Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 341#71243Максимум баллов за задание: 7

Найдите суммарную длину отрезков, составляющих решение неравенства

|2sinx+ 3cosx|+ |sinx− 3cosx|≤ 3sinx

на отрезке $[0;4π].$

Источники: ПВГ-2012, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обратим свое внимание на то, что 3sin(x) ≥ какой-то положительной величины. Значит, мы можем сделать вывод о том, что sin(x) > 0. Обратите внимание на коэффициенты и подумайте, что хочется сделать с неравенством.

Подсказка 2

Давайте разделим правую и левую часть неравенства на 3sin(x). Тогда получим |2/3+ctg(x)|+|1/3-ctg(x)| ≤ 1. Воспользуйтесь модулями по определению. Какие значения может принимать котангенс в таком случае?

Подсказка 3

Рассмотрим модули как расстояния от ctg(x) до -2/3 и до 1/3. Сумма таких расстояний может быть <=1 только, если котангенс принимает значение из промежутка [-2/3; 1/3]. Осталось только найти какую часть тригонометрической окружности занимает котангенс с такими значениями(не забудьте про условие, что sin(x) ≥ 0)

Показать ответ и решение

Левая часть неравенства неотрицательна, поэтому и $sinx ≥0.$ Можно считать, что $sinx > 0$ , поскольку мы ищем только границы ограничений. Поделим неравенство на $3sinx$

||2 || ||1 || ||3 +ctg x||+ ||3 − ctgx||≤ 1

В первой скобке мы считаем расстояние от $ctgx$ до числа $− 23$ , а во второй — до $13$ . Когда же сумма этих расстояний не больше единицы? Нетрудно видеть, что при $ctg x∈[− 23,13] ⇐⇒ x∈ [arcctg 13 + 2πn,π − arcctg 23 + 2πn]$ (не забываем про условие $sinx≥ 0$ ). Мы рассматриваем два полноценных круга на тригонометрической окружности $[0,4π]$ , суммарная длина решений

( ) ( ( )) 2⋅ π− arcctg 2− arcctg 1 = 2⋅ π − arcctg − 7 = 2arcctg 7 3 3 9 9

Ответ:

$2arcctg 7 9$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 342#98295Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство:

( 2 ) 2arcsin(x+ 1)+arccos 3x +6x+ 2 < 0.

Источники: ПВГ 2012

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Арксинус и арккосинус — сами по себе не самые приятные в работе вещи, так у них еще и аргументы не самые стандартные. Сумму точно разглядывать не стоит — что можно сделать?

Подсказка 2

Как минимум, можно перенести, например, арксинус, вправо, чтобы сравнивать не страшную сумму с нулем, а два страшных выражения друг с другом. Может быть, можно хотя бы у одного из выражений что-то сделать, чтобы вышло получить более простое для анализа выражение?

Подсказка 3

Почему бы не сделать замену t=x+1? Тогда и первый, и второй аргументы будут выглядеть значительно проще, да и судить об их значениях будет приятнее. Какие значения может принимать t?

Подсказка 4

Есть ли какие-то значения t, при которых даже думать не нужно — решений просто 100% не будет?

Подсказка 5

Полезно вспомнить, какие значения могут принимать арксинус и арккосинус. Есть ли значения t, при которых значения арксинуса и арккосинуса однозначно лежат в разных частых окружности, а значит. и можно сразу сделать вывод о том, походят они или нет?

Подсказка 6

Теперь осталось проанализировать неотрицательные t. Какие значения принимают при них арксинус и арккосинус?

Подсказка 7

Вышел промежуток от 0 до пи. Как на нем ведут себя синус и косинус?

Подсказка 8

Синус как возрастает, так и убывает, а вот косинус — только убывает. Тогда может быть, мы можем как-то переделать наше неравенство так, чтобы получилось избавиться от арксинуса или арккосинуса?

Подсказка 9

Так как только косинус на нужном промежутке ведет себе однозначно, то давайте найдем косинусы от обеих частей неравенства! Если с левой частью все понятно, то как можно преобразовать правую часть?

Подсказка 10

Если представить arcsin(t) = p, то можно найти, чему равен чему равен cos(-2p). Осталось решить полученное неравенство и не забыть об ограничениях на аргументы аркфункций.

