Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 81#91955Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

-tg-3x-+tgx- 1+ tg3xtgx = tg 4xtg2x

Источники: ДВИ - 2024, вариант 241, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь давайте запишем ОДЗ. Вообще нам гораздо привычнее работать с синусами и косинусами, нежели с тангенсами, поэтому давайте распишем все имеющиеся здесь тангенсы и попробуем преобразовать уравнение

Подсказка 2

Если воспользоваться формулами синуса суммы и косинуса разности, уравнение примет очень даже приятный вид, и решить его будет уже совсем не трудно!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Запишем ОДЗ

(| π (|| cosx⁄= 0 ||||| x⁄= 2 +πn ||||{ cos2x ⁄= 0 ||||{ x⁄= π + πn cos3x ⁄= 0 =⇒ 4π π2n ||||| cos4x ⁄= 0 ||||| x⁄= 6 +-3 |( 1+ tg3xtgx ⁄= 0 ||||| π πn ( x⁄= 8 +-4 , n∈ ℤ

Преобразуем левую часть. Домножим и числитель, и знаменатель на $cos3x cosx:$

(sin3x sinx) cos3xcosx⋅(cos3sxin +3xcsosinxx)-= sin3xcosx-+sin-xcos3x-= sin(3x+-x)= sin-4x cos3xcosx⋅1+ cos3xcosx cos3xcosx+sin3xsinx cos(3x− x) cos2x

Тогда получаем следующее

-tg-3x-+tgx- sin4x 1+ tg3xtg x = tg 4x tg2x ⇐⇒ cos2x − tg4xtg2x= 0

sin-4x- sin4xsin2x- sin4x( -sin2x) cos2x − cos4xcos2x = 0 =⇒ cos2x 1 −cos4x = 0

sin 4x(cos4x− sin2x) ----cos2xcos4x----= 0

Тогда получаем, что

[ sin4x(cos4x− sin2x)=0 =⇒ sin4x= 0 cos4x− sin2x= 0

⌊ πl | x= -4 , l∈ ℤ ⌈ 2 1− 2sin 2x− sin2x= 0

Решим последнее уравнение:

2 t= sin2x, =⇒ 1− 2t− t= 0

⌊ t= −1 =⇒ sin2x= −1 |⌈ t= 1 =⇒ sin2x= 1 2 2

Тогда получаем следующую серию

⌊ x= πl || 4 ||| x= 3π+ πl || 4 ||| x= π-+ πl |⌈ 152π x= 12 + πl, l∈ℤ

Объединяя серии и объединяя с ОДЗ, получаем ответ.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

По формуле тангенса суммы

tg4x= tg(3x+ x) =-tg3x+tgx- 1 − tg3xtgx

Сначала запишем ОДЗ:

( ||| 1+ tg 3x tgx ⁄=0 |||{ cos4x ⁄=0 | cos2x ⁄=0 ||||| cosx ⁄= 0 ( cos3x ⁄=0

По формуле тангенса разности

tg2x= tg(3x− x) =-tg3x− tgx 1 +tg3xtgx

Подставим все, что получили в исходное уравнение, получится следующее:

-tg3x-+tgx-= -tg3x+-tgx-tg3x−-tgx-- 1+ tg3xtgx 1− tg3xtgx 1+tg3xtgx

Видно, что можно будет кое-что сократить. Но сначала нужно проверить случай, когда $tg3x+tgx =0.$ Решения этого уравнения нам подходят, если они удовлетворяют ОДЗ. Это уравнение эквивалентно уравнению $tg3x =tg(− x).$ А это равенство может выполняться только если аргументы тангенсов отличаются на число, кратное $π.$ То есть $3x= −x +πt,t∈ ℤ.$ Таким образом, $π x = 4t.$ После пересечения решений этого равенства с ОДЗ получим $x= πt1.$ Это нетрудно получить подстановкой во все условия, если записать $t$ в виде $t= n1+ 4πt1,$ где $t1 ∈ℤ$ и $n1 ∈{0,1,2,3}.$

Перейдем к случаю $tg3x +tgx⁄= 0.$ В этом случае с учетом ОДЗ после сокращений получим уравнение:

-tg3x-− tgx 1 − tg3xtgx = 1

Теперь необходимо дополнительно учесть, что $1− tg3xtgx ⁄=0.$ Это условие проверим подстановкой после того, как решим уравнение.

