Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#126174Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 3 3 ) 2 sin x− cos x + cosx − sinx =0.

Показать ответ и решение

По формулам сокращенного умножения

3 3 2 2 sin (x)− cos (x)= (sin(x)− cos(x))⋅(sin(x)+ sin(x)cos(x)+cos(x))

Так как $sin2(x)+cos2(x)= 1,$ получаем

3 3 sin(x)− cos(x)= (sin(x)− cos(x))⋅(1+ sin(x)cos(x))

Исходное уравнение примет вид

(sin(x)− cos(x))(2+2 sin(x)cos(x))− (sin(x)− cos(x))= 0

(sin(x)− cos(x))(1+2sin(x)cos(x))= 0

(sin(x)− cos(x))(1+ sin(2x))= 0

1) $sin(x)= cos(x):$

x= π4 +πn,n ∈ℤ

2) $sin(2x)= −1:$

2x = 3π+ 2πn,n ∈ℤ 2

x = 3π+ πn,n ∈ℤ 4

Ответ:

$x = π+ πn, 4$ $3π+ πn, 4$ $n∈ ℤ$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#127829Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 ctg2x+ 3tg3x= 2tgx + sin4x.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| sin2x⁄= 0 ||||| |{ cos3x⁄= 0 ||| cosx⁄= 0 ||||( sin4x⁄= 0

( π π |{ x ⁄= 6 + 3k,k∈ ℤ |( π x ⁄= 4t,t∈ ℤ

Заметим, что

2 1 cos2x sin4x − ctg2x = sin2xcos2x-−sin2x = tg2x

Поэтому можно переписать уравнение в виде:

3(tg 3x − tgx)= tg2x − tgx

Сначала преобразуем скобку в левой части уравнения с помощью формулы синуса разности:

sin3x- sinx- sin3xcosx−-sinxcos3x- --sin2x-- tg3x− tgx = cos3x − cosx = cos3xcosx = cos3xcosx

Теперь преобразуем отдельно правую часть тоже с помощью формулы синуса разности:

sin2x sinx sin2xcosx− sinxcos2x sinx tg2x− tgx = cos2x − cosx =---cos2xcosx-----= cos2xcosx

Таким образом, уравнение принимает вид:

--3sin2x- = --sinx--- cos3xcosx cosxcos2x

Учитывая ОДЗ и используя формулу синуса двойного угла, получаем:

3sin2xcos2x = sinxcos3x

6cosx cos2x= cos3x

6cosxcos2x = cosx(2cos2x− 1)

cosx(4cos2x+ 1)= 0

Учтем ОДЗ и получим, что

1 cos2x =− 4

1 ( 1) x = ±2arccos − 4 + πn,n∈ℤ

Ответ:

$± 1 arccos( − 1) +πn,n∈ ℤ 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#130312Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

-1--- --12- ---12--- --3- cos2x + sin22x +sin xsin2x = sin2x

Источники: ДВИ - 2025, вариант 253, задача 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу избавляется от двойных углов и от знаменателя (однако помним, что у нас есть ограничение – знаменатель не должен быть равен нулю). Как стоит преобразовать данное уравнение для удобства?

Подсказка 2

Сделайте так, чтобы в уравнении остался только один вид тригонометрической функции.

Подсказка 3

Воспользуйтесь ОТТ, чтобы получить квадратное уравнение относительно косинуса! Теперь просто решаем его и делаем обратную замену.

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

-1--- ----3---- ---6---- --3- cos2x + sin2x cos2x + sin2xcosx = sin2x

Перенесем все в одну сторону и умножим уравнение на $2 2 sin xcosx:$

sin2x+ 3+ 6cosx− 3cos2x =0

2 4+ 6cosx− 4cosx =0

2cos2x− 3cosx− 2 =0

Сделаем замену $t= cosx:$

2t2− 3t− 2 =0

3± 5 1 t1,2 =-4--= −2;2

Так как $t$ не может быть больше 1, то

t= − 1 2

cosx= − 1 2

2π x =± 3 + 2πk, k∈ ℤ

Заметим, что данная серия не зануляет знаменателей в исходном уравнении, так что эта серия и является ответом.

