ 2πt,t∈ ℤ$

(|{ sin2 (2013x) =sin2(2013πt+ 2013π)= 1 cos2(20214x)= cos2(2014(π +2πt2)) =1 |( sin2 (2015x) =sin2(2015πt+ 2015π)= 1 2 2

система верна при любом $t∈ ℤ.$

Ответ:

$π +2πt,t∈ ℤ$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 322#39086Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√3 cosx sinx sinx+-cosx-= tg2x+ sin-x− cosx.

Источники: Физтех-2014, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, напишем ОДЗ. Во вторых, видно, что по структуре, наиболее схожи эти две дроби. Значит, стоит попытаться привести их к общему знаменателю :)

Подсказка 2

Хмм, в знаменателе косинус двойного угол, а слева тангенс двойного угла. Стоит сократить и посмотреть что получается. Хмм… Мы видим произведение синуса и косинуса и их квадраты с некими коэффициентами. На что это похоже? Что мы привыкли делать в подобных ситуациях?

Подсказка 3

Да, это очень похоже на однородное уравнение. Обычно, мы решали его делением на квадрат одного из аргументов. Ничего не может остановить нас и сейчас сделать также. Главное - не забыть об ОДЗ:)

Показать ответ и решение

ОДЗ $sinx⁄= ±cosx$ , $cos2x =cos2x− sin2x⁄= 0$

Приведём дроби к общему знаменателю

√3cosx sinx − √3cos2x +√3-sincosx − sin2x − sinx cosx sin-x+cosx − sin-x− cosx =----------sin2x−-cos2x----------- =

= tg 2x = sin2x-=--2− sin-2x-2 cos2x sin x− cos x

−√3cos2x +√3-sincosx − sin2x − sin xcosx =− 2sinxcosx

Если $cosx =0$ , то $sinx= 0$ , что невозможно. Значит, $cos2x⁄= 0$ и на него можно разделить.

−√3-+(√3 +1)tgx− tg2x= 0

Это квадратное уравнение от $tgx$ . Его корни $1$ и $√- 3$ . По ОДЗ $sin x⁄= cosx$ , поэтому $tgx⁄= 1$ . Значит $√- tgx = 3$ и $x = π3 + πn, n∈ ℤ$ , что удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

$π + πn, n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 323#39089Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

3 6cos9xcos2x= 1+ 3cos11x+ 2cos 7x.

Источники: ПВГ-2013, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим справа в аргументах косинуса большие и неприятные значения 7х и 11х. Причём они никак не выражаются через друг друга... Тогда с правой частью мы пока никак не поработаем. А слева у нас произведение косинусов. Давайте попробуем расписать их через формулу.

Подсказка 2

Ага, получилось, что слева теперь тоже 11x и 7x. И видим, что 11х хорошо сокращается. Ура! У нас осталось только кубическое уравнение относительно cos(7x). Какой корень сразу угадывается из суммы коэффициентов многочлена?

Подсказка 3

Верно, cos(7x)=1 подходит. Теперь уже остаётся только решить квадратное уравнение, учесть ограничение на косинус и найти х.

Показать ответ и решение

Распишем произведение косинусов

3 3(cos7x+ cos11x)= 1+ 3cos11x+ 2cos 7x

3 2 0= 2cos7x − 3cos7x +1 =(cos7x− 1)(2cos7x +2cos7x − 1)

Тогда $cos7x= 1$ или $−1±√3 2$ . Так как $cosx≥ −1$ , то $−1−√3- 2$ не подходит. Значит, либо $7x= 2πk$ , либо $7x =± arccos( −1+-√3)+ 2πk 2$

Ответ:

$2πk,±1arccos(√3−1)+ 2πk, k ∈ℤ 7 7 2 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 324#46083Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- (---sinx--- ) --cosx--- 3 sinx− cosx + tg2x = sinx+ cosx.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Распишите tg(2x) через sin(x) и cos(x). tg(a) = sin(a)/cos(a), начните с этого.