Показать ответ и решение

Делаем замену $t= x+ 1$ , переносим $2arcsint$ :

( 2 ) arccos 3t − 1 <− 2arcsint

При положительных $t$ , принадлежащих ОДЗ, неравенство неверно (слева неотрицательное число, справа — отрицательное).

При неположительных $t$ , принадлежащих ОДЗ, обе части лежат в отрезке $[0;π]$ , где $cos$ убывает. Соответственно, неравенство на множестве неположительных $t$ , с учетом ограничений на ОДЗ, имеет вид

2 2 1− 2t< 3t − 1 ≤1

2∕5< t2 ≤2∕3

t∈ [−∘2-∕3;−∘2-∕5)

[ ∘-- ∘ -) x∈ − 1− 2;−1 − 2 3 5

Ответ:

$[− 1− ∘ 2;−1− ∘-2) 3 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 343#64372Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2|x +2|cosx =x+ 2

Источники: ОММО-2011, номер 1, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется правую и левую часть равенства можно на что-то сократить. Но надо рассмотреть отдельно x = -2!

Подсказка 2

Если же x ≠ -2, то надо раскрывать модуль. Далее данное выражение можно сократить на (x - 2) и получить уже что-то весьма несложное.

Показать ответ и решение

Если $x =− 2$ , то равенство верно, иначе

$x +2> 0$
$1 π 2(x+ 2)cosx= x+ 2⇐ ⇒ cosx =2 ⇐⇒ x =± 3 + 2πn(n∈ℤ) >− 2$
Подходят $x= ± π+ 2πn,n ∈ℕ ∪{0} 3$ .
$x +2< 0$
$1 2π −2(x+ 2)cosx= x+ 2⇐⇒ cosx= −2 ⇐⇒ x =± 3-+ 2πn(n ∈ℤ)< −2$
Здесь подойдут $x = 2π-− 2πn,n∈ ℕ 3$ , а также $x= − 2π− 2πn,n ∈ℕ ∪{0} 3$ .

Ответ:

${−2;π;− π;− 2π} ∪{±π +2πn,n∈ ℕ}∪ {± 2π− 2πn,n ∈ℕ} 3 3 3 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 344#80647Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму

sin π sin2π sin 3π- sin2021π --23 +--232-+ -233-+ ...+ -220231-.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, подумаем про периодичность синуса...Ведь мы можем разделить всё наше выражение на 6 групп, в каждой из которых синус будет давать одинаковые значения.

Подсказка 2

Что же делать теперь? Увидеть геометрическую прогрессию! Воспользоваться формулой и не перепутать табличные тригонометрические значения.

Показать ответ и решение

С учетом периодичности синуса сумму можно сгруппировать по 6. Тогда получим следующее:

sin π sin 2π sin(2021π) --23 +--232-+ ...+ --220231-- =

( √- √- √ - √ - ) = -3⋅ 1 +-3⋅-1 +0⋅-1 −--3⋅-1− --3⋅ 1-+ 0⋅ 1 + 2 2 2 22 23 2 24 2 25 26

(√- √- √- √ - ) + -3-⋅ 17 +-3-⋅ 18-+0 ⋅ 19-−-3⋅-110 −-3⋅-111 + 0⋅ 112 + ...+ 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2

( √3 1 √3 1 1 √3 1 √3 1 1 ) + 2-⋅ 22011-+ 2-⋅22012 +0 ⋅22013-− 2-⋅22014 − 2-⋅22015 +0⋅ 22016- +

( √- √- √- √- ) + -3-⋅-1--+ -3-⋅-1--+ 0⋅-1--− -3-⋅-1--− -3-⋅-1-- + = 2 22017 2 22018 22019 2 22020 2 22021

√- ( ) √-( ) = -3- 1 +-12 −-14 − 15- + -3- 17 + 18 −-110-− 111 +...+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

√- √- = -3-(-1--+ --1-− --1- −--1-) + -3( -1--+ -1--− -1--− --1-) = 2 22011 22012 22014 22015 2 22017 22018 22020 22021

21√3-( 1 1 1 1 1 ) = -2-- 25 +211 + ...+ 22009 + 22015 + 22021 =

√- 1-( ( 1-)337) √- 21-3 25-1−--26-----= 21-3(1 − -1--) 2 1− 126 26 − 1 22022

Ответ:

$21√3(1−--1-) 26−1 22022$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 345#85177Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin7xcosx−-sin5xcos3x cos2x− sin2x =0

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Итак, на первый взгляд не очень понятно, что делать с произведениями синуса на косинус. А если вспомнить формулу? Да давайте представим неудобное произведение в качестве приятный суммы синусов, может у нас даже что-то сократится. Действительно, sin(6x) сократился. Получаем в числителе sin(2x)4x.