Ответ:

$± 2π +2πk, k ∈ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#130321Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- 2 2 √- 3⋅(sin x⋅tgx+ cos x⋅ctgx)= 4− 3⋅sin2x

Источники: ДВИ - 2025, вариант 252, задача 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С тангенсами и котангенсами не очень приятно работать, так что давайте перейдем к более простым функциям! И, конечно, не забудем записать ОДЗ.

Подсказка 2

Обычно мы переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и пытаемся увидеть там что-то хорошее – давайте и тут поступим так же, правда, в этот раз искать нужно вовсе не разложение на множители...

Подсказка 3

Если внимательно посмотреть на полученный числитель, то какая-то его часть свернется в квадрат суммы, а для суммы можно будет использовать ОТТ! После такого преобразования уравнение становится совсем простым, из него можно найти sin(2x), а отсюда уже и искомую переменную.

Показать ответ и решение

Наличие в выражении тангенса и котангенса обязывает нас иметь в виду ограничения:

{ sin(x)⁄= 0 cos(x)⁄= 0

Перепишем тангенс и котангенс по определению и приведём выражение к общему знаменателю:

√ - sin4(x)+-cos4(x)- √- 3⋅ sin(x)⋅cos(x) = 4− 2 3⋅sin(x)⋅cos(x)

√- sin4(x)+2sin2(x)⋅cos2(x)+ cos4(x) 3⋅---------sin(x)⋅cos(x)-------- =4

√3 ⋅ (sin2(x)+cos2(x))2= 4 sin(x)⋅cos(x)

2sin(2x)=√3-

Таким образом:

⌊ π | 2x= 3 + 2πk |⌈ 2π ,k∈ ℤ 2x= -3 +2πk

⌊ π | x = 6 + πk ⌈ π ,k∈ℤ x = 3 + πk

Ответ:

$π + πk, 6$ $π+ πk, 3$ $k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#130836Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin3x(cosx− cos2x)− cos3x(sinx− sin2x)= 6cosx− 3

Источники: ДВИ - 2025, вариант 254, задача 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала просто раскроем скобки.

Подсказка 2

Можно ли здесь заметить какие-то тригонометрические формулы?

Подсказка 3

Попробуйте увидеть синус разности.

Подсказка 4

Осталось просто дорешать уравнение, воспользовавшись формулой двойного угла и представив наше уравнение в виде произведения двух скобок.

Показать ответ и решение

Раскроем скобки в левой части уравнения:

sin3xcosx− sin 3x cos2x− cos3xsinx +cos3xsin2x= 6cosx − 3

Перегруппируем слагаемые и воспользуемся формулой синуса разности:

(sin3xcosx− sinxcos3x)+ (sin2xcos3x− sin3xcos2x)= 6cosx− 3

sin (3x− x)+sin (2x− 3x)=6 cosx− 3

sin2x− sinx− 6cosx +3 =0

Распишем синус двойного угла и разложим выражение на множители:

2sinxcosx− sinx− 6cosx +3 =0

(sinx− 3)(2cosx− 1)= 0

Так как $− 1≤ sinx ≤1$ и $sin x− 3⁄=0,$ поделим уравнение на эту ненулевую скобку.

2cosx− 1= 0

1 cosx= 2

π x= ±3 +2πn; n ∈ℤ

Ответ:

$± π + 2πn; n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#131019Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

(1−-tg2x)(1+-sin2x) 2 (1+ tg2x)(1− sin2x) = 3+ 2sin2x− 2sin x

Источники: ДВИ - 2025, вариант 255, задача 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начинаем с ОДЗ перед преобразованием и пробуем упростить выражение (1 - tg²(x))/(1+tg²(x)).

Подсказка 2

Для упрощения используем выражения тангенса через синус и косинус. Что теперь получилось в левой части?

Подсказка 3

В левой части будет cos(2x)⋅(1+sin(2x))/(1-sin(2x)). Перейдем к правой части. Попробуйте применить формулу понижения степени.

Подсказка 4

Справа будет следующее выражение: 2+2sin(2x)+cos(2x). С дробями работать неудобно, домножим обе части уравнения на (1-sin(2x)).

Подсказка 5

Осталось раскрыть скобки, получим произведение двух множителей, равное нулю. Расписываем два случая и помним про ОДЗ.