Подсказка 2

Учтите ОДЗ и домножьте левую и правую часть на sin(x)+cos(x). Все получится!

Показать ответ и решение

На ОДЗ (!) данное уравнение равносильно каждому из следующих:

√-( sin x 2 sinxcosx ) cosx 3 sinx−-cosx-− (sin-x− cosx)(sinx-+cosx) = sinx+-cosx, √3-(sinx(sin x+cosx)− 2sinxcosx)= cosx(sinx − cosx), √- 3sin x(sinx − cosx)=cosx(sinx− cosx).

На ОД3 $sin x− cosx⁄= 0$ , так что получаем уравнение

√- 3sin x= cosx

√3- 1 2 sinx− 2cosx= 0

π sin(x− 6)= 0

x= π +πk,k∈ ℤ 6

При этом заметим, что эти корни удовлетворяют условиям из ОДЗ, так что их можно писать в ответ.

Ответ:

$π + πk,k∈ ℤ 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 325#49146Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2( 5x- 5π) 1 cos x− cosxsin 4 − 12 + 4 =0.

Источники: ДВИ - 2014, вариант 1, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Заметим, что наше уравнение квадратное относительно косинуса! Давайте попробуем его решить, мы хотим, чтобы дискриминант был >= 0. При каком условии это выполняется?

Подсказка 2!

Дискриминант: sin^4(...) - 1, значит sin^4(...) должен быть равен 1! Осталось только разобраться, чему в таком случае должен быть равен cosx!

Показать ответ и решение

Уравнение можно рассматривать как квадратное относительно $cosx:$ потребовать, чтобы его дискриминант $sin4(5x− 5π)− 1 4 12$ был неотрицательным, откуда сразу же вытекает условие, что синус равен $±1$ . Рассмотрим эквивалентный подход, чтобы показать, почему это справедливо:

Пусть для краткости $2(5x 5π) a= cosx,b= sin 4 − 12$ . Ясно, что $− 1≤a ≤1,0≤ b≤ 1.$ У нас есть уравнение $2 1 b 2 1−b2- a − ab+ 4 = 0 ⇐⇒ (a− 2) + 4 =0.$ Но так как $2 1− b ≥0,$ то оба слагаемых в левой части неотрицательны. А их сумма должна быть равна нулю. Это равносильно условию, когда каждое слагаемое равно нулю:

{ b a −22= 0 1 − b = 0

С учётом $b≥ 0$ получаем $b= 1,a= 1. 2$ Итак, условие задачи эквивалентно системе уравнений:

{ cosx= 1 sin2(5x2− 5π)= 1 4 12

то есть

{ cosx= 1 cos(5x2− 5π)= 0 4 12

Отсюда уже находим условия на $x$ :

{ x= ± π+ 2πk,k∈ ℤ 5x= 53π+ π +πn,n ∈ℤ 4 12 2

Остаётся эти условия пересечь, совместив параметры $n$ и $k$ . Выразим $x$ :

5x= ±5π +10πk= 11π+ 4πn =⇒ 11±5-= 10k − 4n 3 3 3

Так как в правой части целое число, в левой может быть только $11−5-=2 3$ и тогда

1 =5k − 2n ⇐⇒ 2n= 5k− 1

окончательно $k= 2m +1,n= 5m +2, m ∈ ℤ.$

В итоге ответ $x = π+ 2πk = 7π-+4πm 3 3$ уже для любого целого $m.$

Замечание. Решить систему можно с помощью тригонометрической окружности, показав, что подходит только точка, соответствующая $x = π. 3$ Но определять период всё равно придётся из уравнения.

Ответ:

$7π +4πm, m ∈ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 326#92071Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

cos(11x+ π∕4)=sin(17x+ π∕4).

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно ли получить слева и справа одну тригонометрическую функцию?