Подсказка 2.

Кажется, мы можем уже дорешать задачу. Однако не спешим. Можно ещё сильнее упростить наше уравнение. Представим cos(4x) как (cos(2x) - sin(2x))(cos(2x) + sin(2x)). Ну, дальше уже сами... Мы получили незамысловатую дробь, числитель который должен равняться 0, а знаменатель не должен.

Показать ответ и решение

По формулам

1 sin 7x cosx= 2(sin8x+ sin6x)

1 sin5xcos3x = 2(sin8x +sin 2x)

уравнение равносильно

-sin6x−-sin2x-= -sin2xcos4x-= 0 2(cos2x− sin2x) cos2x− sin2x

Так как $cos4x= (cos2x− sin2x)(cos2x+ sin2x)$ , то получаем

sin2x⋅(cos2x−-sin2x)(cos2x+sin2x)- cos2x− sin2x =0

Что равносильно системе

{ sin2x(cos2x+ sin2x)=0 cos2x− sin2x⁄= 0

( [ |{ sin2x= 0 |( cos2x+ sin2x= 0 cos2x − sin2x ⁄=0

Если $sin2x= 0$ , то $πn x= 2 ,n ∈ℤ$ , причём $n cos2x− sin2x= (− 1) ⁄= 0$ , т. е. это решения.

Если $cos2x+ sin2x =0$ , то $cos2x⁄= 0$ (иначе $sin 2x =±1$ и равенство нулю невозможно). Поделив на $cos2x$ , получим $tg 2x =− 1$ , т. е. $π πn x= − 8 + 2$ . При этом $cos2x− sin2x= 2cos2x ⁄=0$ , т. е. это решения.

Ответ:

$πn, − π + πn, n∈ ℤ 2 8 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 346#88272Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4 3 2sin x+ 7cos x= 2.

Источники: Вступительные испытания в МГУ - 2010

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что в двух слагаемых есть множитель 2. А что если его вынести и как-то преобразовать?

Подсказка 2

Формула разности квадратов и ОТТ помогут нам. Как можно преобразовать выражение дальше? Каким является полученное уравнение?

Подсказка 3

Видим, что в обеих частях уравнения есть cos(x), поэтому или он 0, или мы можем на cos²(x) поделить — получим квадратное уравнение относительно cos(x), которое несложно решить ;)

Показать ответ и решение

По формуле разности квадратов и основному тригонометрическому тождеству уравнение эквивалентно

3 2 2 7cosx = 2(1+ sin x)cos x

Отсюда $cosx = 0$ или

2 7cosx =2(2− cos x)

2cos2x+ 7cosx− 4 =0

cosx= −7±-9 4

cosx= 1 2

То есть $x= ±π +2πn,n∈ ℤ 2$ или

x= ±π + 2πn,n ∈ℤ 3

Ответ:

$± π + 2πn,± π+ 2πn,n ∈ℤ 2 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 347#101967Максимум баллов за задание: 7

Найдите минимальное натуральное число $n$ , при котором система неравенств

( 1) ( 2) ( n ) cosx≥ cos x + 8 ≥ cos x + 8 ≥ ...≥ cos x + 8

не имеет решений.

Источники: ПВГ 2010

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если внимательно посмотреть, то можно заметить некоторую закономерность. А что можно сделать в таком случае?

Подсказка 2

Отличной идеей будет решить неравенство относительно двух соседних косинусов в общем виде.

Подсказка 3

Возьмем k/8 и k+1/8. Как же такое решать?

Подсказка 4

Можно, конечно, попробовать сравнить косинусы на окружности и подобрать как-то подходящие значения, но переменная есть там и там — будет весьма неприятно. Что можно сделать с двумя косинусами, чтобы результат вышел более однозначный?