Показать ответ и решение

Сначала определим ОДЗ. Тангенс определен, если $cosx ⁄=0,$ то есть $x⁄= π +πk,k∈ ℤ. 2$ Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Так как

2 1 1+tg x= cos2x-⁄= 0

при $cosx ⁄= 0,$ то второе условие: $1− sin2x⁄= 0.$ Отсюда $sin2x⁄= 1,$ то есть

π 2x ⁄= 2 + 2πk

Теперь преобразуем обе части уравнения.

Начнем с левой части. Воспользуемся известными тригонометрическими тождествами:

2 1− sin2x- cos2-x− sin2x 11−+-ttgg2-xx =---csoins22xx-= cos2coxs2+sxin2x-= cos12x-= cos2x 1+ cos2x- ---cos2-x---

Тогда левая часть уравнения принимает вид:

cos2x ⋅ 1+-sin2x 1− sin2x

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу понижения степени $2sin2x =1 − cos2x$ :

3+ 2sin2x− 2sin2x= 3+ 2sin2x− (1 − cos2x)= 2+ 2sin2x+ cos2x

Приравняем преобразованные части с учетом ОДЗ:

cos2x ⋅ 11+−s siinn22xx = 2+ 2sin2x+ cos2x

Домножим обе части на $(1− sin2x) ⁄=0$ :

cos2x(1 +sin 2x)= (2+2 sin2x+cos2x)(1− sin2x)

Раскроем скобки:

cos2x+ cos2xsin2x =2(1+ sin2x)(1− sin2x)+cos2x(1− sin2x)

2 cos2x +cos2x sin2x= 2(1− sin 2x)+cos2x− cos2xsin2x

cos2x+ cos2xsin2x = 2cos22x+ cos2x− cos2xsin2x

Перенесем все члены в одну сторону:

2cos2xsin2x− 2cos22x= 0

Вынесем общий множитель $2cos2x$ за скобки:

2cos2x(sin2x− cos2x)=0

Это уравнение распадается на два:

cos2x =0

2x = π+ πk,k ∈ℤ 2

Отсюда

sin 2x = ±1

Учитывая ОДЗ ( $sin2x⁄= 1$ ), мы должны исключить случаи, когда $sin2x =1.$ Следовательно, нам подходит только

sin 2x = −1

Это соответствует такому равенству:

π 2x= −2 + 2πm, m∈ ℤ

Отсюда

π x= −4 + πm,m ∈ℤ

Эта серия корней удовлетворяет ОДЗ.

sin 2x =cos2x

Так как если бы $cos2x= 0,$ то и $sin2x$ был бы равен нулю, что невозможно, мы можем разделить обе части на $cos2x$ :

tg2x= 1

2x = π+ πk,k ∈ℤ 4

π πk x= 8 + 2 ,k ∈ℤ

Эта серия корней также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

$− π + πm, m ∈ ℤ;π+ πk, k ∈ℤ. 4 8 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#131804Максимум баллов за задание: 7

Найти все значения $x∈(0;π],$ удовлетворяющие уравнению

|tgxtg2xtg 3x|+ |tgx+ tg2x|= tg3x

Показать ответ и решение

Заметим, что

tgx+ tg 2x tg 3x = 1− tgxtg2x

tg3x− tgxtg2x tg3x =tgx+ tg2x

tg3x =tgxtg2xtg 3x +tgx+ tg2x

Вернемся к исходному уравнению:

|tg xtg2xtg3x|+|tgx+ tg2x|= tgx tg2xtg3x+ tg x+tg2x

Это верно, если

{ tgxtg2xtg3x≥ 0 tgx+ tg2x≥ 0

Ранее мы доказали, что

tg3x =tgxtg2xtg 3x +tgx+ tg2x

Из исходного уравнения получаем, так как сумма модулей неотрицательна

tg3x≥ 0

Пусть $tg 3x =0 :$

-tgx-+tg2x- tg3x= 1− tgxtg2x = 0

Тогда

tgx =− tg2x

tgx+ tg2x≥ 0

Следовательно, решения $tg3x =0$ нам подойдут.

x = kπ,k∈ℤ 3

Так как нам нужны $x∈ (0,π],$ значит, в этом случае нам подходят $x= π,x= π,x= 2π. 3 3$

Теперь пусть $tg3x> 0,$ то есть

3x∈ (0+ πn;π+ πn) 2

( πn π πn) x ∈ 0+ 3 ;6 + 3

Исходная система равносильна следующей:

{ tgxtg2x≥ 0 tgx+ tg2x≥ 0

По формуле двойного угла,

2 tgx tg2x= 1−-tg2x-

Получим систему относительно $tg x:$

( ||| tgx⋅-2tgx--≥ 0 |{ 1− tg2x ||| 2tgx |( tgx+ 1−-tg2x-≥0

Пусть $tg x= t.$

( ||| -2t2-≥ 0 |{ 1− t2 ||| 3t− t3 |( -1− t2 ≥0

{ t∈ (−√1;1) √ - t∈ [− 3;− 1)∪ [0;1)∪[ 3;+ ∞)

t ∈[0;1)

Обратная замена:

tgx ∈[0;1)

Поскольку тангенс монотонно возрастает на полуинтервалах $[0 +πn;π +πn), 2$ $n ∈ℤ,$ а также $arctg(0)= 0+ πn,$ $arctg(1)= π+ πn, 4$ то

[ π ) x∈ 0 +πn;4 +πn

Теперь пересечем с условиями этого случая и получим

( πn π πn) x ∈ 0+ 3 ;6 + 3

Так как нам нужно значения $x∈ (0,π],$ поэтому в этом случае получаем

( π) x∈ 0;6

В итоге получаем

( ) { } x ∈ 0;π6 ∪ π3,2π3-,π

Ответ:

$(0;π) ∪{ π,2π,π} 6 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#132615Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin2x− cos2x =tgx

Источники: ДВИ - 2025, вариант 256, задача 4

Показать ответ и решение

На ОДЗ $cosx⁄= 0,$ поскольку $tgx$ определён корректно, поэтому

2 sinx- 2sinxcosx− 2cos x+ 1= cosx

1 2cosx(sinx − cosx)− cosx(sinx− cosx)= 0

( ) 2cosx − -1-- (sinx − cosx)=0 cosx

⌊ 2cosx− -1--= 0 |⌈ cosx sin x− cosx= 0

Так как на ОДЗ $cosx⁄= 0,$ домножим на него первое равенство системы и поделим второе:

[ 2cos2x− 1= 0 tgx= 1

[ cos2x= 0 tgx= 1

⌊ π πk || x =-4 + 2-,k∈ ℤ ⌈ x = π + πn,n ∈ℤ 4

π πk x= 4 +-2 ,k ∈ℤ

Ответ:

$π + πk, 4 2$ $k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#132899Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- sin2x+3cosx= 3(1+ cos2x+ sinx)

Источники: ДВИ - 2025, вариант 251, задача 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам даны тригонометрические функции от разных аргументов. Как это можно изменить?

Подсказка 2

Используем формулы синуса и косинуса двойного угла. Слева и справа что-то получилось, перенесем в одну сторону и раскроем скобки.

Подсказка 3

Дошли до уравнения: 2sin(x)cos(x) + 3cos(x) - 2√3cos²(x) - √3sin(x) = 0. Можно ли его разложить на множители?

Подсказка 4

Вынесем общий множитель у первого и четвертого слагаемых и у второго и третьего слагаемых.

Подсказка 5

Осталось решить совокупность уравнений, не забывая про осторожность с делением на 0!

Показать ответ и решение

Применив формулы синуса и косинуса двойного угла, получим:

√- 2 2sinxcosx +3cosx= 3(2cos x+ sinx)

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем:

√ - 2 √- 2sinxcosx +3cosx− 2 3cos x− 3sinx= 0

(2sinxcosx− √3sinx)+ (3 cosx− 2√3cos2x)= 0

sinx(2cosx− √3)− √3cosx(2cosx− √3-)=0

Вынесем общий множитель $√- (2cosx− 3)$ :

(2cosx− √3)(sinx− √3cosx)= 0

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

⌊ √- | cosx= -3- ⌈ √2 sin x= 3cosx

Решим первое уравнение:

√- cosx= -32-

x =± π+ 2πk, k∈ ℤ 6

Теперь решим второе уравнение:

√ - sinx = 3cosx

Заметим, что если $cosx =0,$ то из уравнения следует, что и $sinx =0,$ что невозможно. Следовательно, $cosx⁄= 0,$ и мы можем разделить обе части уравнения на $cosx$ :

tgx= √3

x = π + πk, k∈ ℤ 3

Ответ:

$± π + 2πk, 6$ $π+ πk, 3$ $k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#139256Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ x2+y2 = 1 2arcsinx+2arccosy = 0