Подсказка 2

Воспользуйтесь формулами приведения для косинуса.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно $sin(π∕4− 11x) =sin(17x +π∕4)$ . Откуда либо $π∕4 − 11x= 17x+π∕4+ 2πk,k ∈ℤ$ , либо $π − (π∕4− 11x)=$ $17x+ π∕4+2πn,n∈ ℤ$

Ответ:

$πk∕14,π∕12+ πn∕3,k,n∈ ℤ$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 327#101965Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее значение выражения

sin (x − π) 2(√3sinx−-cosx)co6s3x− cos6x−-7.

Показать ответ и решение

Используя формулу вспомогательного аргумента, преобразуем знаменатель:

sin(x − π) 4sin-(x-− π-)cos3x6−-cos6x−-7 6

Так как любое отрицательное число меньше положительного, то, мы хотим получить максимальное по модулю отрицательное число. Оценим сверху знаменатель:

4sin(x− π) cos3x− cos6x− 7= 4sin(x− π) cos3x− 2cos23x− 6= 6 6

( 2 ( π) 2( π)) 2( π) = −2 cos3x − 2sin x − 6 cos3x +sin x− 6 +2sin x− 6 − 6 =

( ( π ))2 2( π ) = −2 cos3x − sin x −-6 +2sin x− 6 − 6 ≤0 +2⋅1− 6= −4

Так как знаменатель всегда отрицателен, его модуль нужно минимизировать, а числитель — максимизировать и оставить положительным. Из оценки заметим, что знаменатель минимален по модулю при:

{ ( ) sin2x − π6(= 1, ) cos3x= sin x− π6

Поскольку числитель мы хотим положительным, то:

{ ( π) sinx −6 =(1, π) cos3x= sin x− 6 = 1

При $2π x= 3$ система выполняется, а, значит, достигается равенство оценки. Подставим:

sin(π) 1 4sin-(π)cos2π2−-cos4π-− 7 =− 4 2

Ответ: -0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 328#127151Максимум баллов за задание: 7

Найдите все $x,y$ на интервале $(0,π), 2$ удовлетворяющие системе уравнений

({ -1--- --1- cos3x + sin3y = 16; ( tg2x+ ctg2y = 6.

Показать ответ и решение

Преобразуем слагаемые во втором уравнении:

2 sin2x- 1-− cos2x --1-- tg x = cos2x = cos2x = cos2x − 1

cos2y 1− sin2y 1 ctg2y = sin2y-=-sin2y--= sin2y − 1

Сделаем замену переменных: $a= -1--≥ 1,b= -1--≥ 1: cosx siny$

{ a3 +b3 = 16 a2 +b2 = 8

{ (a+ b)(a2− ab+ b2)=(a+ b)(8+ ab)= 16 a2 +b2 = (a +b)2− 2ab= 8

Пусть $u= a+b ≥2,v =ab ≥1,$ получаем систему уравнений:

{ u(8− v)= 16 u2− 2v = 8

Подставим в первое уравнение $u2− 8 v =--2--$ , получим уравнение относительно $u:$

u(24− u2)= 32

u3− 24u +32= 0

2 (u − 4)(u + 4u− 8)=0

⌊ u= 4 |⌈ u= −2+ 2√3 u= −2− 2√3

Так как $u= −2 +2√3 <2$ и $u =− 2− 2√3 < 2,$ получаем $u= v = 4.$

{ a+ b=4 ab=4

{ b =4 − a a2− 4a+ 4= 0

a= b= 2

1 cosx= siny =2

Учитывая, что $( π) x,y ∈ 0;2 ,$ получаем $π x= 3 ,$ $π y = 6.$

Ответ:

$(π;π) 3 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 329#31195Максимум баллов за задание: 7

Решите систему

{ tg2x+ ctg2x= 2sin2y; sin2y +cos2 z = 1.