Итак, после умножения на знаменатель уравнение примет вид:

tg 3x − tgx= 1− tg 3x tgx

Перенесем все в левую часть и разложим на множители

(1+tgx)(1− tg3x) =0

Тогда $tgx = −1$ или $tg3x =1.$ Таким образом, $3π x= 4 + πk$ или $π- π x = 12 + 3n,$ $n,k ∈ℤ.$

$3π x= 4 + πk$ не подходит по ОДЗ, поскольку $3π- cos(24 +πk)= 0.$

$π- π x= 12 + 3n$ тоже можно проверить, представив $n$ в виде $n =d+ 3l,$ где $l∈ ℤ$ и $d= 0,1,2.$ Тогда получится, что при $d =2$ этот корень не подходит по ОДЗ, поэтому в этом случае ответ таков: $-π x= 12 + πl$ или $5π- x = 12 +πl,l∈ℤ.$

Ответ:

$πl, π-+ πl,5π+ πl,l∈ ℤ 12 12$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 82#91978Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sinx+ sin2x+ cosx= 1.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 242, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Прибавим 1 к обеим частям уравнения и превратим её слева в ОТТ. Какую формулу можно заметить в левой части?

Подсказка 2

Уравнение преобразуется в квадратное относительно t = sin(x) + cos(x). Решите его!

Подсказка 3

Мы нашли значения t, осталось лишь перейти к значениям х. В этом нам очень поможет метод вспомогательного угла!

Показать ответ и решение

Воспользуемся тем, что $sin2x= (sinx+ cosx)2− 1$

2 sinx +cosx+ (sinx +cosx)− 1= 1

Сделаем замену $t= cosx+ sinx,$ получим

2 t+ t− 2= 0

(t− 1)(t+2)= 0

[ t= 1 t= −2

Тогда при обратной замене

⌊ ⌈ sinx+ cosx= 1 sinx+ cosx= −2

⌊ sin(x+ π) = 1√-- || 4 2 ⌈ sin(x+ π) =− 2√-- 4 2

Заметим, что $-2- − √ 2 < −1,$ поэтому второе равенство невозможно, значит,

( π) 1 sin x+ 4 = √2-

⌊ π π | x+ 4 = 4 + 2πk, k ∈ℤ |⌈ π 3π x+ 4 =-4 +2πk, k ∈ℤ

⌊ | x= 2πk, k∈ ℤ ⌈ x= π +2πk, k ∈ℤ 2

Ответ:

$2πk,π+ 2πk, k∈ ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 83#92112Максимум баллов за задание: 7

Найдите целое число, задаваемое выражением

( π) ( π) log1∕2 tg 6 + log1∕2 cos6 .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 243, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тут у нас присутствует сумма логарифмов с одинаковым основанием, что можно с ними сделать?

Подсказка 2

При сложении логарифмов с одинаковым основанием результатом будет логарифм с тем же основанием, а в аргументе будет стоять произведение аргументов первоначальных слагаемых.

Подсказка 3

Осталось вспомнить табличные тригонометрические функции, произвести несложные вычисления и записать ответ!

Показать ответ и решение

Воспользуемся свойством суммы логарифмов:

( π) ( π ) log1∕2 tg6 +log1∕2 cos 6 =

( π π) ( π) =log1∕2 tg 6 ⋅cos6 = log1∕2 sin6 = 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 84#92115Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $2sin3 x= cos3x$ .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 243, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнении присутствует косинус тройного угла, как можно его преобразовать?

Подсказка 2

Распишем его по формуле cos(3x) = 4*(cos(x))³ - 3*cos(x). Теперь у нас и справа, и слева имеется третья степень, и нам хотелось бы её уменьшить, но как это сделать?

Подсказка 3

Поделим обе части на (cos(x))³ . Сейчас в нашем уравнении присутствует тангенс и деление на (cos(x))², но нет ли у нас какой-нибудь формулы, которая их связывает?

Подсказка 4

1/(cos(x))² = 1 + (tg(x))². Имеем уравнение третьей степени от tg(x), с одной стороны которого стоит 0, на что это намекает?