Показать ответ и решение

Запишем область определения для $x$ : $x∈ [−1,1]$ и для $y$ : $y ∈[−1,1].$

Посмотрим на второе уравнение:

arccosy ∈[0,π]

Тогда

[π ] arcsinx∈ 2,0

и $x∈ [− 1,0].$

Подставим равенство $π arccosy+ arcsiny = 2$ во второе уравнение:

(π ) 2 arcsinx+ 2 − arcsiny = 0

Перенесем $arcsiny$ вправо и применим синус к обеим частям уравнения:

y = sin2arcsinx+ π 2

Применяем формулу синуса суммы и косинуса двойного угла:

( ) y = sin 2arcsinx + π = sin(2arcsinx)cosπ + cos(2 arcsinx)sinπ = 0+cos(2arcsinx)=cos(2arcsinx) 2 2 2

cos(2arcsinx)= 1− 2sin2(arcsinx)= 1− 2x2

Тогда у нас получается следующая система уравнений:

( |{ x2+ y2 = 1 | 2 ( y = 1− 2x2

Подставим второе уравнение в первое и возведем $y$ в квадрат:

2 2 4 1 x + 1− 4x + 4x = 2

Делаем замену $2 t= x$ и домножаем на 2:

2 2t+ 2− 8t+ 8t = 1

8t2− 6t+1 =0

Раскладываем на множители и находим решения уравнения:

8t2− 4t− 2t+ 1= 0

(2t− 1)(4t− 1)= 0

⌊ 1 ||t= 2 |⌈ 1 t= 4

Тогда, учитывая ограничения на $x$

⌊ ∘-- √- |x =− 1 = −-2- || 2 2 |⌈ ∘ 1- 1 x= − 4 =− 2

Из уравнения $y =1− 2x2$ находим $y:$

⌊ y = 1− 2⋅ 1= 0 ||| 2 ⌈ 1 1 y = 1− 2 ⋅4 = 2

После проверки убедимся, что оба решения удовлетворяют системе уравнений.

Ответ:

$( √2- ) ( 1 1) −-2-;0 , − 2;2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#140065Максимум баллов за задание: 7

Докажите тождество

( 2) 2arcsin |x|= arccos 1− 2x

Показать доказательство

Заметим, что $|x|≥ 0,$ тогда

π 0≤ arcsin|x|≤ 2

В таком случае, равносильным переходом будет взять косинус от обеих частей уравнения:

cos(2arcsin|x|)= cos(arccos(1− 2x2))

2 cos(2arcsin|x|) =1− 2x

Сделаем замену: $α = arcsin|x|,$ тогда $sinα =|x|,$ в итоге получаем формулу косинуса двойного угла

2 2 2 cos2α= 1− 2sin α= 1− 2|x| =1− 2x

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#77217Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $cos(sinx)− cos(cosx)= cos2x.$

Показать ответ и решение

Первое решение. Распишем косинус двойного угла

2 2 cos(sinx)− cos(cosx)= cosx − sin x

2 2 cos(sinx)+sin x =cos(cosx)+cosx

Получаем уравнение вида

f(sin x) =f(cosx),

где $f(t)=cost+t2.$ Так как

f′(t)= 2t− sint; f′′(t)= 2− cost

вторая производная положительна при любом $t$ , то первая производная — монотонно возрастающая функция. Тогда $f′(t)= 0$ имеет не больше одного решения. Точка $t= 0$ подходит. Также заметим, что $f′(t) ≥0$ при $t≥ 0$ и $f′(t)≤ 0$ при $t≤0$ . А значит, $f(t)$ возрастает при $t≥ 0$ и убывает при $t≤ 0$ . Кроме того, функция $f$ чётна. Тогда уравнение $f(sinx)= f(cosx)$ может иметь решение только в случаях $sinx= cosx$ или $sinx= − cosx$ . Решив эту совокупность, получим

x= π + πk, k ∈ℤ 4 2

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Левую часть уравнения преобразуем по формуле разности косинусов, правую — по формуле косинуса двойного аргумента:

( ) ( ) −2sin sinx+-cosx- ⋅sin sinx−-cosx- = −(sin2 x− cos2x) 2 2

В правой части применим формулу разности квадратов и введём обозначения:

sinx +cosx sin x− cosx a= ----2----; b=----2----

Тогда наше уравнение запишется в виде

2sina ⋅sinb= 2a ⋅2b

sina⋅sinb= 2ab

Перенесём всё в правую часть и вынесем множитель $ab, (ab ⁄=0)$

( sina sinb) ab 2 −--a-⋅-b- = 0

Ясно, что выражение в скобках строго больше 1 в виду неравенства $|sintt|< 1 при t ⁄= 0.$

Значит, при $ab⁄= 0$ уравнение решений не имеет, то есть оно может иметь решения только при $a= 0$ или $b=0.$

Проверяем эти значения подстановкой в уравнение $sina⋅sinb =2ab$ и убеждаемся, что при этих значениях уравнение верно.

Делаем обратную замену и получаем ответ $x = π4 + π2k, k∈ ℤ.$

Ответ:

$π + πk, k∈ ℤ 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#79603Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

88π2- -1--- sin x = cos3x

Источники: ОММО - 2024, задача 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии дано тригонометрическое уравнение с какими-то страшными аргументами тригонометрических функций, формулы тут не поприменяешь, к сожалению. В таких случаях обычно принято использовать метод оценки. Попробуйте воспользоваться им.

Подсказка 2

Давайте умножим наше уравнение на cos(3x). Что можно сказать про решения нашего уравнения, если вспомнить про ограничения на синус и на косинус?

Подсказка 3

Синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Значит, произведение синуса на косинус будет равно 1 только в случаях, когда синус и косинус равны 1, а также когда синус и косинус равны -1 одновременно.

Подсказка 4

Рассмотрим решения cos(3x) = ±1, x = πk/3. Подставив данную серию решений в уравнение с синусом равном ±1, найдите все подходящие k.

Подсказка 5

После подстановки получается выражение 88π²*3/πk = π/2 + πn, преобразовав, получим: 3*8*11 / k = 1/2 + n. Обратите внимание, что в правой части уравнения стоит целое число с одной второй, значит, слева тоже должно быть целое число + одна вторая. Какие k подходят под данное условие?

Подсказка 6

Так как нам необходимо, чтобы получилась именно 1/2 + какое-то целое в левой части уравнение, то на место k подойдут все такие целые числа, которые при сокращении с числителем будут оставлять в знаменателе 2.

Подсказка 7

То есть, каждое k делится на какой-то набор нечетных делителей числителя и еще на 16. Получается, что все k будут четными, значит, cos(3x) может равняться только 1. Остается отобрать такие пары k и n, что sin(88π²*3/x) = 1, x = π/2 + πn.

Показать ответ и решение

Домножим на $cos3x⁄= 0$

88π2 sin -x--⋅cos3x= 1

Так как $|sint|≤1, |cost|≤1$ , равенство возможно только в случаях

⌊ { 88π2 | sin-x--=1 ||| { cos3x=2 1 ⌈ sin88πx--=− 1 cos3x= −1

Уравнение $cos3x = ±1$ имеет решения $πk x= -3 , k ∈ℤ, k⁄= 0$ . Подставив эту серию в $88π2 sin--x-= ±1$ , получаем

88π2⋅3 π -πk---= 2 + πn, n∈ ℤ

3-⋅8-⋅11 = 1+ n k 2

Тогда $k$ может принимать только следующие значения

k= ±16, ± 16⋅3, ±16⋅11, ± 16 ⋅33

Так как все получившиеся $k$ четны, $cos3x = 1$ . Выберем из получившихся пар $(n,k)$ такие, что $sin88π2-=1. x$ То есть те, где $n$ четно.

$n= 16$ или $n =− 17$ при $k= ±16$

$n= 5$ или $n =− 6$ при $k =±3 ⋅16$

$n= 1$ или $n =− 2$ при $k =±16 ⋅11$

$n= 0$ или $n =− 1$ при $k =±16 ⋅33$

Подставляя в

88π2 π sin-x--= 2 +πn

176π x = 1+-2n-

получаем ответ.

Ответ:

$16π, − 16π, − 176π, 176π 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#80768Максимум баллов за задание: 7

Что больше:

( 3π) (π) ( π) 5− 4sin 14 или 4cos 7 − 5sin 14 ?