Источники: ОММО-2013, номер 5, (см.olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Давайте внимательнее посмотрим на первое уравнение. Слева квадраты обратных чисел, справа максимум 2. Вспомним, что a + 1/a >= 2! То есть у нас должно достигаться равенство двойке.

Подсказка 2!

Попробуйте использовать это и получить теперь условия на sin(y), tg(x), cos(z)!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Вычтем из обеих частей первого уравнения число $2 =2tgx⋅ctg x$ и оценим обе части

2 2 0≤ (tgx − ctgx)= 2(sin y− 1)≤ 0

равенство может быть только в случае

2 2 0= (tgx − ctgx)= 2(sin y− 1)= 0

Таким образом, система из условия сводится к

(| tgx= ctgx { sin2y = 1 |( 1+ cos2z = 1.

Решая каждое из уравнений, приходим к ответу:

(| x= π+ πk,k∈ ℤ { y = 4π+ π2n,n∈ ℤ |( z = 2π+ πt,t∈ ℤ. 2

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

В первом уравнении системы правая часть не превосходит $2$ в силу области значений синуса, а левая часть по неравенству о средних для двух положительных (ни квадрат тангенса, ни квадрат котангенса не могут быть равны нулю, иначе один из них будет не определён) чисел не меньше $2tgx⋅ctgx = 2.$ При этом должно достигаться равенство. Это возможно тогда и только тогда, когда $sin2 y = 1$ и $tg2x= ctg2x =1.$

С учётом полученного второе уравнение системы равносильно $cos2z = 0.$

Итого $x = π+ πk,k∈ ℤ 4 2$ , $y = π+ πn,n∈ ℤ 2$ и $z = π+ πt,t∈ ℤ 2$ (здесь важно писать разные буквы для целых параметров, иначе у переменных появляется дополнительная линейная зависимость, которой быть не должно).

Ответ:

$(π + πk;π +πn;π +πt); n,k,t∈ ℤ 4 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 330#63563Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

cos3x- sin3x- sin2x- cos2x- sin 2x + cos2x = cos3x + sin 3x .

Источники: ДВИ - 2013, вариант 1, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слагаемые-дроби не очень удобны: приводим к общему знаменателю каждую из частей уравнения! А что получилось в числителе?

Подсказка 2

Это же формула косинуса суммы! При каких условиях теперь может получиться равенство?

Подсказка 3

Либо числитель равен нулю, либо знаменатели равны. С первым проблем не возникает, решаем и сверяемся с ОДЗ. А что можно сделать с равенством знаменателей?

Подсказка 4

Перед нами синус двойного угла! Только двоек не хватает (но их мы легко добавим :) ). Какую формулу теперь можно применить, чтобы не раскрывать обратно по синусу двойного угла?

Подсказка 5

Формулу разности синусов! Она как раз даст нам удобное произведение, которое мгновенно распадется на простейшие тригонометрические уравнения. Решаем их и задачка убита!

Подсказка 6 (отбор корней)

Пересекать с ОДЗ полученные корни лучше всего на тригонометрической окружности. Отмечаем на ней точки, которые хотим пересечь с ОДЗ одним цветом, точки для серий из ОДЗ (которые как раз хотим “выколоть”) другим и оставляем те корни, которые не совпали!

Показать ответ и решение

Приводя к общему знаменателю:

cos3xcos2x+-sin3xsin2x cos3xcos2x-+sin-2x-sin3x sin2xcos2x = cos3xsin 3x

В каждой дроби сверху записан $cos(3x− 2x)=cosx$ . Если $cosx= 0$ , то $sin2x =0$ , что невозможно в силу ОДЗ, то есть:

sin2xcos2x =cos3xsin3x⇐ ⇒ sin4x= sin6x⇐ ⇒ sinxcos5x =0

Здесь $sinx$ не подходит по тем же причинам. Осталось только $cos5x =0,x= -π+ πn 10 5$ . Чтобы проверить ОДЗ, посмотрим на корни для отрезка $[0,2π]$ — это $π-,3π,...19π 10 10 10$ . Среди всех этих решений 5 в знаменателе сократится только для $5π 10$ и $15π 10$ — в этих точках $sin2x$ снова будет равен нулю, но для остальных 5 останется в знаменателе и не исчезнет для выражений $2x$ и $3x$ , поэтому синусы и косинусы с аргументами $2x$ и $3x$ не могут равняться нулю в таких точках — помним, что в несократимом виде в знаменателе может остаться только двойка для равенства нулю синуса или косинуса. То есть нужно исключить только $n= 2+5k,k∈ ℤ$ (5 нужна, чтобы задать период $π$ между “плохими” корнями).

Ответ:

$-π+ πn,n∈ ℤ∖ {2+ 5k,k∈ℤ} 10 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 331#64000Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

tg2x−-2sinx tg2x+ 2sinx =0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте, при каких условиях дробь равна 0? Они будут составлять систему!

Подсказка 2

В полученных выражениях есть и синусы и тангенсы. Стоит все переписать через синусы и косинусы, ведь их связь нам более привычна! А заодно и общий множитель найдем, применив формулы двойных углов :)

Подсказка 3

Остается решить только несложные уравнения из системы и пересечь соответствующие результаты! Не забывайте, что для условия со знаком “не равно” необходимо, чтобы оба множителя одновременно были не равны нулю, а не “хотя бы один”, как со знаком равенства.

Показать ответ и решение

Выпишем эквивалентную систему

(| [ sinx= 0 { 2sinxcosx− 2sinx =0 |||{ cosx= 2cos2x − 1 22csiosn2xxc−os1x ⇐⇒ | 2cos2x−1 + 2sinx ⁄=0 |||( sinx⁄= 0 2 cosx ⁄=−2 cos x+ 1

Отсюда $sinx ⁄=0$ , при этом $cosx∈ {1,− 1} 2$ , где первое значение невозможно (тогда $sinx =0$ ). После несложной проверки ОДЗ, получаем $x= ±2π+ 2πn. 3$

Ответ:

$± 2π +2πn, n ∈ℤ 3$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 332#77989Максимум баллов за задание: 7

Выясните, какое из чисел больше:

√- √ - 7√3 arctg( 3+ 2)+arcctg( 3− 2) или -4-

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что в аргументах у нас сопряженные числа с разными знаками. Может, как то связать их через тангенс и котангенс?

Подсказка 2

Давайте докажем, что в левой части у нас число π.

Подсказка 3

Теперь нужно аккуратно оценить двойным неравенством корень из 3, получить оценку на правую часть и сравнить с числом π.

Показать ответ и решение

Обозначим $φ= arctg(√3-+ 2).$ Тогда

1 √3 − 2 √ - ctgφ = √3+-2 =-3−-4 =2 − 3

Поэтому

arcctg(√3-− 2)= π− arcctg(2− √3)= π− φ

первое число из условия равно $π.$ Так как $√- 3< 1,76,$ то второе число из условия $√- 743< 3,08$ и меньше $π.$

Ответ:

$arctg(√3+ 2)+arcctg(√3 − 2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 333#80515Максимум баллов за задание: 7

Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством

∘ ------ √ ------ arcsiny ≤ arccosx.

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Избавьтесь от корней. Попробуйте рассмотреть некоторые значения x.

Подсказка 2

Например, что, если x ≤ 0?

Подсказка 3

Тогда получится, что arcsin(y) ≤ π/2 ≤ arccos(x). Найдите соответствующие x и y.

Подсказка 4

Рассмотрите другой случай, примените синус к обеим сторонам неравенства.

Показать ответ и решение

По ОДЗ $y ≥ 0$ .

arcsiny ≤arccosx

Заметим, что если $x≤ 0$ , то $arcsiny ≤ π≤ arccosx ⇐ ⇒ y ∈[0;1],x ∈[−1;0] 2$ .