Подсказка 5

Разложите многочлен третьей степени на множители!

Показать ответ и решение

По формуле косинуса тройного угла $cos3x= 4cos3x− 3cosx.$ Заметим, что $cosx ⁄= 0,$ так как в противном случае, по основному тригонометрическому свойству $sin x⁄= 0,$ что противоречит равенству. Значит, мы можем поделить на ненулевое число $3 cos x:$

3 3 2 tg x= 4− cos2x-

Воспользуемся следующей формулой:

1 cos2x-= 1+ tg2x

Имеем:

2tg3x= 4− 3− 3tg2x

Пусть $t=tgx.$ Тогда:

2t3+ 3t2− 1= 0

Заметим, что $t= −1$ — решение этого уравнение, значит можно разделить на $t+ 1.$ Получим:

(t+ 1)2(2t− 1)= 0

Тогда $tgx = −1$ или $tgx = 12.$ Откуда получаем ответ

− π4 + πn,arctg 12 + πn, n ∈ℤ.

Ответ:

$− π + πn,arctg 1 +πn, n ∈ℤ 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 85#92260Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

tgx⋅tg2x cos2x+ 2 = 1.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 244, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Явно напрягает произведение тангенсов. Давайте распишем их по определению и запишем условие их существование!

Подсказка 2

В итоге получим tg(x) * tg(2x)/2 = sin²(x)/cos(2x). После подстановки в уравнение мы можем обе части домножить на ненулевое число cos(2x)!

Подсказка 3

Получим классическое тригонометрическое уравнение. Если распишем косинус двойного угла через синус, то получим квадратное уравнение относительно него ;)

Подсказка 4

Остается соотнести полученные решения с условием существования исходных тангенсов!

Показать ответ и решение

Преобразуем второе слагаемое, но перед этим запомним, что оба тангенса должны быть определены:

tgx-⋅tg2x- sin-xsin2x- sin2x- 2 = 2cosxcos2x = cos2x

Тогда домножим наше уравнение на ненулевое число $cos2x.$ А также после замены $2 t=sin x$ получаем $cos2x= 1− 2t$ и квадратное уравнение

(1− 2t)2 +t= 1− 2t

1− 4t+ 4t2 +t= 1− 2t

2 1 4t − t =0, t= 0 или t= 4

cos2x =1 или cos2x= 1 2

x= πn;n ∈ℤ или 2x= ± π+ 2πn;n ∈ℤ 3

Ответ:

$πn;±π + πn;n ∈ℤ 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 86#92341Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее целое число, превосходящее число

(16)cos(π∕3) ( 9 )− sin(π∕6) 25 + 25 .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 245, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на то, что синус и косинус из условия — это табличные значения! Давайте посчитаем их ;)

Показать ответ и решение

Так как $cos(π∕3) = 1, 2$ а $− sin(π∕6)= − 1, 2$ то получаем

( )12 ( )− 12 1265 + 295 = 45 + 53 = 3175 = 2+ 715

Наименьшее целое число, большее $2+ 715,$ это 3.

Ответ: 3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 87#92345Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

1+ √3 cos2x= --2--(cosx +sinx).

Источники: ДВИ - 2024, вариант 245, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Справа у нас в аргументах функций стоит x, тогда слева раскроем косинус двойного угла по формуле! Как можно преобразовать левую часть, чтобы она стала схожа с правой?

Подсказка 2

После того, как раскроем косинус двойного угла, разложим на скобки разность квадратов. Теперь и слева, и справа есть сумма косинуса и синуса. Видим, что нужно разобрать случаи ;)

Подсказка 3

Или сумма синуса и косинуса равна нулю, или же их разность равна (1 + √3)/2. Первое решить не так сложно, а на какой метод решения намекает √3 справа?

Подсказка 4

Решите второй случай с помощью метода дополнительного аргумента!