Подсказка 5

Есть ли какая-то формула, которая поможет сделать из разности произведение?

Подсказка 6

Разность косинусов! Тем более, если ей воспользоваться, от х останется зависеть только одна тригонометрическая функция.

Подсказка 7

Если система имеет решение, то будет выполняться для любого значения k из допустимых. Какое значение стоит взять за ориентир?

Подсказка 8

k=0 — самый простой и приятный вариант. И если при нём решения есть, то каким должно стать k, чтобы синус из нашего неравенства стал отрицательным?

Подсказка 9

Не забудьте, что у нас были взяты k и k+1, то есть n=k+1.

Показать ответ и решение

Запишем неравенство соседних косинусов в общем виде и решим его:

( k) ( k+-1) cos x+ 8 ≥ cos x+ 8

По формуле разности косинусов получим

( ) ( ) 2sin x + 2k+-1 sin -1 ≥0 16 16

Откуда

( ) sin x+ -1+ k ≥ 0 16 8

Если $( 1-) sin x+ 16 ≥ 0$ — решение, тогда, при $k 8 > π$

( 1 k) sin x+ 16 + 8 < 0

Найдем минимальное значение $k,$ при котором неравенство выполняется:

k> 8π > 3,14⋅8= 25,12

Следовательно, $k= 26$ . Так как $n= k+ 1,$ то минимальное значение $n = 27.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 348#32374Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- || 4x|| 2+ cosx = ||cos3 ||sinx.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте воспользоваться тем, что справа находится модуль.

Подсказка 2

Что, если sin(x) < 0?

Подсказка 3

Докажите, что тогда равенство невозможно и надо рассматривать случаи, когда sin(x) ≥ 0.

Подсказка 4

Попробуйте оценить разность тригонометрических функций.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если $sinx <0$ , то равенство невозможно (область значений косинуса), потому $|| 4x|| sinx ≥ cos 3 sinx ≥0$ , откуда

√- || 4x || √- 2 =||cos3-||sinx− cosx≤ sinx − cosx= 2sin(x− π∕4)

Отсюда $sin(x− π∕4)= 1$ и $| | |cos4x3|= 1$ , то есть $x = 3π4-+ πk$ . Вспомним, что $sinx≥ 0$ , то есть $x = 3π4-+2πk$ . Далее $( ) cos4x3 = cosπ + 83πk ± 1$ . Отсюда $. k..3$ и ответ $x= 34π+ 6πk,k∈ ℤ$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

| | √2= |||cos4x|||sinx − cosx≤ |sin x|− cosx ≤|sinx|+ |cosx| 3

Если $a= |sinx|, b= |cosx|$ , то $(a+b)2 = a2+b2+ 2ab ≤2a2+ 2b2 = 2$ . Значит,

√ - ||| 4x||| √- 2= |cos3 |sinx− cosx≤ sinx − cosx≤ |sin x|+ |cosx|≤ 2

Значит, все неравенства становятся равенствами.

Значит, $2 2 a +b = 2ab$ , $− cosx= |cosx|$ и $| 4x| |cos3-|sinx= |sinx|$

Итого: $sinx = 1√2$ , $cosx= −√12$ , $cos4x3 = ±1$ . Это равносильно задаче. Осталось посчитать $x$ . Из первых 2 условия $x = 3π4-+2πk$ . Тогда $( ) cos4x3 = cosπ + 83πk ± 1$ . Отсюда $. k..3$ и ответ $x= 34π+ 6πk$ .

Ответ:

$3π +6πk,k∈ ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 349#83947Максимум баллов за задание: 7

Найдите $sin 2α$ , если известно, что $sinα +cosα= 1,3$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

sin(2α) = 2sinα*cosα. На что намекает выражение вида 2ab?

Подсказка 2

Наверное, чаще всего мы видим это, когда раскрываем по формула сокращённого умножения выражение (а+b)². Попробуем как-то это связать?

Подсказка 3

Хотим получить 2sinα*cosα. Значит, возведём в квадрат (cosα + sinα). Останется сделать совсем немного. Успехов!