Значит, $x,y ≥0$ и $arcsiny, arccosx ∈[0,π] 2$ . Применим синус к обеими сторонам. Так как обе части в интервале $[0,π] 2$ и синус на нем возрастает, то получится равносильное неравенство

∘ ---2- y ≤ 1− x

y2+ x2 ≤ 1

Площадь такой фигуры при условии $x,y ≥0$ равна $π4.$ Значит, общая площадь $1+ π4.$

Ответ:

$1+ π 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 334#80648Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin5x cos5x- sinx- -cosx- sinx − cosx = sin5x − cos5x

Источники: ДВИ - 2013, вариант 2, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте преобразуем правую и левую части уравнения. Сразу хочется избавиться от этой разности дробей, поэтому логично привести выражения к общему знаменателю. Заметим, что тут можно применить формулу синуса разности для того, чтобы свернуть выражения в числителях

Подсказка 2

Перекинем все в одну сторону и снова приведем к общему знаменателю (заметьте, что знаменатели тоже можно было преобразовать по очень известной тригонометрической формуле), попробуйте теперь разложить результат на множители

Подсказка 3

После применения формулы для суммы синусов остается только приравнять каждый множитель к нулю и найти корни уравнения (только важно не забыть выколоть нули знаменателя!)

Показать ответ и решение

Преобразуем левую и правую части уравнения при помощи формул синуса разности и синуса двойного угла:

-sin4x- sin(−4x) 12sin2x = 12sin10x

Это равносильно тому, что

sin4x(sin2x+-sin10x) =0 sin2xsin10x

Преобразуем сумму синусов в произведение:

sin4xsin6xcos4x-= 0 sin2xsin10x

Еще раз воспользуемся формулой синуса двойного угла::

-sin8xsin6x- sin2xsin10x = 0

Учитывая, что нули функции $sin2x$ являются нулями функции $sin 10x,$ получаем::

( [ |{ sin6x= 0 | sin8x= 0 ( sin 10x ⁄=0

Общие нули $sin 6x$ и $sin10x$ имеют вид $kπ2-,k ∈ℤ.$ Точно так же выглядят общие нули $sin8x$ и $sin10x$ . Следовательно, из серий $m8π,n6π,m, n∈ ℤ,$ нужно выкинуть числа вида $kπ2-,k ∈ℤ$ .

Ответ:

$x = mπ,nπ, m ∈ ℤ∖4ℤ,n∈ ℤ∖3ℤ 8 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 335#89461Максимум баллов за задание: 7

а) Решите уравнение $(7π ) √- 2sin 2 +x ⋅sin x= 3cosx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[−7π;−6π].$

Источники: ЕГЭ 2013, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения $( 7π ) sin 2 + x = − cosx$ , следовательно, уравнение примет вид

⌊ cosx= 0 −2cosx ⋅sinx= √3cosx ⇔ cosx(2sinx+ √3)= 0 ⇔ || √ - ⌈ sinx= −--3 2

Решением первого уравнения совокупности будут $x = π + πk,k ∈ℤ 2$ .

Решением второго уравнения будут $π x =− 3 +2πn,n∈ ℤ$ и $2π x= −-3 +2πm,m ∈ ℤ$ .

б) Отберем корни.

$− 7π ≤ π + πk≤− 6π ⇔ − 7,5≤ k≤ −6,5 2$ . Так как $k$ – целое, то подходит только $k =− 7$ , при котором получаем корень $13π- x =− 2$ .

$− 7π ≤ − π+ 2πn≤ −6π ⇔ − 10≤ n≤ − 17 3 3 6$ . Так как $n$ – целое, то подходит только $n =− 3$ , при котором получаем корень $19π x =− -3-$ .

$2π- 19 8 − 7π ≤ − 3 + 2πm ≤ −6π ⇔ − 6 ≤m ≤ −3$ . Так как $m$ – целое, то подходит только $m = −3$ , при котором получаем корень $x =− 20π- 3$ .

Ответ:

а) $π + πk; − π +2πn; − 2π+ 2πm; k,n,m ∈ℤ 2 3 3$

б) $− 20π-; − 13π; − 19π- 3 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 336#98296Максимум баллов за задание: 7

Выясните, сколько корней имеет уравнение:

( sinx) ∘ ------------ 21x− 11+ 100 ⋅sin(6arcsinx)⋅ (π− 6x)(π+ x)=0.

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Произведение 3 чисел равняется нулю. Когда такое возможно?

Подсказка 2

Надо рассмотреть случай равенства каждого множителя нулю.

Подсказка 3

Не забывайте проверять выполнение ОДЗ для корня.

Показать ответ и решение

1) $∘ (π-− 6x)(π-+x)= 0⇐ ⇒ x= π;−π 6$ . Но так как $− π < −1$ , то для корня $x =− π$ не определен $arcsinx$ и только $x= π 6$ является корнем исходного уравнения.

2) $sin(6arcsinx)= 0⇐⇒ 6arcsinx= πk,k =0,±1,±2,±3$ . Но так как $π x ≤ 6$ , то корнями исходного уравнения будут только следующие числа: $√3 1 − 1,− 2 ,±2,0$ .

3) Рассмотрим уравнение $sinx 100 =11− 21x$ . На промежутках $(− ∞;0]$ и $[1;+ ∞)$ оно не имеет решений, так как на первом из них

sinx 100-< 1< 11 − 21x,

а на втором

sin-x> −1> 11− 21x. 100

На промежутке $(0;1)$ уравнение имеет единственное решение $x0$ , так как здесь левая часть — возрастающая функция, правая часть — убывающая и, кроме того, при $x= 0$

sinx-= 0< 11 =11− 21x, 100

а при $x= π 6$

sinx-= -1-> 11 − 3,5⋅3,1415> 11− 3,5π = 11− 21x 100 200

И соответственно получается, что $x0 < π6.$

Ответ: 7

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 337#101966Максимум баллов за задание: 7

Фигура на координатной плоскости состоит из точек $(x,y)$ , удовлетворяющих при любом $t∈ℝ$ двум неравенствам:

2 2 2 2 x + y <π +t , cosy <2+ cos2x +(4sint− 1)cosx− cos2t.

Найдите площадь этой фигуры.

Показать ответ и решение

Фигура, координаты точек которой удовлетворяют неравенству $x2+ y2 < π2+ t2$ при всех $t$ , представляет собой круг, заданный условием $2 2 2 x + y < π$ .

Преобразуем второе неравенство к виду

2 2 cosy < 2cos x+ 4cosxsint− cosx+ 2sin t

2 2(cosx +sin t) > cosy+ cosx

Из последнего неравенства следует, что $(x,y)$ удовлетворяющие этому неравенству при всех $t$ , это в точности $(x,y)$ удовлетворяющие неравенству

cosy+ cosx <0

2cosx-+y cosx-− y <0 2 2

Ввиду периодичности задачи по каждой переменной, выпишем решение последнего неравенства на периоде

⌊ { | cosx+2y> 0 || { cosx−2y< 0 |⌈ cosx+2y< 0 cosx−2y> 0

⌊ { | −x− π < y < −x +π || { x +π <y <x +3π. |⌈ − x+π < y < −x+ 3π x− π < y < x+ π.

Фигура, заданная этими неравенствами представляет собой два квадратика, а с учётом периодичности — “паркет” из квадратиков.

$PIC$

Пересечение круга с «паркетом квадратиков» состоит из четырех круговых сегментов, суммарную площадь которых проще искать как площадь дополнения к квадрату, заданному условием $|x|+ |y|≤ π$ , в круге $x2+ y2 ≤π2$ ). Поэтому искомая площадь равна $π3− 2π2$ .

Ответ:

$π3− 2π2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 338#38687Максимум баллов за задание: 7

Найдите все целочисленные решения уравнения

|| πx|| |arcsin(cos4)− 2|= 4.

Источники: Ломоносов-2012, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Имеем arcsin(cos(4)). Можно ли привести это выражение к более приятному виду.

Подсказка 2

Попробуйте превратить косинус в синус с помощью формул приведения.

Подсказка 3

cos(t) = sin(π/2 - t) = sin(π/2 + t) = sin(t - 3π/2).

Подсказка 4

Выходит, что arcsin(cos(4)) = 4 - 3π/2. Осталось только раскрыть модуль.

Показать ответ и решение

Поскольку $arcsincos4∈ [− π,π] 2 2$ , то $arcsin cos4= 4− 3π 2$ (пользуемся тем, что $cost= sin(π − t)= sin(t+ π)= sin(t− 3π) 2 2 2$ ). Тогда

||(3+ x)π || 3 +x 16 ||--2---− 4||=4 ⇐ ⇒ --2-π =0,8 ⇐⇒ x∈ {−3,π-− 3}

Ответ:

$− 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 339#48592Максимум баллов за задание: 7

Найдите все целочисленные решения уравнения

|| πx|| |arccossin 6− 2 |=6.

Источники: Ломоносов-2012, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно четко понять, чему равен этот арккосинус. Знаем, что нам приятнее взять арккосинус от косинуса, чем от синуса -> превратите синус в косинус!

Подсказка 2

Верно, получился cos(π/2 - 6). Причем мы понимаем, что cos(x) = cos(x + 2πk), k - любое целое число. Значит, когда будем брать арккосинус от этой штуки, мы получим именно π/2 - 6 + 2πk, причём k должно быть таким, что оно целое и заносит это выражение в рамки существования арккосинуса, то есть в [0; π]

Подсказка 3

Отлично, арккосинус превратился в 5π/2 - 6. Теперь раскроем модуль и найдем подходящее целое значение х.

Показать ответ и решение

Так как

5π 1) cos(arccos(sin6))= cos(2-− 6) по формуле приведения,

2) arccos(sin6)∈[0;π] в силу области значений арккосинуса,

5π 3) 2-− 6∈ [0;π] в силу эквивалентной оценки 5π ∈ [12;12 +2π]

то уравнение равносильно

|| || ||5π − 6 − πx ||=6 ⇐⇒ (5−-x)π ∈ {0;12} ⇐ ⇒ x ∈{5;5− 24-} 2 2 2 π

Нетрудно видеть, что целочисленным решением является только значение $x= 5.$

Ответ:

$5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 340#63559Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- sin3x= 2 cosx− sinx

Источники: ДВИ - 2012, вариант 1, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Синус тройного угла раскрывать не очень хочется (потом явно придется еще двойные раскрывать), так что вспоминаем формулу суммы синусов и пробуем применить её!

Подсказка 2

Получили уже что-то более приятное, только две функции остались различные! Стоит попробовать разложить на множители, раз уж один множитель в слагаемых одинаковый.

Подсказка 3

Вспоминаем, когда произведение двух множителей равно 0 и решаем базовые тригонометрические уравнения! Не пугайтесь двойного угла, можете заменить его на новую переменную y, чтобы было проще выписывать решения :)

Показать ответ и решение

Поскольку $sin3x+ sinx =2sin 2x cosx$ , то возможны два случая.

π cosx =0 =⇒ x= 2 +πn,n∈ ℤ

√ - √ - π πn 2= 2sin2x⇐⇒ sin2x = 1∕ 2=⇒ x= (−1)n-8 + 2-,n∈ ℤ

Ответ:

$π + πn,(−1)nπ+ πn, n ∈ℤ 2 8 2$

Следующая подтема