Показать ответ и решение

По формуле косинуса двойного угла $cos2x= cos2x− sin2x= (cosx+ sinx)(cosx− sinx).$ После подстановки уравнение принимает вид

1+ √3 (cosx+ sinx)(cosx− sinx)= --2--(cosx+ sinx)

Таким образом, $cosx+sinx= 0$ или $√ - cosx − sinx = 1+2-3.$ Первое из этих уравнений эквивалентно $tgx =− 1,$ то есть $x =− π4 + πk,k ∈ℤ.$

Для решения второго уравнения применим метод дополнительного аргумента:

cosx − sin x= √2(cosπ cosx− sinπ sinx)= √2cos(x+ π) 4 4 4

Тогда второе уравнение эквивалентно

- π 1-1- √3-1-- cos(x+ 4)= 2√ 2 + 2 √2

π π π cos(x+ 4 )=cos(3 − 4)

В итоге, объединяя все ответы

⌊ π | x = −4π + πk,k∈ ℤ ⌈ x = −6π + 2πk,k ∈ℤ x = −3 + 2πk,k ∈ℤ

Ответ:

$− π + πk,− π+ 2πk,− π+ 2πk; k∈ ℤ. 4 6 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 88#92364Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- tgx − 4sin x= 3.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 246, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим внимательно на наше уравнение: формулы, которую можно удачно применить, сходу не видно – что будем делать? Возможно, стоит поработать с тангенсом?

Подсказка 2

Итак, видим тангенс – пишем ограничение. Может быть сразу перепишем его по определению как sin(x)/cos(x)?

Подсказка 3

Что хочется сделать, когда видим дробь? Удобно ли тут привести её к общему знаменателю? А может быть удастся вообще избавиться от него?

Подсказка 4

Не напоминает ли какое-то из слагаемых формулу для двойного угла? Перенесите его в правую часть и попробуйте преобразовать всё что осталось слева.

Подсказка 5

Удачное применение формулы для вспомогательного угла поможет свести уравнение к виду sin(a) = sin(b) – а уж такое решать мы умеем!

Показать ответ и решение

ОДЗ этого уравнения состоит из единственного условия: $cosx⁄= 0,$ что эквивалентно $x ⁄= π+ πd,d∈ ℤ. 2$ Далее умножаем уравнение на $cosx,$ тогда оно принимает вид:

√ - sinx − 4sinx cosx= 3cosx

Используем формулу двойного аргумента и переносим правую часть влево:

√ - (sinx − 3cosx)− 2sin2x= 0

Разделим уравнение на $2$ и воспользуемся методом дополнительного аргумента:

sin(x − π )=sin 2x 3

[ x − π− 2x = 2πk,k∈ ℤ x − 3π+ 2x = π+ 2πk ∈ℤ 3

[ x =− π3 − 2πk,k ∈ℤ x = 4π9-+ 2πk3 ,k∈ ℤ

Ответ:

$− π + 2πk,4π + 2πk; k∈ ℤ 3 9 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 89#95955Максимум баллов за задание: 7

Вычислите:

(a) $( ) arcsin sin4π3 ;$

(b) $sin(2arccos 13);$

Показать ответ и решение

(a)

Сначала найдем значение $4π- sin 3$ :

( ) ( ) √ - sin 4π3-= sin π+ π3 = − sin π3 = −-23

Теперь вычислим $( √-) arcsin −-32$ :

( √-) arcsin − -3- = − π 2 3

Итак, результат для (a):

( ) arcsin sin4π = − π 3 3

(b)

Используя формулу двойного угла для синуса:

sin(2𝜃)= 2sin(𝜃)cos(𝜃)

где $𝜃 =arccos13$ .

Сначала находим $sin(𝜃)$ :

∘---(--)- ∘----- ∘-- √- sin(𝜃)= ∘1-−-cos2(𝜃)= 1 − 1 2 = 1 − 1 = 8 = 2-2 3 9 9 3

Теперь подставим значения в формулу:

√- √- sin(2𝜃)=2 ⋅sin(𝜃)⋅cos(𝜃)= 2⋅ 232 ⋅ 13 = 492

Итак, результат для (b):

( ) √- sin 2arccos1 = 4-2 3 9

(c)

Используем основное тригонометрическое тождество:

2 2 cos(𝜃)+ sin (𝜃)= 1

где $𝜃 =arcsin 5 13$ . Из этого следует:

5- sin(𝜃)= 13

Теперь найдем $cos(𝜃)$ :

( )2 cos2(𝜃)= 1− sin2(𝜃)= 1− 5- = 1− 25-= 144- 13 169 169

Следовательно,

∘ 144 12 cos(𝜃)= 169 = 13

Так как $5 arcsin 13-$ находится в диапазоне от $π − 2$ до $π 2$ , где косинус неотрицателен, мы можем использовать положительное значение:

Итак, результат для (c):

( ) cos arcsin 5 = 12 13 13

Ответ:

(a) $− π 3$

(b) $4√2 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 90#95957Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

2 arccos x− arccosx − 6 =0.

Показать ответ и решение

Обозначим $y = arccosx$ . Теперь у нас есть квадратное уравнение

2 y − y− 6= 0

1 ±∘ (−-1)2−-4⋅1⋅(−-6) 1± √1+-24 1± 5 y =--------2⋅1------- = ----2----= -2--

Находим корни:

$1+5 y1 = 2--=3$

$1−5 y2 = 2--=− 2$

Делаем обратную замену.

$arccosx =3$ — это допустимое значение, так как $3$ находится в диапазоне от $0$ до $π$ . Тогда $x= cos3.$

$arccosx =− 2$ — это недопустимое значение, так как $arccosx$ не может быть отрицательным.

Ответ:

$cos3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 91#95959Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

1 sin(3arccosx)= 2.

Показать ответ и решение

Пусть $arccosx= a,$ где $a∈ [0;π].$ Тогда $sin3a= 1, 2$ тогда

⌊ π ⌊ -π 2π || 3a= 6 +2πk || a= 18 + 3 k ⌈ 3a= 5π +2πk ,k ∈ℤ =⇒ ⌈ 5π 2π- 6 a= 18 + 3 k ,k∈ ℤ

Под ограничения подходит только $k= 0$ и $k= 1.$ Тогда,

⌊ π- || arccosx= 18 || arccosx= π-+ 2π = 13π- ||| 18 3 18 || arccosx= 5π ||⌈ 18 arccosx= 5π+ 2π = 17π- 18 3 18

Найдем решения

⌊ ( ) x =cos π- ||| (18 ) || x =cos 13π ||| ( 18) || x =cos 5π ||⌈ (18 ) x =cos 17π 18

Ответ:

$cos(π-), cos(13π), cos(5π), cos(17π) 18 18 18 18$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 92#95961Максимум баллов за задание: 7

Докажите тождество

( 2) 2arcsin|x|= arccos1 − 2x .

Показать доказательство

Запишем ОДЗ:

{ − 1≤ |x|≤ 1 2 =⇒ −1≤ x≤ 1 − 1≤ 1− 2x ≤ 1

Сделаем замену:

[ π ] y = arcsin|x|, y ∈ 0; 2

|x|= siny

Тогда исходное уравнение преобразуется в следующее:

2 2y = arccos(1− 2 sin y)

Так как $2y ∈ [0;π]$ и $arccos(1 − 2sin2y)∈ [0;π],$ то можно взять от обеих частей косинус.

cos2y = 1− 2sin2y

cos2y = cos2y

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 93#96750Максимум баллов за задание: 7

Вычислите:

1 -7 2arctg4 +arctg23.

Показать ответ и решение

Пусть

1 -7 α= arctg4 β = arctg23

Тогда

1 7 tgα= 4 tgβ = 23

1 tg2α = -2tgα--= -2⋅(4)--=-8 1− tg2α 1− 14 2 15

Посчитаем $tg(2α +β):$

8- -7 tg(2α+ β)= -tg2α-+tgβ--=--15-+8237 =1 1− tg2α⋅tgβ 1 −15 ⋅23

tg(2α+ β)=1 =⇒ 2α+ β = π 4

Следовательно,

2arctg 1+ 7-= π 4 23 4

Ответ:

$π 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 94#96751Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

arcsin x⋅arccosx =− 1.

Показать ответ и решение

Воспользуемся следущим фактом:

π arcsinx+ arccosx =-2

Тогда получили систему

{ π ( ) arcsinx+ arccosx= 2 =⇒ arcsinx ⋅ π− arcsinx =− 1 arcsinx⋅arccosx= −1 2

Решим это уравнение, как квадратное уравнение относительно $arcsinx.$ Тогда, $t= arcsinx, t ∈[− 1;1]$

π − t2+ 2t+ 1= 0

( )2 2 D = π2 − 4⋅(− 1)⋅1= π-+416

∘ ----- − π2-+-π2+416 π−-√π2-+16 t1 = −2 = 4

∘ -2--- √------ − π2-−-π-+416 π+--π2-+16 t2 = −2 = 4

Учитывая ограничения, заключаем, что $t2$ не подходит.

Обратная замена:

√ -2---- arcsinx= π-−--π4-+16

( √ -----) x = sin π-−--π2+16 4

Ответ:

$sin(π−√-π2+16) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 95#96752Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $arcsinx− arcctg x= 0.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим уравнение:

arcsin(x)− arcctg(x)= 0

ОДЗ:

− 1≤ x≤ 1

Перенесём $arcctg(x)$ направо:

arcsin(x)=arcctg(x)

$− π2 ≤arcsin(x)≤ π2$ и $0< arcctg(x)≤ π$ , вводим обозначения углов:

arcsin(x)= α, arcctg(x) =β

Теперь нужно решить:

α = β

Возьмём синусы от обеих частей, равенство достигается только в первой четверти ( $x≥ 0$ ), каждое значение синуса принимается по одному разу, поэтому равенство синусов гарантирует равенство углов:

sin(α)= sin(β)

Найдем $sin(β)$ , где $0 <β < π$ и $ctg(β)= x$ . По определению котангенса:

cos(β) sin(β)-= x

Возведем это уравнение в квадрат:

cos22(β)= x2 sin (β)

Используем основное тригонометрическое тождество $sin2(β)+ cos2(β)= 1$ , чтобы выразить $sin(β)$ через $x$ :

2 --1-- sin (β)= x2+ 1

Поскольку $0< β < π$ , $sin(β)$ > 0:

1 sin(β)= √x2+-1

Таким образом, наше уравнение становится:

sin(α)= √-1--- x2+ 1

Так как $sin(α)= x$ , то получаем уравнение:

---1-- x= √x2 +1

Возведём обе части в квадрат:

1 x2 = x2+-1

Умножим обе части на $x2+ 1$ , чтобы избавиться от знаменателя:

x2(x2+1)= 1

Раскроем скобки:

x4+ x2 = 1

Решим это биквадратное уравнение. Обозначим $2 y = x$ , тогда уравнение становится:

2 y + y− 1= 0

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

2 D =1 − 4⋅1⋅(−1)=1 +4 =5

Находим корни:

−1± √5 y =---2---

Так как $2 y = x ≥ 0$ , выбираем положительный корень:

√- y = −1+-5- 2

Следовательно, $√- x2 = −1+2-5$ . Поскольку $x≥ 0$ :

∘------- −1+-√5- x= 2

Ответ:

$∘ −1+√5 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 96#96753Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

cos(2arccosx)= arcsin(cosx).

Показать ответ и решение

cos(2arccosx)= arcsin(cosx)

ОДЗ:

− 1≤ x≤ 1

Обозначим $arccosx= α$ .

cos2α = 2cos2α− 1= 2x2− 1,

поскольку при $− 1≤ x≤ 1$ получаем $cos(arccosx)=x$

arcsin(cosx)+ arccos(cosx)= π 2

{ arccos(cosx)= −x, −1 ≤x <0, arccos(cosx)= x, 0≤ x≤ 1.

{ 2 π 2x − 1= 2π + x, − 1≤x <0, 2x2− 1= 2 − x, 0 ≤x≤ 1.

С учётом ограничений (ОДЗ и условия для каждого уравнения) получаем:

1− √9+-4π x1 =----4----

√ ----- x2 = −-1+-9+-4π 4

Ответ:

$1-− √9-+4π-−-1+√9-+-4π 4 ; 4$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 97#96754Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

-1-- -1-- π arctg x− 1 − arctg x+ 1 = 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем воспользоваться формулой разности арктангенсов. Тогда придётся разобрать три случая ;)

Подсказка 2

Рассмотрим случай ab > -1. После того, как мы аккуратно всё преобразуем по формулам, у нас останется арктангенс, равный π/4. Что тогда можно сказать про аргумент?

Подсказка 3

2/x² = 1! А что делать в случае ab < -1, a > 0? К какому уравнению мы придём?

Подсказка 4

arctg(2/x²) + π = π/4. Можно ли тут найти корни? Аналогично разбираем случай ab < -1, a < 0 ;)

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x− 1⁄= 0 ⇒ x⁄= 1,

x +1 ⁄=0 ⇒ x⁄= −1.

Вспомним формулу разности арктангенсов:

(|| arctg ( a−b), если ab> −1, |{ (1+ aa−bb) arctga− arctgb =||| arctg (1+ab)+ π, если a> 0 и ab<− 1, ( arctg a1+−abb-− π, если a< 0 и ab<− 1.

a= --1- x− 1

b= -1-- x+ 1

ab= -1--⋅--1- = ----1-----= --1-- x− 1 x +1 (x − 1)(x+ 1) x2− 1

При $ab> −1$ :

( ) ( ) ( -1-− -1-) arctg -1-- − arctg --1- =arctg x−1--x+1- x− 1 x+ 1 1+ ab

-1-- -1-- (x+-1)− (x−-1) --2-- x− 1 − x+ 1 = (x− 1)(x+ 1) = x2− 1

--1-- --x2- 1+ ab =1+ x2− 1 = x2− 1

Таким образом:

(--2-) ( ) arctg (x2−21) = arctg -2 xx2−1 x2

( ) arctg 22 = π x 4

Так как $arctg1= π4$ , функция строго монотонна, приравняем аргументы:

2-= 1 ⇒ x2 =2 ⇒ x= ±√2 x2

--1- ab= 2 − 1 >− 1

Поскольку $√ - x= ± 2$ не равны ни 1, ни -1, следовательно, они принадлежат ОДЗ.

При $ab< −1$ и $a> 0$ :

( 2) π arctg x2 +π = 4,

что невозможно, так как левая часть больше, чем правая.

При $ab< −1$ и $a< 0$ :

( ) arctg -2 − π = π, x2 4

что также невозможно, так как левая часть становится отрицательной, что меньше правой.

Решение уравнения:

√- x =± 2

Ответ:

$√2;−√2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 98#102554Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- sin3x− 2sin18xsinx= 3 2 − cos3x +2cosx.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Одна немаленькая константа намекает на оценку. Возможно, эта константа является верхней или нижней границей суммы тригонометрических выражений.

Подсказка 2

Чтобы получить искомую оценку, попробуйте по отдельности преобразовать суммы sin(3x) + cos(3x) и sin(18x) * sin(x) + cos(x). В этом вам поможет формула вспомогательного аргумента.

Подсказка 3

Этого достаточно, чтобы показать, что суммы тригонометрических выражений не больше 3√2. Осталось записать систему уравнений, которые следуют из выполнения равенства в оценке.

Показать ответ и решение

Применим формулы вспомогательного аргумента к следующим выражениям:

1. Для $sin3x +cos3x :$

√- ( π ) sin3x+cos3x= 2sin 3x+ 4

2. Для $sin18x⋅sinx +cosx:$

∘---------- ( ) sin18x⋅sinx+ cosx= sin2(18x)+ 1⋅ ∘--sin2(18x)---⋅sinx+ ∘---21------⋅cosx sin (18x)+1 sin(18x)+1

Пусть $√-sin(18x)--= cosy, sin2(18x)+1$ тогда $√---1-----=siny. sin2(18x)+1$ Сворачиваем синус суммы:

∘--2------- sin (18x)+ 1⋅sin(x+ y)

Тогда исходное уравнение:

√- ( π) ∘ --2------- √- 2sin 3x + 4 − 2 sin (18x)+ 1⋅sin(x+y)= 3 2

Заметим, что:

( ) √2-sin 3x+ π ≤√2- 4

∘ ---------- −2 sin2(18x)+1 ⋅sin (x +y)≤ −2⋅√2 ⋅(−1)= 2√2

Тогда в сумме эти два выражения не более $3√2.$ Значит, равенство достигается только при:

(|{ sin(3x+ π4)= 1 sin(18x)= ±1 |( sin(x+ y)= −1

Случай 1: $sin(18x)= 1.$ Найдем $y :$

siny = ∘---1------= √1- sin2(18x)+1 2

---sin(18x)-- -1- cosy = ∘sin2(18x)+1-= √2

Получаем, что $y = π4.$

( ( ) |{ sin 3x+ π4 = 1 |( sin(18x)= 1 sin(x+ π4)= −1

Из третьего уравнения получаем:

3π x= −-4 +2πk, k ∈ℤ

Проверяем подстановкой в два оставшихся уравнения в системе, такие $x$ не подходят, следовательно, нет решений.

Случай 2: $sin(18x)= −1.$ Тогда:

siny = ∘--21------= √1- sin (18x)+1 2

--sin(18x)--- 1-- cosy = ∘sin2(18x)+-1 = − √2

Получаем, что $y = 3π4 .$ Подставим это значение $y$ в систему:

( ( ) |{ sin 3x+ π4 = 1 |( sin(18x)= −1 sin(x+ 3π4-)=− 1

Из третьего уравнения получаем:

3π x = 4-+ 2πk, k∈ ℤ

Проверяем этот ответ подстановкой в два оставшихся уравнения в системе.

Итак,

x = 3π-+ 2πk, k∈ ℤ 4

Ответ:

$3π +2πk, k ∈ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 99#136471Максимум баллов за задание: 7

Найти все пары чисел $(x;y)$ в прямоугольнике $0≤ x≤ 2π,$ $0 ≤y ≤1,$ для которых

4 4 2 2 (cosx +1)(cos(xy)+1)= 4cosxcos(xy)

Источники: Росатом - 2024, 10.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что косинусы находятся в четной степени, 1 — положительное число, можно ли разложить одночлены более информативно?

Подсказка 2

Заменим для удобства косинусы на новые переменные и раскроем скобки. Попробуем найти полные квадраты.

Подсказка 3

Действительно, получили сумму квадратов, равную нулю. Когда это возможно?

Подсказка 4

Только в случае равенства нулю каждого из квадратов. Делаем обратную замену и не забываем про ограничения на x и y из условия!

Показать ответ и решение

Пусть $u =cosx,$ $v = cosxy,$ тогда исходное уравнение примет вид

4 4 2 2 (u + 1)(v + 1)= 4u v

4 4 4 4 2 2 u v + u +v + 1− 4u v = 0

(u2v2 − 1)2+(u2− v2)2 = 0

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда они оба равны нулю. Следовательно,

{ u2v2 =1 u2 = v2

|u|= |v|= 1

Возвращаясь к исходным переменным, получим

{ |cosx|= 1 |cosxy|=1

{ x= πm, m ∈ℤ xy = πk, k∈ ℤ

Поскольку по условию $0≤ x≤ 2π,$ $0≤ y ≤ 1,$ то $m = 0,1,2,$ таким образом, возможны следующие случаи:

1) $x= 0,$ $y ∈[0;1]$

2) $x= π,$ $y = {0;1}$

3) $x= 2π,$ $y ∈{0;0.5;1}$

Ответ:

$(0,t),$ $t∈[0;1];$ $(π;0),$ $(π;1),$ $(2π,0),$ $(2π;0,5),$ $(2π;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 100#60910Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

∘ ------13- 8sinx+ -3 =2cosx+ 2tgx.

Показать ответ и решение

Уравнение $∘f(x)= g(x)$ равносильно системе $f(x)=(g(x))2,g(x)≥0.$

Сначала бездумно возведём обе части уравнения из условия в квадрат, а в конце проверим неравенство:

13 2 2 8sin x+ 3-= 4cos x+ 8sinx +4tg x

Воспользуемся тождеством $2 1 cos x= 1+tg2x$ , а также заменой $2 t= tg x$ , получим

13 4 3-= 1+-t +4t ⇐⇒ 13(t+ 1)=12+ 12t(t+1) ⇐⇒

12t2− t− 1 =0 ⇐ ⇒ t∈ {− 1,1} 4 3

Откуда при обратной замене $t$ на квадрат тангенса $x$ получаем $tg x= ±√1 ⇐ ⇒ x =± π6 + πn,n∈ ℤ 3$ .

Теперь остаётся выбрать из решений те, которые подходят под неравенство $cosx+ tgx ≥0.$

После недолгих размышлений (значения косинуса и тангенса тут табличные) остаются $x =± π+ 2πn,n ∈ℤ. 6$

Ответ:

$± π + 2πn, n∈ ℤ 6$

Следующая подтема