Показать ответ и решение

Возведём данное нам равенство в квадрат

2 2 (sinα+ cosα) = (1,3)

2 2 sin α+ 2sinαcosα+ cos α =1,69

Воспользуемся формулой синуса двойного угла и тригонометрической единицей, получим

sin2α =1,69− 1= 0,69

Ответ: 0,69

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 350#106962Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что при $k> 10$ в произведении

k f(x)= cos(x)cos(2x)cos(3x)...cos(2 x)

можно заменить один $cos$ на $sin$ так, что получится функция $f1(x),$ удовлетворяющая при всех действительных $x$ неравенству $|f1(x)|≤ -3--. 2k+1$

Источники: Всеросс., 2007, ЗЭ, 11.1(см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Заметим, что

| 3 | | 2 | |sin3x|= |3sinx − 4sin x|= |3− 4sinx||sinx|≤ 3|sinx|

Поэтому для функции $f, 1$ полученной из $f$ заменой $cos3x$ на $sin 3x,$ выполняется неравенство

|| k|| |f1(x)|≤ 3|sin x||cosx||cos2x||cos4x||cos8x|...|cos2x|

(Мы опустили все множители $|cosnx|,$ в которых $n> 3$ и не является степенью двойки; каждый из этих множителей не превосходит $1.)$ Утверждение задачи теперь следует из тождества

sinxcosxcos2xcos4xcos8x...cos2kx= 2−k−1sin2k+1x

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 351#114272Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

2004 2006 2006 4(1− tgx) + (1 +tgx) ≥2 .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

При каких значениях тангенса можно сразу сказать, верно ли неравенство?

Подсказка 2

Со значениями тангенса, по модулю превосходящими 1, в целом всё понятно. А что, если это не так? Давайте преобразуем левую часть при -1 < tg(x) < 1.

Подсказка 3

Вынесите в левой части 2²⁰⁰⁶ за скобки.

Подсказка 4

Как можно оценить сумму дробей в скобках?

Показать ответ и решение

Неравенство

2004 2006 2006 4(1− t) + (1 +t) ≥2 ,

где $t= tgx,$ выполняется при $t≥ 1,$ так как

2004 2006 2006 2006 4(1− t) +(1+ t) ≥ (1 +t) ≥2

и при $t≤ −1,$ так как

2004 2006 2004 2006 4(1− t) + (1 +t) ≥4(1− t) ≥ 2

При $− 1< t< 1$ имеем

( ) 2004 2006 2006 (1−-t)2004 (1+-t)2006 4(1− t) + (1+ t) =2 2 + 2 <

( ) < 22006 1− t-+ 1-+t =22006, 2 2

поскольку $0< 1−t< 1 2$ и $0 < 1+t-<1. 2$

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству

|tgx|≥ 1,

откуда

⌊ π+ πk≤ x< π +πk, k∈ℤ |⌈ 4π 2 π −2 +πn <x ≤− 4 + πn, n ∈ℤ

Ответ:

$π + πk≤ x< π+ πk, − π+ πn< x≤ − π+ πn, k,n∈ ℤ 4 2 2 4$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 352#46603Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2x− 1 π arctg x +arcsinx= 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно ли избавиться от π/2?

Подсказка 2

Воспользуйтесь формулами приведения для одной из аркфункций.

Подсказка 3

Можно применить к обеим частям уравнения косинус или тангенс, но кажется, что работать с такой вещью будет неудобно... А может ли нам помочь какая-то тригонометрическая формула?

Подсказка 4

Вспомните формулу квадрата тангенса.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

2x−-1 arctg x =arccosx

С учётом формулы

1− cos2(arccosx) 1 − x2 tg2(arccosx)= --cos2(arccosx)-= --x2-

получаем уравнение-следствие:

√----- 2x−-1= -1-− x2 x x

На ОДЗ $0< |x|≤ 1$ можно домножить на знаменатель и возвести в квадрат:

2 2 4x − 4x+ 1= 1− x

x = 4 5

Теперь обязательно надо проверить, что найденное значение подходит в исходное уравнение:

245 −-1 4 arctg 45 = arccos 5?

arctg 34 =arccos45 =arcsin35 ∈ (− π2;π2)

Ответ:

$4 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 353#51605Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

3+-cos4x-− 8cos4-x -1-- 4(cosx+ sinx) = sinx.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первым делом хотелось бы избавиться от четвёртой степени. Каким образом можно при помощи преобразований свести степень к линейному виду какой-то тригонометрической функции?

Подсказка 2

Например, через формулу косинуса двойного угла! Как тогда преобразуется числитель?

Подсказка 3

Супер, в числителе осталось только -cos(2x)! А как можно преобразовать его, чтобы связать со знаменателем?

Подсказка 4

Косинус двойного угла — это разность квадратов! Тогда многое сократится и останется несложное уравнение ;)

Показать ответ и решение

Выразим четвёртую степень косинуса через двойные углы

4 2 ( 1+-cos4x) 8cos x= 2(1+ cos2x) = 2 1+ 2cos2x+ 2 = 3+4cos2x+ cos4x

откуда исходное уравнение равносильно уравнению

− --cos2x---= -1-- sinx+ cosx sinx

Используя формулу $cos2x= (cosx+ sinx)(cosx− sinx)$ и учитывая, что $sinx ⁄=0$ , $sinx+ cosx⁄= 0,$ преобразуем уравнение:

sinx− cosx =--1- ⇐⇒ sin2x− cosx sinx= 1 ⇐⇒ sinx

2 1− cos x− cosxsinx =1 ⇐ ⇒ cosx(sin x+cosx)= 0

откуда $cosx= 0 ⇐⇒ x= π2 +πn$ .

Ответ:

$π + πn,n ∈ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 354#78856Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

2 2 cos2x- sin 2x+ sin 4x= 1− cos3x

Источники: Вступительные в МФТИ - 2002 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Согласитесь, неудобно работать с синусами и косинусами от разных аргументов, так еще и в разных степенях. Подумайте, с помощью какой формулы можно избавиться сразу и от синусов, и от квадратов?

Подсказка 2

Давайте понизим степень у синусов и сложим две полученные дроби. Тогда после приведения подобных мы слева получили сумму косинусов, а справа произведение, так еще и аргументы у них у всех разные. Какой формулой можно облегчить своё положение? Обратите внимание, что (8x-4x)/2=2x.

Подсказка 3

Давайте в левой части уравнения преобразуем сумму в произведение, теперь наше уравнение приобрело следующий вид: cos(6x)2x = cos(2x)/cos(3x). Что можно дальше сделать с ним?

Подсказка 4

Приведем всё к одному знаменателю и вынесем общий множитель. Получаем совокупность уравнений cos(2x) = 0; cos(3x)cos(6x) = 1. С первым всё понятно, а в каком случае второе уравнение будет иметь решения?

Подсказка 5

Вспомним, что функция косинуса принимает значения от -1 до 1, а значит, произведение косинусов может быть равно 1 в крайне редких случаях.

Показать ответ и решение

По формуле понижения степени получаем

1− cos4x 1−-cos8x cos2x 2 + 2 =1− cos3x

cos4x+ cos8x cos2x -----2-----= cos3x-

По формуле суммы косинусов получаем

cos6xcos2x = cos2x- cos3x

cos2x(cos3x⋅cos6x − 1)= 0, cos3x⁄= 0

Уравнение $cos2x = 0$ имеет корни

x= π + πn ,n ∈ℤ 4 2

а, уравнение $cos3xcos6x =1$ по методу оценки имеет корни только в случае $|cos3x|= 1.$

Если $|cos3x|= 1,$ то $cos6x= 2cos23x− 1= 1$ и поэтому

cos3xcos6x =1

будет равносильно

cos3x =1

2πn x= -3-,n∈ ℤ

Ответ:

$π + πn, 2πn, n ∈ℤ 4 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 355#51604Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

sin27x cos27x sin2x = 16cos4x(1+ 2cos4x)+ cos2x .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте похожие слагаемые перенесём в одну часть. Чему равна разность дробей? Приведём к общему знаменателю!

Подсказка 2

После приведения к общему знаменателю в числителе появится разность квадратов. А что получится внутри каждой скобки после разложения?)

Подсказка 3

В числителе образуется произведение синусов двойных углов, которые также можно расписать в произведение. Теперь хочется некоторую часть числителя преобразовать так, чтобы получить что-то похожее на скобку из правой части уравнения.

Подсказка 4

Попробуйте расписать cos(6x)cos(2x).

Подсказка 4

cos(6x)cos(2x) = sin(2x)cos(2x)(1+2cos(4x)). Тогда можно подставить это в числитель нашей дроби и сократить всё, что можно! Останется несложное уравнение на косинусы ;)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $sin2x⁄= 0$ . Воспользуемся равенствами

sin27x cos2-7x sin8xsin6x- 16cos4xsin2xcos2xsin6x sin2 x − cos2x = sin2xcos2x = sin22x

1 1 cos2xsin6x= 2(sin8x+ sin4x)= 2sin 4x(1+ 2cos4x)= sin2xcos2x(1+ 2cos4x)

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

2 16cos4x-sin-2xco2s2x(1-+2cos4x)= 16cos4x(1+ 2cos4x) sin 2x

Это уравнение на ОДЗ равносильно уравнению

cos4x(1+2cos4x)cos2x= cos4x(1+2cos4x)

а уравнение это равносильно совокупности уравнений

⌊ cos4x= 0 |⌈ cos4x= − 12 cos2x= 1

Первые два уравнения имеют корни $x= π8 + π4n,$ $n∈ ℤ$ и $x= ±π6 + πn2-,$ $n∈ ℤ$ и эти корни удовлетворяют ОДЗ, а из последнего следует, что $sin2x= 0$ .

Ответ:

$π + πn,± π+ πn, n∈ ℤ 8 4 6 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 356#80044Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

---sinx--- ---sinx--- cos2xcos3x + cos3xcos4x = sin4x− tg 2x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на то, что в числителях аргумент синуса есть разность аргументов косинуса;) В какой формуле такое присутствует?

Подсказка 2

Вспоминаем формулу разности тангенсов!

Подсказка 3

sin(a-b)/cos(a)cos(b) = tg(a) - tg(b).Во что превратится наше выражение после преобразований?

Подсказка 4

tg(4x) = sin(4x). Когда такое возможно?

Подсказка 4

Распишите тангенс по определению и перенесите всё в одну часть! Полученную совокупность несложно решить:)

Показать ответ и решение

Используя формулу $sin(α−β)-= tgα − tgβ, cosαcosβ$ преобразуем исходное уравнение в виду

tg 3x − tg2x+ tg4x− tg3x= sin4x− tg2x

Область допустимых значений $x$ определяется условиями

cos2x ⁄=0,cos3x ⁄=0,cos4x⁄= 0

а при на ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению

tg4x =sin 4x

Уравнение равносильно совокупности уравнений

sin4x= 0 cos4x =1

причем все корни уравнения ворого содержатся среди корней уравнения первого. Из первого следует, что либо $sinx= 0,$ и тогда $x =πn,$ $n ∈ℤ,$ либо $cosx= 0$ (и тогда $cos3x= 0),$ либо $cos2x= 0$

Ответ:

$πn$ , $n ∈ℤ$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 357#51603Максимум баллов за задание: 7

Решить систему уравнений

{ 6sinxcosy+ 2cosxsin y = −3; 5sinxcosy− 3cosxsin y = 1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнениях слишком много повторяющихся слагаемых ;) давайте тогда сделаем замену, после чего придём к несложной и решаемой системе!

Подсказка 2

Сделайте замену u = sin(x)cos(y), v = cos(x)sin(y). Какие будут u и v в решении?

Подсказка 3

Отлично, теперь нужно сделать обратную замену! А в каких выражениях или формулах встречаются такие u и v?)

Подсказка 4

Попробуйте свести систему к системе на синус суммы и разности!

Показать ответ и решение

Полагая $sinx cosy = u,$ $cosxsiny =v,$ получаем систему уравнений

{ 6u+ 2v = −3 5u− 3v = 1

откуда $u =− 1,v =− 3 4 4$ . Исходная система равносильна каждой из следующих систем:

{ sinxcosy = − 1, { sin(x +y)= −1 cosxsiny = −4 3, sin(x − y)= 1 4 2

Откуда уже тривиально выписываются решения.

Ответ:

$x =− π+ (−1)k-π+ πk+ πn 4 12 2$ ,

$π k+1-π πk y = −4 + (−1) 12 − 2 + πn,$

$k∈ℤ,n ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 358#78855Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

√ -------------- √- 4+3cosx− cos2x= 6 sinx

Источники: Вступительные в МФТИ - 1996 (см. olymp.mipt.ru))

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте запишем, что правая часть нашего уравнения неотрицательна, и возведем обе части в квадрат.

Подсказка 2

cos(2x) и sin²x легко можно выразить через cos(x), а дальше решить уравнение как квадратное. Когда получите корни, не забудьте про ограничение.

Показать ответ и решение

Возведем в квадрат обе части при условии $sinx ≥0 :$

2 4+ 3cosx− cos2x= 6sin x

4+ 3cosx− 2cos2x +1= 6− 6cos2x

4cos2x+ 3cosx− 1 =0

Из последнего уравнения получаем, что $1 cosx= −1, cosx = 4.$ Отсюда получаем серию:

⌊ | x= π+ 2πk,k∈ ℤ ⌈ x= arccos1 +2πk, k ∈ℤ 4

Найденные корни удовлетворяют условию $sinx ≥0.$

Ответ:

$π +2πk, arccos1+ 2πk, k∈ ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 359#78852Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

sin 3x +|sinx|= sin2x

Источники: Вступительные в МФТИ - 1993 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так-с, видим модуль, поэтому первое, что стоит сделать - рассмотреть два случая!

Подсказка 2

Если синус положительный, то можно применить формулу суммы синусов! И дальше получится уравнение, которое решить уже не так и сложно! Теперь разберёмся, когда синус отрицательный!

Подсказка 3

Да, если синус отрицательный, то теперь просто применим формулу разности синусов! И также получим, несложное уравнения, для которого точно сможем найти совокупность решений!

Подсказка 4

И в каждом из случаев - не забывайте про ограничение на синус!

Показать ответ и решение

Рассмотрим два случая (1) $sinx> 0,$ (2) $sinx ≤0$

(1) При $sin x> 0:$

sin3x+ sinx= sin2x

2sin2xcosx= sin2x

sin2x(2cosx− 1)=0

откуда $sin2x = 0,$ либо $2cosx− 1= 0.$ Отсюда получаем серии:

⌊ πn | x = 2-,n ∈ℤ || π ||| x = 3 + 2πn,n ∈ℤ ⌈ 5π x = 3-+ 2πn, n∈ ℤ

С учетом неравенства $sinx≥ 0$ получаем следующие ответы:

⌊ π | x= 2 +2πn,n∈ ℤ |⌈ π x= 3 +2πn, n ∈ℤ

(2) При $sin x≤ 0:$

sin3x− sinx= sin2x

2cos2x sinx= 2sinxcosx

sinx(cos2x− cosx)= 0

откуда $sinx= 0,$ либо $cos2x− cosx = 0.$ Отсюда получаем серии:

⌊ x= πn,n∈ ℤ || 2πn ||⌈ x= 3 +2πn,n∈ ℤ x= 2πn, n ∈ℤ

Объединяя решения последней совокупности с учетом неравенства $sin x≤ 0,$ получаем следующие ответы:

⌊ x =πn, ⌈ x = 4π-+ 2πn, n∈ ℤ 3

Объединяя ответы из (1) и (2) получаем следующие ответы:

⌊ x= πn, || x= π + 2πn, || 2 ⌈ x= π + πn, n∈ ℤ 3

Ответ:

$πn, π + 2πn, π+ πn, n∈ ℤ 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 360#78853Максимум баллов за задание: 7

Найти все решения уравнения

---sin6x-- --cos6x--- sinx+ cosx = cosx− sinx,

принадлежащие интервалу $π (0;2)$ .

Источники: Вступительные в МФТИ - 1993 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Знаменатели в тригонометрии — очень неудобная вещь. Что поможет от них избавиться?

Подсказка 2

Верно, приведём к общему знаменателю и перенесём в одну сторону! Тогда у нас будет условие, что числитель равен нулю, и ОДЗ, чтобы знаменатель не обращался в ноль!

Подсказка 3

Для того, чтобы разобраться с числителем, примените формулы синуса разности и косинуса разности! Какое уравнение тогда получим в числителе?

Подсказка 4

Верно, получаем, что tg(5x) = 1, дальше остаётся аккуратно решить уравнение и проверить ОДЗ!

Показать ответ и решение

Исходному будет равносильно уравнение