Источники: Физтех - 2024, 11.5 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим схожие по структуре аргументы в синусах. Давайте поймём, что если мы сделаем замену на t = pi/14, то у нас получится функция от t, для которой надо доказать, что она всегда больше нуля (или меньше нуля, ведь мы узнаем это только после исследования функции).

Подсказка 2

Тогда, нам нужно исследовать функцию 16sin^3(t) + 8sin^2(t) - 7sin(t) + 1. Видно, что здесь просится замена sint = z. Что тогда можно сказать про этот кубический многочлен после замены и анализа?

Подсказка 3

Верно, можно заметить, что он равен (z + 1)(4z - 1)^2. Значит, при z >= -1(а именно такой синус) наш многочлен больше или равен 0, и в точке sin(pi/14) у нас не достигается равенство(нетрудно проверить). Какой тогда ответ мы получили?

Показать ответ и решение

Пусть $t= π-, 14$ тогда требуется сравнить $5 − 4sin 3t$ и $4cos2t− 5sint.$ Будем сравнивать с $0$ их разницу:

3 2 5− 4sin3t− 4 cos2t+5sin t=5 − 4(3sint− 4sin t)− 4(1− 2sin t)+5sint=

3 2 = 16sin t+8sin t− 7sint+ 1

Пусть $sint= z.$ Тогда исследуем следующую функцию на отрезке $[−1; 1]$

f(z)= 16z3 +8z2− 7z +1

Заметим, что $f(−1)=0,$ значит разделим $16z3+ 8z2− 7z+ 1$ на $z+ 1.$ Тогда получим, что

f(z)=(z+ 1)(16z2 − 8z+ 1)=(z+ 1)(4z− 1)2

Несложно заметить, что $f(z)≥0$ на $[− 1; 1],$ причем $f(z)= 0$ лишь при $z = −1$ и $z = 14.$ Тогда $f(t)= f(π14)>0.$ Значит разность имеет такой же знак, значит первое число больше.

Замечание. Желательно проверить, что $sin π14 ⁄= 14.$ Это легко делается, так как

sin π-< π-< 3,5-= 1 14 14 14 4

Ответ:

$5− 4sin(3π)> 4cos(π)− 5sin(π) 14 7 14$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#81378Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2x−-1 x-+3- arctg x+ 2 + arctg3x− 1 = x

Источники: Миссия выполнима - 2024, 11.5 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Арктангенс — обратная функция от тангенса, поэтому, ровно как мы нередко логарифмируем в уравнениях, мы можем взять тангенс от обеих частей и получить следствие (заметьте, что это будет неравносильный переход).

Подсказка 2

Если взять тангенс от обеих частей, то можно раскрыть тангенс от суммы арктангенсов. При этом это будет равно tg(x). Тогда слева у нас получится 7, а справа tg(x). Тогда понятно какие значения может принимать х. Остается понять, подходят ли эти значения или нет. Как можно понять, подходят ли? Мы можем посмотреть на то, почему переход взятия тангенса неравносилен и на какие случаи он разбивается.

Подсказка 3

Он неравносилен, так как если tgx = tgy, то либо x = y, либо x = y + pi, то есть, так как у нас все происходит на интервале от -pi до pi, то по сути, нам надо проверить, что при подстановке наших корней, знак левой и правой части будет одинаковый. Это уже чисто техническая задача, при решении которой нужно просто грубо оценивать arctg7.

Показать ответ и решение

Посчитаем

2x-− 1 -x+-3 tg(arctg x+ 2 +arctg3x − 1)=

2x−-1 x+3- = -x+22x−+1-3x−x1+3-= 1− x+2-⋅3x−1-

7x2+ 7 = -x2+1-= 7

Тогда для корня уравнения $tg(x)= 7$ . При этом так как $π π − 2 < arctg(t)< 2$ , получаем $− π < x< π$ .

Откуда получаем, что кандидатами в корни могут быть только $arctg 7$ и $arctg 7− π$ . Покажем, что они подходят: для этого достаточно проверить, что при подстановке этих значений левая часть примет тот же знак, что и правая. (Так как левая часть всегда равна $arctg 7$ или $arctg7− π$ )

Для $x= arctg7$ имеем

arctg 2x-− 1 =arctg(2−-5-)>0, x+ 2 x+ 2

так как $2> 5> --5- 3 x +2$ для $x= arctg7$ в силу того, что $arctg7> arctg√3 = π> 1 3$ .

А также

x-+3- 1 -10-- arctg3x− 1 = arctg(3 + 9x − 3)> 0

Для $x= arctg7− π$ имеем

2x − 1 5 arctg-x+-2 =arctg(2− x+-2)<0,

так как

2< --5- ⇐⇒ 1> x+ 2> 2π − π+ 2= 2− 3π >0 x+ 2 5 5

А также

arctg x-+3-= arctg(1 +-10-)< 0, 3x− 1 3 9x − 3

потому что

1-< --1-- ⇐⇒ x< 0,3 − 9x< 30 (x> π − π > −3) 30 3− 9x 3

Значит, оба этих значения — корни.

Ответ:

$arctg7$ и $arctg7 − π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#83297Максимум баллов за задание: 7

Пары чисел $(x;y)$ связаны соотношениями

----sin2x----- -----cosy----- ------1------ 1+cosy− sin2x = 1+ sin2x− cosy = sin2x+ cosy− 1.

Найти наибольшее возможное значение величины $cos22x+ sin2y$ .

Источники: Росатом-2024, московский вариант, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда видишь выражение с тригонометрией и дробями, то становится страшно. Но от одного из этого точно можно избавиться и записать систему из трёх уравнений.

Подсказка 2

Уравнения всё ещё не выглядят красиво, но может, тогда их получится разложить на множители?

Подсказка 3

В знаменателях первой и второй дроби есть одинаковое выражение в виде разности некоторого синуса и некоторого косинуса. После домножения на знаменатель это разность может стать одним из множителей. А ещё совсем нетрудно раскладывается на множители выражение получаемое из равенства первой и третей дробей (вспомните про разность квадратов).

Подсказка 4

Тогда получается 4 случая. 3 из них нетрудные. Но случай, когда в обоих выражениях sin2x + cosy + 1 = 0, не так прост. Искомое выражение удобно было бы свести к виду "число = квадрат какого-то выражения", так как это даёт нам хорошую оценку из-за неотрицательности квадрата.

Показать ответ и решение

Преобразуем равенство первого и второго выражений (домножим на знаменатели, приведём подобные и разложим на множители):

(sin2x− cosy)(sin2x +cosy+1)= 0

Аналогично сделаем с равенством первого и третьего выражений:

(sin2x− 1)(sin2x+ cosy +1)= 0

Рассмотрим $4$ случая:

$1)sin 2x =cosy$ и $sin2x= 1$ . В этом случае $cos22x +sin2y =0$ .

$2)sin 2x =cosy$ и $sin2x+ cosy +1= 0$ , тогда $sin2x= cosy = − 1 2$ и $cos22x +sin2y = 3 2$ .

$3)sin 2x +cosy+1 =0$ и $sin2x= 1$ . Тогда $cosy =− 2$ , что невозможно.

$4)sin 2x +cosy+1 =0$ . Запишем $cos22x+ sin2y$ как $2− sin22x− cos2y$ . Теперь вместо $sin2x$ подставим $− 1− cosy$ и преобразуем: $1− 2cosy− 2cos2y = 3− 1(1+2 cosy)2 2 2$ . Видно, что максимум равен $3 2$ и он достигается при $cosy =− 1 2$ . Осталось заметить, что $cosy = sin2x= − 1 2$ не зануляют знаменатели в изначальных равенствах.

Ответ:

$3 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#83743Максимум баллов за задание: 7

Дана последовательность:

∘ ∘ n ∘ a1 = cos10 ,a2 =cos100,...,an = cos(10) ,...

Найдите наименьшее значение выражения

a1⋅cosx +(a2+ a2023+a2024)⋅sinx, где x∈ ℝ

Источники: Звезда - 2024, 11.4 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Даны косинусы углов в градусах. Мы же знаем, что косинус — периодичная функция с периодом 360 градусов. Попробуем заметить что-нибудь, связанное с периодичностью косинуса, про аргументы двух соседних членов последовательности, то есть 10^n и 10^(n+1).

Подсказка 2

После того, как мы поняли, что из себя представляют а_2023 и а_2024, осталось преобразовать выражение с x по известным тригонометрическим формулам. В этот момент уже будет понятно, как искать наименьшее значение, ведь тригонометрические функции принимают ограниченные значения.

Показать ответ и решение

Посмотрим на разность градусных мер углов у соседних членов последовательности: